1、精選優質文檔-傾情為你奉上初中二次函數培優競賽試題及答案1在如圖的直角坐標系中，已知點A(2,0)、B(0，4)，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC(1)求點C的坐標；(2)若拋物線yx2ax4經過點C求拋物線的解析式；在拋物線上是否存在點P(點C除外)使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由2如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、

2、F為頂點的三角形面積為3，求點F的坐標；（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值1.【解析】試題分析：（1）過點C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC，根據旋轉的旋轉得到AB=AC，且BAC為直角，可得OAB與CAD互余，由AOB為直角，可得OAB與ABO互余，根據同角的余角相等可得一對角相等，再加上一對直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據全等三角形的對應邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標及位

3、置特點求出OA及OB的長，可得出OD及CD的長，根據C在第四象限得出C的坐標；（2）由已知的拋物線經過點C，把第一問求出C的坐標代入拋物線解析式，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；假設存在點P使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點，過A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，過P1作P1M垂直于x軸，如圖所示，根據一對對頂角相等，一對直角相等，AB=AP1，利用AAS可證明三角形AP1M與三角形ACD全等，得出AP1與P1M的長，再由P1為第二象限的點，得出此時P1的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（ii）當B為直角頂點，過B作

4、BP2垂直于BA，且BP2=BA，過P2作P2N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP2N與三角形AOB全等，得出P2N與BN的長，由P2為第三象限的點，寫出P2的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（iii）當B為直角頂點，過B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如圖所示，過P3作P3H垂直于y軸，同理可證明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H與BH的長，由P3為第四象限的點，寫出P3的坐標，代入拋物線解析式檢驗，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標試題解析：（1）過C作CDx軸，垂足為D，BAAC，OAB+CAD=90°，又AOB=90°，OAB+OBA=

5、90°，CAD=OBA，又AB=AC，AOB=ADC=90°，AOBCDA，又A（1，0），B（0，2），OA=CD=1，OB=AD=2，OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點，C的坐標為（3，1）；（2）拋物線y=x2+ax+2經過點C，且C（3，1），把C的坐標代入得：1=+3a+2，解得：a=，則拋物線的解析式為y=x2+x+2；存在點P，ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，（i）若以AB為直角邊，點A為直角頂點，則延長CA至點P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，過點P1作P1Mx軸，如圖所示，AP1=CA，MAP1=CAD，P1MA=CDA=90

6、°，AMP1ADC，AM=AD=2，P1M=CD=1，P1（1，1），經檢驗點P1在拋物線y=x2+x+2上；（ii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP2BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，過點P2作P2Ny軸，如圖，同理可證BP2NABO，NP2=OB=2，BN=OA=1，P2（2，1），經檢驗P2（2，1）也在拋物線y=x2+x+2上；（iii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP3BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，過點P3作P3Hy軸，如圖，同理可證BP3HBAO，HP3=OB=2，BH=OA=1，P3（2，3），

7、經檢驗P3（2，3）不在拋物線y=x2+x+2上；則符合條件的點有P1（1，1），P2（2，1）兩點考點：1.二次函數綜合題2.點的坐標3.等腰直角三角形2.【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（，） （3）當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形【解析】試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=-x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）設第三象限內的點F的坐標為（m，-m2-2m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G

8、，連接FG，根據SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標；（3）設P點坐標為（-1，n）先由B、C兩點坐標，運用勾股定理求出BC2=10，再分三種情況進行討論：PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，據此列出關于n的方程，求出n的值，再計算出PD的長度，然后根據時間=路程÷速度，即可求出此時對應的t值；BPC=90°，同可求出對應的t值；BCP=90°，同可求出對應的t值試題解析：（1）y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，當y=0時，x=-3，即A點坐標為（-3，0），當x=

9、0時，y=3，即B點坐標為（0，3），將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得， 解得，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；（2）如圖1，設第三象限內的點F的坐標為（m，-m2-2m+3），則m0，-m2-2m+30y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，對稱軸為直線x=-1，頂點D的坐標為（-1，4），設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，則G（-1，0），AG=2直線AB的解析式為y=x+3，當x=-1時，y=-1+3=2，E點坐標為（-1，2）SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=×2×2+×2×（m2+2m-3）-&#

10、215;2×（-1-m）=m2+3m，以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m2+3m=3，解得：，（舍去），當時，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，點F的坐標為（，）；（3）設P點坐標為（-1，n）B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三種情況：如圖2，如果PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化簡整理得6n=16，解得n=，P點坐標為（-1，），頂點D的坐標為（-1，4），PD=4-=，點P的速度為每秒1個單位長度，t1=；如圖3，如果BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化簡整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，P點坐標為（-1，2）或（-1，1），頂點D的坐標為（-1，4），PD=4-2=2或PD=4-1=3，點P的速度為每秒1個單位長度，t2=2，t3=3；如圖4，如果BCP=90&#