1、練 習 題 第一次作業 1、設A=x| xR, |x|5,B=x|xR, -6x<0.求AB，AB，AB，BA。2、設A，B是U的子集，規定A+B=(AB)(BA)。證明：(1) A+B=B+A(2) A+=A(3) A+A=。3、求下列集合的所有子集：(1) A=a, b, (2) B=(3) C=14、設f：AB和g：BC是映射，證明：(1) 如果f和g是單射，則gf是單射(2) 如果f和g是滿射，則gf是滿射(3) 如果gf是單射，則f是單射(4) 如果gf是滿射，則g是滿射.5、對于下面給出的整數集Z到整數集Z的映射f, g ,h: f: x3x g: x3x+1 h: x3x+

2、2(1) 計算fg, gf, gh, hg, fgh(2) 分別求f, g, h的一個左逆映射(3) 求f, g, h的一個共同的左逆映射(4) 求f, g的一個共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。6、設R是實數集合，在RR上規定二元關系“”為：（a, b） (c, d)a+d=b+c證明“”是R上的一個等價關系。7、設A=a, b, c, d, e, S=a,b,c, d, e,求A上的一個等價關系R，使A在R下的分類恰為S。8、設A=1，2，3，4，在冪集中規定二元關系“”：STS與T所含元素個數相同證明“”是上的一個等價關系，并寫出商集/。第二次作業1、設G=(a, b)| a, bR,

3、 a0, 規定G中元素運算：(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)證明：G是一個群，但不是交換群。2、設G=a, b, c,G的乘法表如下： a b ca a b c b a b c c a b c 證明：（G，）是一個半群。3、設G是群，證明：(1) 如果G的每一個元素a的逆元還是a本身，則G是交換群，舉例說明反之不對。(2) 如果G是非交換群，則存在元素a、bG, ab,并且它們均非單位元，使得ab=ba.4、在對稱群中計算： (1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)5、設=（1 2 3 4 5 6），

4、計算。6、將對稱群中如下元素表示成不相連的循環置換乘積和對換乘積 7、設, 如果=( )，證明： =()()()8、在中，求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。9、設G是群，C(G)=x| xG, yG, xy = yx, 證明：C(G)是G的子群。(稱C(G)是群G的中心)。10、設H=(1),(234),(243)，證明：H是4次對稱群的子群。H是否為不變子群？11、設A，B是群G的子群，證明AB是G的子群的充分且必要條件是AB=BA。12、證明有理數加群Q關于Z的商群（，+）的任意有限子群都是循環群。13、設p, q是兩個不同的素數，問：pq階循環群的生成元有幾個？求25階循環群的所有

5、生成元。14、設G=（R-0，）,證明：f：GG：x是群同態，但g：GG：x2x不是群同態。15、設f：G是群滿同態，H是G的不變子群，并且Ker(f)H, 證明： f (H)是的不變子群，并且16、設G和H都是有限群，|G|與|H|互素，證明G到H并且H到G的群同態都是唯一的。17、證明：。18、設A，B是群G的兩個不變子群，并且G=AB，證明：19、證明群G在左商集上的作用的核是含在H中G的最大不變子群。即如果f：GE() 使f(a)(xH)=axH, 則Ker(f)是含在H中的G的最大不變子群。20、設G是群，A是G的一個非空子集，記=x | xG, xA=Ax,證明：(1) 是G的子群

6、。(2) 如果=G，則A是G的不變子群嗎？第三次作業1、 設R是交換環，證明： (1) R中任意兩個冪零元的和仍然是冪零元。(2) R中任意元素與冪零元的乘積是冪零元。(3) R中可逆元與冪零元的和是可逆元。2、 設R是一個元素個數大于1的有限集，證明：關于數的加法和乘法，R不能構成環。3、 在中計算下面兩個多項式的加法運算和乘法運算： f(x)=, g(x)=4、 求出中次數不超過2的所有可逆多項式。5、 在環中，求元素。6、 在整數環Z中，求生成元a, b使得<a>=<24>+<36>, <b>=<24><36>.7、

7、 設、都是環R的理想，如果證明這些理想的并集是R的理想。8、 設f：R 是環的滿同態，證明：(1) 如果R是交換環，則也是交換環。(2) 舉例說明：是交換環，但R未必是交換環。9、 證明整數環Z到其自身的環同態只能是零同態或是恒等同態。10、 設R是有單位元1的環，證明是多項式環的真子環（即不等于的子環），并且有環同構：。11、 設=a+bi | a, bZ,證明：(1) 按復數的通常運算，是一個整環。（通常稱是高斯整環）(2) 如果p是一個素數，證明。12 、R是無單位元的環，A是R的理想，如果是R的有單位元的典范擴張環，則是的理想，并求商環。(1) 討論有理數域Q上關于加法群的自同態環。(2) 在有理系數多項式環Qx中，證明：<x> 是極大理想，也是素理想。13、設p是素數，在偶數環2Z中，證明主理想<2p>是極大理想，但<2p>是素理想的充分且必要條件：p是不等于2的素數。14、 設R=a+3bi | a, bZ,(1) 按通常數的運算，證明：R是整環。(2) 求R的所有可逆元。15、 高斯整環中，證明3是素元，但2不是素元。16、證