1、 耦合電感和理想變壓器是構成實際變壓器電路耦合電感和理想變壓器是構成實際變壓器電路模型的必不可少的元件。在實際電路中，如收音機、模型的必不可少的元件。在實際電路中，如收音機、電視機中使用的中周、振蕩線圈，在整流電源里使電視機中使用的中周、振蕩線圈，在整流電源里使用的變壓器等，都是耦合電感與變壓器元件。用的變壓器等，都是耦合電感與變壓器元件。 在本章中，將介紹它們的伏安關系和含此類元在本章中，將介紹它們的伏安關系和含此類元件的電路的分析方法。件的電路的分析方法。5.15.1互感互感 在交流電路中，如在交流電路中，如果在一個線圈的附近還果在一個線圈的附近還有另一個線圈，有另一個線圈， 當其中當其中

2、一個線圈中的電流變化一個線圈中的電流變化時，不僅在本線圈中產時，不僅在本線圈中產生感應電壓，而且在另生感應電壓，而且在另一個線圈中也要產生感一個線圈中也要產生感應電壓，這種現象稱為應電壓，這種現象稱為互感現象，由此而產生互感現象，由此而產生的感應電壓稱為互感電的感應電壓稱為互感電壓。這樣的兩個線圈稱壓。這樣的兩個線圈稱為互感線圈。為互感線圈。圖圖 5-1 磁通互磁通互感的耦合電感感的耦合電感i2i1 12 21 11 22一、互感系數的定義一、互感系數的定義 如圖如圖5-1，類似于自感系數的定義，互感，類似于自感系數的定義，互感系數的定義為系數的定義為 為討論方便，規定每個線圈的電壓、電流為討

3、論方便，規定每個線圈的電壓、電流取取關聯參考方向關聯參考方向，且每個線圈的電流的參考方，且每個線圈的電流的參考方向和該電流所產生的磁通的參考方向符合向和該電流所產生的磁通的參考方向符合右手右手螺旋法則螺旋法則。M21= 21i1 12i2M12=(5-1a)(5-1b) 式（式（5-1a）表明線圈）表明線圈1對線圈對線圈2的互感系數的互感系數 ，等于，等于穿過線圈穿過線圈2的互感磁鏈與激發該磁鏈的線圈的互感磁鏈與激發該磁鏈的線圈1中的電流中的電流之比。式（之比。式（5-1b）表明線圈）表明線圈2對線圈對線圈1的互感系數的互感系數 ，等于穿過線圈等于穿過線圈1的互感磁鏈與激發該磁鏈線圈的互感磁鏈

4、與激發該磁鏈線圈2中的電中的電流之比，可以證明流之比，可以證明M21=M12=M 所以，我們以后不再加下標，一律用表示兩線圈所以，我們以后不再加下標，一律用表示兩線圈的互感系數，簡稱互感。互感的單位與自感相同，也的互感系數，簡稱互感。互感的單位與自感相同，也是亨利（是亨利（H H）。）。 兩個互感線圈的構成和相對位置確定時，線圈間兩個互感線圈的構成和相對位置確定時，線圈間的互感的互感M M是線圈的固有參數。是線圈的固有參數。M M的大小它取決于兩個線的大小它取決于兩個線圈的匝數、幾何尺寸、相對位置和磁介質。當磁介質圈的匝數、幾何尺寸、相對位置和磁介質。當磁介質為非鐵磁性介質時，為非鐵磁性介質時

5、，M M是常數，本章討論的互感是常數，本章討論的互感M M均為均為常數。常數。 一般情況下，兩個耦合線圈的電流所產生的磁通一般情況下，兩個耦合線圈的電流所產生的磁通，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說明稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說明兩個線圈耦合得越緊密。為了表征兩個線圈耦合的緊兩個線圈耦合得越緊密。為了表征兩個線圈耦合的緊密程度，通常用密程度，通常用耦合系數耦合系數K來表示。來表示。 由上式可知，由上式可知，0 K 1， K值越大，說明兩個線值越大，說明兩個線圈之間耦合越緊。當圈

