1、*MCM1第一章、數學建模概論第一章、數學建模概論 前言前言1.1 1.1 數學模型與數學建模數學模型與數學建模1.2 1.2 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟1.3 1.3 數學模型的分類數學模型的分類1.4 1.4 數學建模與能力的培養數學建模與能力的培養*MCM2 隨著電子計算機的出現和科學技術的迅猛發展，數學隨著電子計算機的出現和科學技術的迅猛發展，數學的應用已不再局限于傳統的物理領域，而正以空前的廣度的應用已不再局限于傳統的物理領域，而正以空前的廣度和深度逐步滲透到人類活動的各個領域。和深度逐步滲透到人類活動的各個領域。 前言：前言： 利用數學知識研究和解決實際問題，遇到的第一項

2、工利用數學知識研究和解決實際問題，遇到的第一項工作就是要建立恰當的數學模型（簡稱數學建模），數學建作就是要建立恰當的數學模型（簡稱數學建模），數學建模正在越來越廣泛地受到人們的重視。模正在越來越廣泛地受到人們的重視。*MCM31.1 1.1 數學模型與數學建模數學模型與數學建模模型模型是客觀實體有關屬性的模擬。 1.陳列在櫥窗中展覽的飛機模型 2.參加航模比賽的飛機模型 模型并非一定要是實體的一種仿照，也可以是對實體的某些基本屬性的抽象。例如，電路圖/地圖*MCM4 數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它們的建數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它們的建立常常既需要人們對現實問題有比較深入細微

3、的觀察和立常常既需要人們對現實問題有比較深入細微的觀察和分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數學知識。這分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用各種知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的種應用各種知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程被稱為過程被稱為數學建模數學建模（Mathematical ModelingMathematical Modeling）。）。為為了更清楚地說明什么是數學建模，讓我們來看一個具體了更清楚地說明什么是數學建模，讓我們來看一個具體實例。實例。 數學模型數學模型（Mathematical ModelMathematical Model）作為模型的一）作

4、為模型的一類，也是一種模擬，是以數學符號、數學表達式、程序、類，也是一種模擬，是以數學符號、數學表達式、程序、圖形等為工具對現實問題或實際課題的本質屬性的抽象而圖形等為工具對現實問題或實際課題的本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略等。的最優策略或較好策略等。*MCM5例例1.1 1.1 （萬有引力定律的發現）（萬有引力定律的發現） 那是那是16661666年夏末的一個傍晚，在英格蘭林年夏末的一個傍

5、晚，在英格蘭林肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕人走進了他母親家的花園里，坐在一棵樹下，人走進了他母親家的花園里，坐在一棵樹下，開始埋頭讀他的書。正在他翻動書頁時，他頭開始埋頭讀他的書。正在他翻動書頁時，他頭頂上的樹枝被風吹得晃動了起來。突然，頂上的樹枝被風吹得晃動了起來。突然，“啪啪”的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，恰好打在了這位青年的頭上。這位青年不是別恰好打在了這位青年的頭上。這位青年不是別人，正是時年人，正是時年2323歲的歲的 牛頓牛頓(1642(16421727):1727): 英國著名的

6、物理學家、數學家和英國著名的物理學家、數學家和天文學家，是十七世紀最偉大的科學巨匠。天文學家，是十七世紀最偉大的科學巨匠。*MCM6 據說，牛頓當時正在苦苦思索著一個問題：是什么力據說，牛頓當時正在苦苦思索著一個問題：是什么力量使月球保持在環繞地球運行的軌道上，又是什么力量使量使月球保持在環繞地球運行的軌道上，又是什么力量使行星保持在其環繞太陽運行的軌道上？掉下的蘋果打斷了行星保持在其環繞太陽運行的軌道上？掉下的蘋果打斷了他的思索，他的思索，“為什么這只蘋果會墜落到地上呢？為什么這只蘋果會墜落到地上呢？”牛頓轉牛頓轉而考慮起這個使他感到困惑不解的問題。有人說正是從這而考慮起這個使他感到困惑不解

