1、課題：等差數列的前n項和（一）一、教材透視（一）教材地位與作用等差數列前n項和是數列一章中的重要知識點，是后繼數學學習的重要基礎。推證等差數列前n項和公式的“倒序相加法”是數列求和的一種常用方法。本節課的學習過程將涉及“特殊到一般的思想”、“轉化思想”、“方程思想”、“數形結合”等眾多數學思想方法的靈活和綜合應用。因此學好本節課對于后繼數學學習和提升數學能力都有十分重要的意義。（二）教學目標根據本課內容的特點及課標要求，結合學生已有的“數學現實”和認知特點，我將本課教學目標定位為：（1）知識與技能：理解等差數列前n項和公式的推證方法；掌握公式的運用。（2）過程與方法：在觀察、思考、嘗試等數學活

2、動中履歷公式的探究推證過程，體會“數形結合”、“特殊到一般”等數學思想方法在數學解題中的巧妙運用。（3）情感、態度與價值觀：在觀察、探究、應用、反思中體會數學的思想美和方法美，感悟人類智慧的神奇和偉大，在師生、生生的交流合作中體驗學習和成功的樂趣。（三）教學重點、難點本節課是一堂公式教學課，我認為這類課的教學重點應是引導學生歷經公式的探究推證過程和公式的應用過程，于是我把本課的教學重點、難點確定為：教學重點：等差數列前n項和公式推證和應用。教學難點：等差數列前n項和公式推證思路的探求。二、學情分析學生已有“等差數列初步知識”的數學現實，部分學生還可能聽過或看過高斯小時候解決“”的故事，但“倒序

3、相加法”學生未接觸過，需要教師有意識的引導和點撥。直接套用公式學生應無障礙，但變式應用還需教師引導。鑒于此，在學法上我打算從以下兩方面給予指導：（1）學會借助幾何直觀誘發思維、探究方法本質；善于從特殊入手，然后將結論或方法遷移到一般。（2）注意公式的各種變式并學會合理選擇公式。三、教法（一）教學方法選取數學教育學家波利亞曾經說過：“學習任何知識的最佳途徑即是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”根據高二學生的認識特點和知識水平，為落實重點、突破難點，我打算采用實踐嘗試法、啟發探究法、練習鞏固法等教學方法進行教學，讓學生在自主探索中學習知識，掌握方法，提

4、高能力。（二） 教學媒體利用為了加大課堂容量和學生的思維活動量，根據現代教學理論，本課采用多媒體課件進行教學，將抽象數學問題直觀化、具體化、形象化，通過數形結合，圖表并用，讓學生在生動具體的情境中感悟知識的發生和發展過程，優化學生對知識的理解和掌握。四、程序預設為了提高教學的有效性，全面達成教學目標，本課我預設了如下七個教學環節：（一）創設情景，引入課題播放投影：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，是世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾

5、而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。提出問題：問題1：從第1層到第100層共有多少顆寶石？設計意圖:數學是人類文化的重要組成部分，它的內容、思想、方法和語言與現代文明息息相關。將文化內涵濃厚的“古跡”融入課堂，使枯燥抽象的數學變得生動形象，饒有趣味，可以激發學習數學的興趣，提高教學的有效性。問題1實際上就是求 ，部分學生可能在小學時就聽過或看過高斯解決此題的故事,知道應用“首尾配對”的方法求解，因此設置問題1具有誘發學生聯想回憶的作用。旁白實際教學中，一位同學主動與大家分享了高斯解決此題的故事，還將具體過程呈現在黑板上。 這位同學的講解激活了整個課堂氣氛，同時誘發了其它同學對高

6、斯方法的興趣。視頻1在本課的教學設計中，我估計學生對高斯方法的認識依然屬于記憶、模仿的階段，還沒有觸及方法本質，因此，我預計了問題2：問題2：從第1層到第91層共有多少顆寶石？問題二是求前奇數個正整數和的問題，它不能簡單模仿前偶數個正整數和的辦法。我預計學生當中可能有不同的解法，可能還有錯解。旁白實際教學過程中，證明了我的估計。學生先分組討論，再由各組代表板書其解法，結果果真如此。主要出現了以下三種不同的解法： 視頻2解法一： 解法二： 解法三： 用解法一的學生誤認為從1到91共有90項導致求解錯誤；用解法二和解法三的學生則認識到這是個求奇數個項的和的問題，需先找到中間項，再求解。至此，學生發