6、之間耦合越緊。當 K= 1稱稱全耦合全耦合；K = 0時，說明時，說明兩線圈沒有耦合。兩線圈沒有耦合。k=ML1L2 1(5-2) 耦合系數耦合系數 的大小與兩線圈的結構、相互位置以的大小與兩線圈的結構、相互位置以及周圍磁介質有關。及周圍磁介質有關。 改變或調整兩線圈的相互位置，可以改變耦合系改變或調整兩線圈的相互位置，可以改變耦合系數數 的大小。在工程上有時為了避免線圈之間的相互的大小。在工程上有時為了避免線圈之間的相互干擾，應盡量減小互感的作用，除了采用磁屏蔽方法干擾，應盡量減小互感的作用，除了采用磁屏蔽方法外，還可以合理布置線圈的相互位置。在電子技術和外，還可以合理布置線圈的相互位置。在

7、電子技術和電力變壓器中，為了更好地傳輸功率和信號，往往采電力變壓器中，為了更好地傳輸功率和信號，往往采用極緊密的耦合，使用極緊密的耦合，使 值盡可能接近值盡可能接近 ，一般都采用鐵，一般都采用鐵磁材料制成芯子以達到這一目的。磁材料制成芯子以達到這一目的。 如果選擇互感電壓的參考方向與互感磁通的參考如果選擇互感電壓的參考方向與互感磁通的參考方向符合右手螺旋法則，則根據電磁感應定律，結合方向符合右手螺旋法則，則根據電磁感應定律，結合式式(52)，有，有tiMtutiMtu2121212121dddddddd 當線圈中的電流為正弦交流時，有當線圈中的電流為正弦交流時，有2.M2.12.1.M1.21

8、.m212m121m22m11IXIMUIXIMU)2tsin(MIu)2tsin(MIutsinIi, tsinIijjjj 1. 同名端同名端 具有磁耦合的兩線圈，當電流分別從兩線圈各自具有磁耦合的兩線圈，當電流分別從兩線圈各自的某端同時流入（或流出）時，若兩者產生的磁通相的某端同時流入（或流出）時，若兩者產生的磁通相助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點“.”或或星號星號“*”作標記，未用黑點或星號作標記的兩個端子作標記，未用黑點或星號作標記的兩個端子也是同名端。也是同名端。12i1u212111(a)ABCD12i1u212111(b)ABCD

9、圖圖5-2 5-2 互感電壓的方向與線圈繞向的關系互感電壓的方向與線圈繞向的關系 同名端總是成對出現的，如是有兩個以上的線圈同名端總是成對出現的，如是有兩個以上的線圈彼此間都存在磁耦合時，同名端應一對一對地加以標彼此間都存在磁耦合時，同名端應一對一對地加以標記，每一對須用不同的符號標出。記，每一對須用不同的符號標出。A(a)B*CD*1234*56*(b)圖圖5-3 5-3 幾種互感線圈的同名端幾種互感線圈的同名端2 .同名端的測定同名端的測定 對于難以知道實際繞向的兩線圈，可以采用實驗對于難以知道實際繞向的兩線圈，可以采用實驗的方法來測定同名端。的方法來測定同名端。RSUSAiL1CL2DB

10、mV圖圖5-4 測定同名端的實驗電路測定同名端的實驗電路 同名端確定后，互感電壓的極性就可以由電流對同名端確定后，互感電壓的極性就可以由電流對同名端的方向來確定，即互感電壓的極性與產生它的同名端的方向來確定，即互感電壓的極性與產生它的變化電流的參考方向對同名端是一致的。變化電流的參考方向對同名端是一致的。 i1u12i2M(a)ABCDi1u12i2M(b)ABCD圖圖5-5 互感線圈的電路符號互感線圈的電路符號 在互感電路中，線圈端電壓是自感電壓與互感電在互感電路中，線圈端電壓是自感電壓與互感電壓的代數和，即壓的代數和，即 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 1.2

11、.22.2.1.11.IMjILjUIMjILjU 或或 例例5-15-1 寫出下圖寫出下圖(a) (a) 、(b)(b)所示互感線圈端電壓所示互感線圈端電壓u u1 1和和u u2 2的表達式。的表達式。i1u1L1u2L2i2M(a)i1u1L1u2L2i2M(b)例例5-15-1電路圖電路圖解解 對于圖對于圖(a),(a),有有 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 對于圖對于圖(b)(b)，同樣可得，同樣可得dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 例例5-25-2 電路如圖所示電路如圖所示, , 試確定開關打開瞬間試確定開關打開瞬間, c,