7、的問題。有人說正是從這一問題的思考中，他找到了答案，并提出了一問題的思考中，他找到了答案，并提出了 這一故事講得有聲有色，我們暫且不去管這一故事這一故事講得有聲有色，我們暫且不去管這一故事的真偽。樹上掉下的蘋果也許的確給過牛頓某種啟示，的真偽。樹上掉下的蘋果也許的確給過牛頓某種啟示，但萬有引力定律的誕生卻決非如此簡單，事實上，它是但萬有引力定律的誕生卻決非如此簡單，事實上，它是幾代人努力的結果。幾代人努力的結果。*MCM7 十五世紀中葉，十五世紀中葉，哥白尼哥白尼（1473-15431473-1543）沖破）沖破宗教努力的束縛，向長期統治人們頭腦的地心說宗教努力的束縛，向長期統治人們頭腦的地心

8、說發起挑戰，提出了震驚世界的日心說。按照哥白發起挑戰，提出了震驚世界的日心說。按照哥白尼的理論，地球在一個以太陽為圓心的圓形軌道尼的理論，地球在一個以太陽為圓心的圓形軌道上作勻速圓周運動，繞太陽一周的時間叫一年。上作勻速圓周運動，繞太陽一周的時間叫一年。哥白尼的理論是科學史上的一次重大革命，不僅哥白尼的理論是科學史上的一次重大革命，不僅改變了那個時代人類對宇宙的認識，而且根本動改變了那個時代人類對宇宙的認識，而且根本動搖了歐洲中世紀宗教神學的理論基礎。恩格斯稱搖了歐洲中世紀宗教神學的理論基礎。恩格斯稱“從此自然科學便開始從神學中解放出來從此自然科學便開始從神學中解放出來”，“科學的發展從此便大

9、踏步前進科學的發展從此便大踏步前進”。*MCM8 由于受到歷史和科學水平的限制，哥白尼的學說也免由于受到歷史和科學水平的限制，哥白尼的學說也免不了包含著一些不盡人意的缺陷。不了包含著一些不盡人意的缺陷。 此后，丹麥著名的實驗天文學家此后，丹麥著名的實驗天文學家第谷第谷（1546-16011546-1601）花了二十多年的時間觀察）花了二十多年的時間觀察當時已被發現的五大行星的運動情況當時已被發現的五大行星的運動情況, ,獲獲得了十分豐富而又精確的第一手資料，他得了十分豐富而又精確的第一手資料，他一生的奮斗目標就是提高觀測的精確性，一生的奮斗目標就是提高觀測的精確性，終身堅持準確細致的實地觀測，

10、并在去世終身堅持準確細致的實地觀測，并在去世前，把這些畢生精心觀測的資料（包括前，把這些畢生精心觀測的資料（包括700700多顆恒星運行資料）都贈給了他晚年多顆恒星運行資料）都贈給了他晚年最大的發現最大的發現他的學生和助手他的學生和助手開普勒開普勒（1571-16301571-1630），并且告誡開普勒：一定），并且告誡開普勒：一定要尊重事實、尊重觀察數據。要尊重事實、尊重觀察數據。*MCM9 第谷遺留下來的資料浩如煙海，第谷遺留下來的資料浩如煙海，需要長期、耐心、細致地去研究。開需要長期、耐心、細致地去研究。開普勒在對這些資料經過了長達九年的普勒在對這些資料經過了長達九年的分析計算后發現，第

11、谷的觀察結果與分析計算后發現，第谷的觀察結果與哥白尼的理論并不完全一致。例如，哥白尼的理論并不完全一致。例如，他在分析火星的公轉時發現，火星的他在分析火星的公轉時發現，火星的運行周期與運用哥白尼理論計算出來運行周期與運用哥白尼理論計算出來的結果大約要相差的結果大約要相差1/81/8度（一個周期為度（一個周期為360360度），開普勒十分了解第谷的習性，度），開普勒十分了解第谷的習性，深信第谷的觀察結果是精確無誤的，深信第谷的觀察結果是精確無誤的，不可能有這樣大的誤差，于是他認為不可能有這樣大的誤差，于是他認為產生這一誤差的唯一原因就是火星有產生這一誤差的唯一原因就是火星有可能不是作當時人們普遍