12、 c、 d d間電壓的真實極性。間電壓的真實極性。 例例5-25-2電路圖電路圖Miabcdu2122ERK 解解 假定假定i i及互感電壓及互感電壓u21u21的參考方向如圖所示的參考方向如圖所示, , 則根據同名端的定義可得則根據同名端的定義可得dtdiMu21 當當K K打開瞬間打開瞬間, , 正值電流減小正值電流減小, , , , 故知故知u210, u21Lf，LsLf，當外加相同正弦電壓時，順向串聯時的電，當外加相同正弦電壓時，順向串聯時的電流小于反向串聯時的電流。根據流小于反向串聯時的電流。根據Ls和和Lf可以求出兩線可以求出兩線圈的互感圈的互感M為為4LLMfs (5(55)5

13、) 例例5-3 將兩個線圈串聯接到將兩個線圈串聯接到50Hz、60V的正弦的正弦電源上，順向串聯時的電流為電源上，順向串聯時的電流為2A，功率為，功率為96W，反向串聯時的電流為反向串聯時的電流為2.4A，求互感，求互感 M。 解解 順向串聯時，可用等效電阻順向串聯時，可用等效電阻R=R1+R2和等和等效電感效電感Ls=L1+L2+2M相串聯的電路模型來表示。相串聯的電路模型來表示。根據已知條件，得根據已知條件，得 1824)260(R)IU(L24296IPR2222ss22s 057. 050218Ls 反向串聯時，線圈電阻不變，由已知條件反向串聯時，線圈電阻不變，由已知條件可求出反向串聯

14、時的等效電感可求出反向串聯時的等效電感 m75. 84022. 0057. 04LLM022. 05027L724)4 . 260(R)IU(Lfsf2222ff 所以得所以得 互感線圈的并聯也有兩種接法，一種是兩個線圈互感線圈的并聯也有兩種接法，一種是兩個線圈的同名端相連，稱為同側并聯，如圖的同名端相連，稱為同側并聯，如圖5-7(a)所示；另所示；另一種是兩個線圈的異名端相連，稱為異側并聯，如圖一種是兩個線圈的異名端相連，稱為異側并聯，如圖5-7(b)所示。所示。L2M(a)I2L1I1UIL2M(b)I2L1I1UI圖圖5-7 5-7 互感線圈的并聯互感線圈的并聯 1.同側并聯同側并聯 當

15、兩線圈同側并聯時，在圖當兩線圈同側并聯時，在圖5-7(a)所示的電壓、所示的電壓、電流參考方向下，由電流參考方向下，由KVL有有2.1.1.2.2.2.1.1.IIIIMjILjUIMjILjU 由電流方程可得由電流方程可得 , 將其將其分別代入電分別代入電 壓方程中，則有壓方程中，則有 2.1.1.2.III,III .2.22.2.2.1.11.1.1.IMjI)ML(j)II(MjILjUIMjI)ML(j)II(MjILjU 根據上述電壓、電流關系，按照等效的概念，圖根據上述電壓、電流關系，按照等效的概念，圖5-7(a)所所示具有互感的電路就可以用圖示具有互感的電路就可以用圖5-8(a

16、)所示無互感的電路來等效，所示無互感的電路來等效，這種處理互感電路的方法稱為互感消去法。圖這種處理互感電路的方法稱為互感消去法。圖5-8(a)稱為圖稱為圖5-7(a)的去耦等效電路。由圖的去耦等效電路。由圖5-8(a)可以直接求出兩個互感線圈可以直接求出兩個互感線圈同側并聯時的等效電感為同側并聯時的等效電感為MLLMLLL22同理可以推出互感線圈異側并聯的等效電感為同理可以推出互感線圈異側并聯的等效電感為MLLMLLL22(a)UIL1 ML2 MMI1I2(b)UIL1 ML2 MI1I2M其異側并聯的去耦等效電路如圖其異側并聯的去耦等效電路如圖5-8(b)所示。所示。 圖圖5-8 并聯互感