12、認為的勻速可能不是作當時人們普遍認為的勻速圓周運動。圓周運動。*MCM10 他以觀察數據為依據，改用各種不同的幾何曲線他以觀察數據為依據，改用各種不同的幾何曲線來表示火星的運動軌跡，發現火星應當是沿橢圓軌道來表示火星的運動軌跡，發現火星應當是沿橢圓軌道繞太陽運行的，太陽在此橢圓的一個焦點上，而且其繞太陽運行的，太陽在此橢圓的一個焦點上，而且其它行星的運行也是如此。接著他又發現，雖然行星運它行星的運行也是如此。接著他又發現，雖然行星運行的速度是不均勻的，在近日點時較快，在遠日點時行的速度是不均勻的，在近日點時較快，在遠日點時較慢，但是，從任何一點開始，在單位時間內，向徑較慢，但是，從任何一點開始

13、，在單位時間內，向徑掃過的面積卻是不變的。開普勒在計算出當時已知的掃過的面積卻是不變的。開普勒在計算出當時已知的五大行星的運行周期五大行星的運行周期 , ,軌道長半軸軌道長半軸 后，又發現了后，又發現了行星運行的某些規律（見表行星運行的某些規律（見表1-11-1）T*MCM11T2T3*MCM12 當時，對數表已經出現了，開普勒在把上述數據的當時，對數表已經出現了，開普勒在把上述數據的對數查出來以后，又得一新表：對數查出來以后，又得一新表：lgalgT由表由表1-21-2可以看出可以看出 lg:lg2:3aT ，故，故32aT 據此，開普勒提出了至今仍十分著名的三大假設據此，開普勒提出了至今仍

14、十分著名的三大假設（即（即KeplerKepler三定律三定律） *MCM13 （3 3）行星運行周期的平方正比于橢圓長半）行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變（即為軸的三次方，比例系數不隨行星而改變（即為絕對常數）。絕對常數）。 （1 1）行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢）行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上。圓的一個焦點上。 （2 2）行星與太陽的連線（矢徑）在相同時）行星與太陽的連線（矢徑）在相同時間內掃過的面積相等。間內掃過的面積相等。*MCM14 牛頓認為，行星運動之所以會具有上述特征，必定牛頓認為，行星運動之所以會具有上述特征，必定是某一力學

15、規律的反映，他決心找出這一規律。根據開是某一力學規律的反映，他決心找出這一規律。根據開普勒提出的（普勒提出的（1 1）和（）和（2 2），行星運行的速度顯然是不斷），行星運行的速度顯然是不斷變化的，這種變化的速度在當時還無法計算，所需要的變化的，這種變化的速度在當時還無法計算，所需要的數學工具遠遠超越了當時傳統數學的范圍。為了研究這數學工具遠遠超越了當時傳統數學的范圍。為了研究這種變化的速度，牛頓不得不自己創造一套嶄新的數學方種變化的速度，牛頓不得不自己創造一套嶄新的數學方法，并最終建立了微積分，這一過程也花費了他整整九法，并最終建立了微積分，這一過程也花費了他整整九年的時間。下面我們來看看，

16、如何根據開普勒三定律和年的時間。下面我們來看看，如何根據開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律即牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律即萬有引力定律。萬有引力定律。*MCM15 如圖如圖1-11-1所示，以太陽（設橢圓的左焦點）為極點，橢所示，以太陽（設橢圓的左焦點）為極點，橢圓的長軸方向為極軸建立極坐標系，則橢圓方程可表為：圓的長軸方向為極軸建立極坐標系，則橢圓方程可表為：cos1epr其中其中 2(1)pae222(1)baeba， e*MCM16應用微積分知識，不難求得，在極坐標下，矢徑應用微積分知識，不難求得，在極坐標下，矢徑dt在時間內掃過的面積的微元為

17、在時間內掃過的面積的微元為: : 221122dAr drdt即即 221rdtdA 由開普勒的假設（由開普勒的假設（2 2），矢徑在相同的間內掃過的面），矢徑在相同的間內掃過的面積相等，故面積的變化率為常數，因此在任意時刻積相等，故面積的變化率為常數，因此在任意時刻 t212r221()12(2)02drrrrdt所以所以20rr 即即 *MCM17假設行星的運行周期為假設行星的運行周期為T，則橢圓的面積恰為矢徑，則橢圓的面積恰為矢徑在一個周期內掃過的面積，即在一個周期內掃過的面積，即 TrdtdtdAabT2021，故，故 Tabr22太陽指向行星的矢徑太陽指向行星的矢徑 rr其長度其長度

18、 與與x x軸的夾角軸的夾角 ),(r點處建立移動的直角坐標系，如圖點處建立移動的直角坐標系，如圖1-21-2所示所示 在在rurururuu其中其中與與同向，同向， 垂直于垂直于和和均為單位矢量。均為單位矢量。*MCM18顯然移動坐標系與固定坐標系之間有如下的坐標變換公式：顯然移動坐標系與固定坐標系之間有如下的坐標變換公式：jiujiur)(cos)sin()(sin)(cosij其中其中與與分別為長軸方向和短軸方向上的單位向量。分別為長軸方向和短軸方向上的單位向量。此外有此外有rurrruu對（對（1.31.3）式中的）式中的和和求導并和（求導并和（1.31.3）比較得：）比較得：rruj

19、iuujiu)sin()cos()(cos)sin(*MCM19對（對（1.41.4）式求導并結合（）式求導并結合（1.51.5）式得：）式得：ururrr繼續求導得：繼續求導得：urururururrr 結合（結合（1.51.5）式和（）式和（1.11.1）式我們可得）式我們可得)(2.rrr 以下，我們設法來求以下，我們設法來求 2rr，為了計算方便，我們采用，為了計算方便，我們采用橢圓的參數方程。橢圓的參數方程。*MCM20cos1eprAr2.2對橢圓方程對橢圓方程求導并注意到求導并注意到 可得：可得：sin2sincos1)cos1 (sin.2.2.pAepeepeper)(22c

20、os12cos2.rpprApApeApAer將將 2.2rA 代入上式可得：代入上式可得：32)()2(prrpAr *MCM21由于由于TabA ，故，故222222.2342224() ()4()4abpraba br rrpT rr TpT r 由開普勒假設（由開普勒假設（3 3），）， 32KaT，此外，由橢圓方程可知，此外，由橢圓方程可知 2bpa ，故，故 KpTba1222再由牛頓第二定律再由牛頓第二定律rurmKrmamF 2214*MCM22KMG24GM記記，為絕對常數（其中為絕對常數（其中為太陽質量），于是為太陽質量），于是2rMmFGur 此即我們要推導的萬有引力定理

21、：萬有引力的方向指此即我們要推導的萬有引力定理：萬有引力的方向指向太陽（即作用力為吸引力），大小與距離的平方成反比，向太陽（即作用力為吸引力），大小與距離的平方成反比，與太陽、行星質量的乘積成正比，而且比例系數為絕對常與太陽、行星質量的乘積成正比，而且比例系數為絕對常數。數。*MCM231.2 1.2 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟 從前例可以看出，萬有引力的導出并不像有些人想象從前例可以看出，萬有引力的導出并不像有些人想象的那么簡單。即使不把哥白尼的工作計算在內，也包含了的那么簡單。即使不把哥白尼的工作計算在內，也包含了幾代人的辛勤努力。沒有第谷的觀察數據就不會有開普勒幾代人的辛勤努力

22、。沒有第谷的觀察數據就不會有開普勒的三大定律，而沒有開普勒的三大定律，牛頓也無從著手，的三大定律，而沒有開普勒的三大定律，牛頓也無從著手，不可能得出萬有引力定律。分析萬有引力定律的導出過程，不可能得出萬有引力定律。分析萬有引力定律的導出過程，可以看出建立數學模型的過程大致可以分為以下幾個步驟：可以看出建立數學模型的過程大致可以分為以下幾個步驟：*MCM24 了解問題的實際背景，明確建模目的，收集了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料，這一步驟可以看成是為建掌握必要的數據資料，這一步驟可以看成是為建立數學模型而做的前期準備工作。如果對實際問立數學模型而做的前期準備工作。如果對實