17、線圈的去耦等效電路并聯互感線圈的去耦等效電路 耦合電感的串聯去耦等效屬于二端電路等效，而耦合電感的串聯去耦等效屬于二端電路等效，而下面討論的三個支路共一個節點，其中兩支路存在互下面討論的三個支路共一個節點，其中兩支路存在互感的電路等效，即感的電路等效，即T型去耦等效屬于多端等效。型去耦等效屬于多端等效。1M(a)L1L223I1I21M(b)L1L223I2I11(c)L1 M23I1ML2 MI21(d)L1 M23I2L2 MM圖圖5-9 5-9 一端相連的互感線圈及其一端相連的互感線圈及其T T型去耦等效電路型去耦等效電路 圖圖5-9(a)為同名端相連的情況，在圖示參考方為同名端相連的情

18、況，在圖示參考方向下，可列出其端鈕間的電壓方程為向下，可列出其端鈕間的電壓方程為 利用電流利用電流 的關系式可將式的關系式可將式(56)變變換為換為 2.1.III1.2.2.232.1.113.IMjILjUIMjILjU(5(56)6) .2.223.1.113.)()(IMjIMLjUIMjIMLjU(5(57)7) 由式由式(57)可得如圖可得如圖5-9(c)所示的去耦等效電路。所示的去耦等效電路。 同理，兩互感線圈異名端相連的情況圖同理，兩互感線圈異名端相連的情況圖5-9(b)可可等效為如圖等效為如圖5-9(d)所示的去耦等效電路。所示的去耦等效電路。 解解 當當cd端開路時，端開路

19、時，線圈線圈2中無電流，因此，中無電流，因此，在線圈在線圈1中沒有互感電壓中沒有互感電壓。以。以ab端電壓為參考，端電壓為參考，電壓電壓 例例5-4 如圖所示的互感電路中，如圖所示的互感電路中，ab端加端加10V的的正弦電壓，已知電路的參數為正弦電壓，已知電路的參數為R1=R2=3，L1=L2=4,M=2。 求求 cd端的開路電壓。端的開路電壓。 aI1R2cbdUabL2L1R1MUcd例例5-45-4圖圖VUoab0/10.A1 .53/24j30/10LjRUIoo1.ab1. 由于線圈由于線圈2中沒有電流，因而中沒有電流，因而L2上無自感電壓。上無自感電壓。但但L1上有電流，因此線圈上

20、有電流，因此線圈2中有互感電壓，根據電流中有互感電壓，根據電流對同名端的方向可知，對同名端的方向可知，cd端的電壓端的電壓V3 .10/4 .13109 .36/4101 .53/2jUIMjUoooab.1.cd. 對于沒有直接電聯系的，但存在磁耦合的兩線對于沒有直接電聯系的，但存在磁耦合的兩線圈，在相對位置和周圍媒質一定時，其互感系數圈，在相對位置和周圍媒質一定時，其互感系數M和和耦合系數耦合系數K的測定可依照下列方法進行。的測定可依照下列方法進行。圖圖5-10 5-10 互感系數互感系數M M和耦合系數和耦合系數K K的測定的測定(1)等值電感法互感系數等值電感法互感系數M和耦合系數和耦

21、合系數K。 用此方法測互感系數用此方法測互感系數M和耦合系數和耦合系數K，先要用萬用表測出，先要用萬用表測出L1 、L2 的電阻，再把的電阻，再把L1 、L2 接入低壓交流電流（接入低壓交流電流（5v左右）左右）電路，測出每一線圈的電流電路，測出每一線圈的電流I和電壓和電壓U，算出，算出Z。若。若R較小時，較小時，可以把阻抗可以把阻抗Z看為感抗看為感抗XL，再算出，再算出L。 圖圖5-10順向串接時。等效電感順向串接時。等效電感L正正 = L1 +L2 +2M 反向串反向串接時，等效電接時，等效電L反反= L1+L2-2M ，則互感系數，則互感系數 再用公式再用公式 ， 可求出可求出K。 L

22、LMK21 ）反反正正LLM (41 此方法準確度不高，用特別是此方法準確度不高，用特別是L正正和和L反反相近時，誤差最大相近時，誤差最大。（可以用兩個不同的耦合鐵心線圈來做實驗。）。（可以用兩個不同的耦合鐵心線圈來做實驗。）(2)互感電勢法測互感系數互感電勢法測互感系數M和耦合系數和耦合系數K 在圖在圖5-2-95-2-9中中 ，具有互感，具有互感M M，而自感分別為，而自感分別為L L1 1和和L L2 2的兩個的兩個線圈，線圈線圈，線圈L L1 1中通入正弦電流中通入正弦電流I I1 1時，線圈時，線圈L L2 2中的互感電壓中的互感電壓1212IMU 則則1221I/UM 可以證明可以