23、際問題沒有較為深入的了解，就無從下手建模。而對題沒有較為深入的了解，就無從下手建模。而對實際問題的了解，有時還需要建模者對實際問題實際問題的了解，有時還需要建模者對實際問題作一番深入細致的調查研究，就像第谷觀察行星作一番深入細致的調查研究，就像第谷觀察行星的運動那樣，去搜集掌握第一手資料。的運動那樣，去搜集掌握第一手資料。（1 1）了解問題的實際背景，明確建模目的了解問題的實際背景，明確建模目的*MCM25 在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化

24、，提出若干符合客觀實際的假設。開普的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。開普勒通過長達九年的分析計算，才將第谷的觀測數據濃勒通過長達九年的分析計算，才將第谷的觀測數據濃縮總結為三大假設（即開普勒的三大定律），這三大縮總結為三大假設（即開普勒的三大定律），這三大假設是牛頓發現萬有引力定律的重要基礎。本步驟實假設是牛頓發現萬有引力定律的重要基礎。本步驟實為建模的關鍵所在，因為其后的所有工作和結果都是為建模的關鍵所在，因為其后的所有工作和結果都是建立在這些假設的基礎之上的，也就是說，科學研究建立在這些假設的基礎之上的，也就是說，科學研究揭示的并非絕對真理，它揭示的只是：假如這些提出揭示的并非絕對

25、真理，它揭示的只是：假如這些提出的假設是正確的，那么，我們可以推導出一些什么樣的假設是正確的，那么，我們可以推導出一些什么樣的結果。的結果。（2 2）提出假設提出假設*MCM26 在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻畫在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻畫各變量之間的關系，建立相應的數學結構，即建立數學各變量之間的關系，建立相應的數學結構，即建立數學模型。采用什么數學結構、數學工具要看實際問題的特模型。采用什么數學結構、數學工具要看實際問題的特征，并無固定的模式。可以這樣講，幾乎數學的所有分征，并無固定的模式。可以這樣講，幾乎數學的所有分支在建模中都有可能被用到，而對同一個實際問題

26、也可支在建模中都有可能被用到，而對同一個實際問題也可用不同的數學方法建立起不同的數學模型。一般地講，用不同的數學方法建立起不同的數學模型。一般地講，在能夠達到預期目的的前提下，所用的數學工具越簡單在能夠達到預期目的的前提下，所用的數學工具越簡單越好。越好。（3 3）建立數學模型建立數學模型*MCM27 為了得到結果，不言而喻，建模者還應當對模型為了得到結果，不言而喻，建模者還應當對模型進行求解，根據模型類型的不同特點，求解可能包括進行求解，根據模型類型的不同特點，求解可能包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等不同的方面，解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等不同的方面，在難以得出解析解時，還應當借

27、助計算機來求出數值在難以得出解析解時，還應當借助計算機來求出數值解。解。（4 4） 模型求解模型求解（5 5）模型的分析與檢驗模型的分析與檢驗 正如前面所講，用建立數學模型的方法來研究實際正如前面所講，用建立數學模型的方法來研究實際課題，得到的只是：假如給出的假設正確，就會有什么課題，得到的只是：假如給出的假設正確，就會有什么樣的結果。那么，假設正確與否或者是否基本可靠呢，樣的結果。那么，假設正確與否或者是否基本可靠呢，建模者還應當反過來用求解得到的結果來檢驗它。建模者還應當反過來用求解得到的結果來檢驗它。 *MCM28 建立數學模型的目的是為了認識世界、改造世建立數學模型的目的是為了認識世界

28、、改造世界，建模的結果應當能解釋已知現象，預測未來的界，建模的結果應當能解釋已知現象，預測未來的結果，提供處理研究對象的最優決策或控制方案。結果，提供處理研究對象的最優決策或控制方案。實踐是檢驗真理的唯一標準，只有經得起實踐檢驗實踐是檢驗真理的唯一標準，只有經得起實踐檢驗的結果才能被人們廣泛地接受。的結果才能被人們廣泛地接受。 牛頓的萬有引力定律不僅成功地解釋了大量自牛頓的萬有引力定律不僅成功地解釋了大量自然現象，并然現象，并精確地預報了哈雷彗星的回歸精確地預報了哈雷彗星的回歸并預言了并預言了海王星、冥王星等當時尚未被發現的其他行星的存海王星、冥王星等當時尚未被發現的其他行星的存在，才奠定了其

29、作為經典力學基本定理之一的穩固在，才奠定了其作為經典力學基本定理之一的穩固地位。由此可見，模型求解并非建模的終結，模型地位。由此可見，模型求解并非建模的終結，模型的檢驗也應當是建模的重要步驟之一。的檢驗也應當是建模的重要步驟之一。 只有在證明了只有在證明了建模結果是經得起實踐檢驗建模結果是經得起實踐檢驗的以的以后，建模者才能認為大功基本告成，完成了自己預后，建模者才能認為大功基本告成，完成了自己預定的研究任務。定的研究任務。*MCM29 如果檢驗結果與事實如果檢驗結果與事實不符，只要不是在求解中不符，只要不是在求解中存在推導或計算上的錯誤，存在推導或計算上的錯誤，那就應當檢查分析在假設那就應當

30、檢查分析在假設中是否有不合理或不夠精中是否有不合理或不夠精確之處，發現后應確之處，發現后應修改假修改假設重新進行建模設重新進行建模，直到結，直到結果滿意為止。綜合起來講，果滿意為止。綜合起來講，數學建模的過程大致可以數學建模的過程大致可以概括為圖概括為圖1-31-3所示的流程。所示的流程。*MCM30 1.3 1.3 數學模型的分類數學模型的分類 基于不同角度或不同目的，數學模型可以有多基于不同角度或不同目的，數學模型可以有多種不同的分類法。根據人們對種不同的分類法。根據人們對實際問題了解的實際問題了解的深入程度不同深入程度不同，其數學模型可以歸結為白箱模，其數學模型可以歸結為白箱模型、灰箱模

31、型或黑箱模型。假如我們把建立數學模型、灰箱模型或黑箱模型。假如我們把建立數學模型研究實際問題比喻成一只箱子，通過輸入數據型研究實際問題比喻成一只箱子，通過輸入數據（信息），建立數學模型來獲取我們原先并不清楚（信息），建立數學模型來獲取我們原先并不清楚的結果，（見圖的結果，（見圖1-41-4所示）所示）*MCM31 如果問題的機理比較清楚，內在的關系較為簡單，如果問題的機理比較清楚，內在的關系較為簡單，這樣的模型就被稱為這樣的模型就被稱為白箱白箱模型。如果問題的機理極為繁模型。如果問題的機理極為繁雜，人們對它的了解極其膚淺，幾乎無法加以精確的定雜，人們對它的了解極其膚淺，幾乎無法加以精確的定量分

32、析，這樣的模型就被稱為量分析，這樣的模型就被稱為黑箱黑箱模型。而介于兩者之模型。而介于兩者之間的模型，則被稱為間的模型，則被稱為灰箱灰箱模型。當然，這種分類方法是模型。當然，這種分類方法是較為模糊的，是相對而言的，況且，隨著科學技術的不較為模糊的，是相對而言的，況且，隨著科學技術的不斷進步，今天的黑箱模型明天也許會成為灰箱模型，而斷進步，今天的黑箱模型明天也許會成為灰箱模型，而今天的灰箱模型不久也可能成為白箱模型，因此，對這今天的灰箱模型不久也可能成為白箱模型，因此，對這樣的分類我們不必過于認真。樣的分類我們不必過于認真。*MCM32 根據模型中變量的特征分類根據模型中變量的特征分類，模型又可

33、，模型又可分為連續型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型分為連續型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等。模型等。數學方法分類數學方法分類，又可分為初等模型、微分方程模，又可分為初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優化模型等等。型、差分方程模型、優化模型等等。 此外，對一些人們較為重視或對人類活動影響較此外，對一些人們較為重視或對人類活動影響較大的實際問題的數學模型，常常也可以大的實際問題的數學模型，常常也可以按研究課按研究課題的實際范疇來分類題的實際范疇來分類，例如人口模型、生態模，例如人口模型、生態模型、交通流模型、經濟模型、社會模型、軍事模型等型、交通流模型、經濟模型、社會模型、軍