23、證明MMM2112 顯然，電壓表內阻越大，測定結果越準。顯然，電壓表內阻越大，測定結果越準。測得互感系數測得互感系數M M和互感系數和互感系數L L后，可計算耦合系數后，可計算耦合系數K K。5.3 5.3 空芯變壓器空芯變壓器電路的分析電路的分析 變壓器是一種利用互感耦合實現能量傳輸和信號變壓器是一種利用互感耦合實現能量傳輸和信號傳遞的電氣設備。傳遞的電氣設備。 變壓器通常有一個初級繞組和一個次級繞組，初變壓器通常有一個初級繞組和一個次級繞組，初級繞組接電源，次級繞組接負載，能量可以通過磁場級繞組接電源，次級繞組接負載，能量可以通過磁場的耦合，由電源傳遞給負載。它通常由一個初級線圈的耦合，由

24、電源傳遞給負載。它通常由一個初級線圈和一個或幾個次級線圈所組成。初級線圈（也稱原繞和一個或幾個次級線圈所組成。初級線圈（也稱原繞組）接電源，次級線圈（也稱副繞組）接負載。能量組）接電源，次級線圈（也稱副繞組）接負載。能量通過磁耦合由電源傳遞給負載。通過磁耦合由電源傳遞給負載。 如果變壓器的線圈繞在用鐵磁性物質制成的鐵芯如果變壓器的線圈繞在用鐵磁性物質制成的鐵芯上，就叫做上，就叫做鐵芯變壓器鐵芯變壓器，這種變壓器的電磁特性一般，這種變壓器的電磁特性一般是非線性的。是非線性的。 空心變壓器空心變壓器是指以空氣或以任何非鐵磁性物質作是指以空氣或以任何非鐵磁性物質作為芯子的變壓器，這種變壓器的電磁特性

25、是線性的。為芯子的變壓器，這種變壓器的電磁特性是線性的。 空心變壓器廣泛用于測量儀器和高頻電路，本節空心變壓器廣泛用于測量儀器和高頻電路，本節將討論它在正弦穩態中的分析方法。分析含耦合電路將討論它在正弦穩態中的分析方法。分析含耦合電路常常使用常常使用回路分析法回路分析法。 設空芯變壓器電路如圖設空芯變壓器電路如圖5-11（a）所示，其中）所示，其中R1、R2分別為變壓器初、次級繞組的電阻，分別為變壓器初、次級繞組的電阻，RL為負載電為負載電阻，設阻，設US為正弦輸入電壓。為正弦輸入電壓。 圖圖5-11 5-11 空芯變壓器電路及其等效模型空芯變壓器電路及其等效模型 由圖由圖5-11（b）所示的

26、相量模型圖可列出回路方程）所示的相量模型圖可列出回路方程為為s.2.1.11UIMI)LR( jj（5-8）0I)RLR(IM2.L221. jj（5-9）或寫為或寫為s.2.121.11UIZIZ （5-10）0IZIZ2.22.21 （5-11）式中，式中，1111LRZ j ，稱為初級回路自阻抗；，稱為初級回路自阻抗；L2222RLRZ j，稱為次級回路自阻抗；，稱為次級回路自阻抗；MZ21 j ，稱為初次級回路互阻抗。，稱為初次級回路互阻抗。 由此，可求得圖由此，可求得圖5-11所示耦合電感的初級、次級所示耦合電感的初級、次級電流相量分別為電流相量分別為21122211s.222212

27、21112212s.1.ZZZZUZZZZZZZ0UI .2L2211L22UMRLRLRRLR jjjj S22L2211L22UMRLRLRRLR jjj S22L2211L2.2UMRLRLRRLI jjj（5-12）（5-13） 由式由式 （5-12）可求得由電源斷看進去的輸入阻抗）可求得由電源斷看進去的輸入阻抗為為ref11L2222111.siZZRLRMLRIUZ jj（5-14） 由此可見，輸入阻抗由兩部分組成由此可見，輸入阻抗由兩部分組成:1111LRZ j 2222L2222refZMRLRMZ j 式中，式中， Z11即初級回路的自阻抗，即初級回路的自阻抗，Zref 即次級回路即次級回路