34、事模型等等。等。*MCM33 1.4 1.4 數學建模與能力的培養數學建模與能力的培養 在高等院校開設數學建模課的主要目的并非簡單在高等院校開設數學建模課的主要目的并非簡單地傳授數學知識而是為了提高學生的綜合素質，增強地傳授數學知識而是為了提高學生的綜合素質，增強他們應用數學知識解決實際問題的本領。因此，在學他們應用數學知識解決實際問題的本領。因此，在學習數學建模時，學生應當特別注意自身能力的培養與習數學建模時，學生應當特別注意自身能力的培養與鍛煉。鍛煉。要想知道梨子的滋味是酸的還是甜要想知道梨子的滋味是酸的還是甜的，你必須親口去嘗一下；的，你必須親口去嘗一下；要想知道如何建要想知道如何建模，

35、除了學習基本技能與基本技巧之外，更重要的是模，除了學習基本技能與基本技巧之外，更重要的是應當參與進來，在建模實踐中獲得真知。應當參與進來，在建模實踐中獲得真知。*MCM34 數學建模實踐的每一步中都蘊含著對能力的鍛煉。數學建模實踐的每一步中都蘊含著對能力的鍛煉。 假設條件通常是圍繞著兩個目的提出的，一類假設假設條件通常是圍繞著兩個目的提出的，一類假設的提出是為了簡化問題、突出主要因素，而另一類則是的提出是為了簡化問題、突出主要因素，而另一類則是為了應用某些數學知識或其他學科的知識。但不管哪一為了應用某些數學知識或其他學科的知識。但不管哪一類假設，都必需盡可能符合實際，即類假設，都必需盡可能符合

36、實際，即既要求做到不既要求做到不失真或少失真又要能便于使用數學方法處失真或少失真又要能便于使用數學方法處理理，兩者還應盡可能兼顧。，兩者還應盡可能兼顧。*MCM35 此外，我們的研究應當是前人工作的繼續，在真正開始此外，我們的研究應當是前人工作的繼續，在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作真正成為別人研究工作的繼續而不是別人作，使自己的工作真正成為別人研究工作的繼續而不是別人工作的重復，這就需要你具有很強的查閱文獻資料的能力。工作的重復，這就需要你具有很強的查閱文獻資料的能力。你可以把某些已知的研究結果

37、用作你的假設，即你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，即“站在前站在前人的肩膀上人的肩膀上”，去探索新的奧秘。，去探索新的奧秘。*MCM36 建模求解階段是考驗你數學功底和應變能力的階段，你的建模求解階段是考驗你數學功底和應變能力的階段，你的數學基礎越好，應用就越自如。但學無止境，任何人都不是全數學基礎越好，應用就越自如。但學無止境，任何人都不是全才，想學好了再做，其結果必然是什么也不做。因此，我們還才，想學好了再做，其結果必然是什么也不做。因此，我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想要應用的知識的應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想要應用的知識的本領。在我們指導學生參加國內外數

38、學建模競賽時，常常遇到本領。在我們指導學生參加國內外數學建模競賽時，常常遇到這樣的情況，參賽的理工科學生感到模擬實際問題的特征似乎這樣的情況，參賽的理工科學生感到模擬實際問題的特征似乎需要建立一個偏微分議程或控制論模型等，他們并沒有學過這需要建立一個偏微分議程或控制論模型等，他們并沒有學過這些課程，競賽時間又僅有三、四天（允許查資料和使用一切工些課程，競賽時間又僅有三、四天（允許查資料和使用一切工具），為了獲得較好的結果，他們只用了二、三個小時就基本具），為了獲得較好的結果，他們只用了二、三個小時就基本搞懂了他們所要使用的相關知識并用進了他們的研究工作中，搞懂了他們所要使用的相關知識并用進了他

39、們的研究工作中，并最終奪得了優異成績。這些同學在建模實踐中學會了快速汲并最終奪得了優異成績。這些同學在建模實踐中學會了快速汲取想用的數學知識的本領（即取想用的數學知識的本領（即“現學現用現學現用”的本領），這的本領），這種能力在實際工作中也是不可缺少的。應變能力包括靈活性和種能力在實際工作中也是不可缺少的。應變能力包括靈活性和創造性。創造性。*MCM37 2002 2002年，作為浙江大學獨立二級學院的年，作為浙江大學獨立二級學院的浙江大浙江大學城市學院學城市學院首次組織學生參加全國大學生數學建模競首次組織學生參加全國大學生數學建模競賽，參賽學生同樣只參加了半年左右的數學建模學習和實賽，參賽學

40、生同樣只參加了半年左右的數學建模學習和實踐，就在競賽中交出了出色的研究論文，獲得了踐，就在競賽中交出了出色的研究論文，獲得了全國一全國一等獎等獎，并在，并在20042004年國際競賽中獲得年國際競賽中獲得3 3項項國際競賽二國際競賽二等獎等獎。 當然，要出色地完成建模任務還需要用到許多其他當然，要出色地完成建模任務還需要用到許多其他的能力，譬如設計算法、編寫程序、熟練使用計算機等能的能力，譬如設計算法、編寫程序、熟練使用計算機等能力，撰寫研究報告或研究論文的能力，熟練應用外語的能力，撰寫研究報告或研究論文的能力，熟練應用外語的能力等等，所以，學習數學建模和參加建模實踐，實際上是力等等，所以，學

41、習數學建模和參加建模實踐，實際上是一個綜合能力、綜合素質的培養和提高的過程。一個綜合能力、綜合素質的培養和提高的過程。*MCM38 參賽獲獎并不是我們的目的，提高自己的素質和能參賽獲獎并不是我們的目的，提高自己的素質和能力才是我們宗旨，從這一意義上講，只要你真正努力了，力才是我們宗旨，從這一意義上講，只要你真正努力了，你就必定是一個成功的參與者。你就必定是一個成功的參與者。“昨夜西風凋碧昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終樹，獨上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴；眾里尋她千百度，不悔，為伊消得人憔悴；眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。驀然回首，那人卻在燈

42、火闌珊處。”這也正這也正是數學建模的真實寫照。是數學建模的真實寫照。*MCM39、想象力的應用、想象力的應用*MCM40*MCM41*MCM42這是常規的計算方法，事實上，我們也可以換一這是常規的計算方法，事實上，我們也可以換一種方法來思考這一問題。由于淘汰賽的特殊性，進行種方法來思考這一問題。由于淘汰賽的特殊性，進行一場淘汰賽必然淘汰一人，反過來，淘汰一人也必須一場淘汰賽必然淘汰一人，反過來，淘汰一人也必須舉行一場淘汰賽，這就是我們數學中的舉行一場淘汰賽，這就是我們數學中的一一對應關系一一對應關系。現在我們要從現在我們要從100100位同學中產生一位冠軍，眾所周知，位同學中產生一位冠軍，眾所

43、周知，要淘汰要淘汰9999位同學才能產生最后的冠軍，因此比賽總場位同學才能產生最后的冠軍，因此比賽總場次應為次應為9999。l mg 12 *MCM43 (1)()2nnlnmgZmgZ*MCM44nlZn2nkk121 1111122nnnn11nn*MCM45二、發散性思維、創新能力的培養二、發散性思維、創新能力的培養 數學建模中經常需要用到創新思維或發散性思數學建模中經常需要用到創新思維或發散性思維。這里的發散性思維是相對于維。這里的發散性思維是相對于“一條道跑到黑一條道跑到黑”的收斂性思維方式而言的，并非是貶義詞。所謂的收斂性思維方式而言的，并非是貶義詞。所謂發發散性思維散性思維，是指針對同一個問題，沿著不同的方向，是指針對同一個問題，沿著不同的方向去思考，不同角度、不同側面地對所給信息或條件去思考，不同角度、不同側面地對所給信息或條件加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、逆向反復比較，從而找出多種合乎