7、現用高斯“首尾配對求法”需分奇數個項和偶數個項求解，然而有奇數個項時，中間項不易確定，思維易受阻。于是為了進一步認識“高斯法”的本質，我設置了問題3：問題3：有無更簡單的方法？讓學生思考片刻后，根據學生的反應通過多媒體適時展示右圖進行啟發。旁白借助幾何直觀, 學生悟出了“把三角形倒置與原圖補成平行四邊形”的方法本質,得到了第四種解法：。至此，“倒序相加法”出現已水到渠成。設計意圖幾何直觀能啟迪思維，誘發聯想，認識本質，降低思維難度，它是學習數學和理解數學的重要方法。 作為方法的應用和問題的一般化，我再趁勢給出問題4：問題4： 設計意圖:問題4是為推證等差數列前n項和公式作鋪墊的。（二）嘗試活動

8、、獲得新知1交流討論、推導公式學生自主探究1：如何求等差數列前n項和？由于前面的鋪墊，我估計學生容易作出如下推證過程：設計意圖:通過層層遞進的探究過程，我認為學生完全能自主完成公式的推證，難點自然突破。值得說明的是，在教材處理上我沒有沿用教材方法，而是利用等差數列的性質簡化了求前n項和的過程，我認為這樣做能使公式推證過程更簡單，更自然，更符合學生的實際。為了深化對公式的認識，我引導學生對公式進行變式：學生自主探究2：2類比反思，強化記憶為了幫助學生記憶和認識公式，我又增設了引導學生類比梯形面積公式的這一教學環節（多媒體展示）。設計意圖: 等差數列公式涉及的量比較多,學生剛接觸不易記憶,類比梯形

9、面積公式，能使學生更形象、深刻理解記憶公式。這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應著等差數列前項和的兩個公式，數與形和諧統一，數學美油然而生。（三）初步運用，熟悉公式我們常說，學習的目的在于應用。為此我設計例1。例1（1）如圖1，某電影院有20排座位，第一排有16個座位，后一排比前排多2個座位，問這個劇場共有多少個座位？（2）如圖2，表示堆放的鋼管，共堆放了8層。請你計算鋼管的總數。設計意圖 本例是由課本例1改成的兩個簡單的生活實例，其目的有二：一是讓學生認識數學是有用，感受數學的應用價值；二是引導學生學會選擇適當的公式計算，并熟悉五個基本量間的關系。（四）例題練評，內化新知為了強化公式的應用，

10、內化新知，我設置了例2和變式練習1、2。例等差數列10，6，2，2，的前多少項的和為54？變式練習1 變式練習2在等差數列中，已知，求及。設計意圖:通過本例及變式練習，可以深化對等差數列中“知三求二”問題的理解和掌握，其解答過程體現了“方程思想”的應用。 （五）嘗試練習，提升能力1課本： 第2題。2。設計意圖:練習1選自課本，是檢查學習質量的評價性練習。通過本練習教師可及時準確獲得源于學生的教學信息，發現教與學的不足，增強教學的針對性和有效性。“倒序相加法”是數列中的重要數學方法，為了加深對此方法的理解和掌握，我增設了練習2以提高學生的知識遷移能力。（六）反思小結，優化認知要完善學生的認知結構

11、，提高學習質量，“反思小結”必不可少，我引導學生從以下幾方面反思：一種方法：倒序相加求和法。兩個公式：,幾種思想：從特殊到一般、數形結合、方程思想、化歸與轉化等。設計意圖: 通過師生共同小結與反思，豐富和完善學生的認知結構，使知識與技能內化為學生的數學能力。（七）作業回饋，落實目標1課本 第3題2選做題：（1）。（2）已知定理：“定義在上的函數的圖像關于點對稱”的充要條件是“對任意，都有”。若函數圖像關于點對稱，求的值。 設計意圖: 針對學生能力和水平的差異，進行分層訓練，在所有學生獲得共同知識基礎和基本能力的同時，讓學有余力的學生將學習從課堂延伸到課外，獲得更大的能力提升，這體現了新課標理念

12、，也是因材施教的教學原則的具體運用。五、板書設計等差數列的前n項和 例題板書 引入區 多媒體演示 一 公式的推導 學生互動區二 公式現代數學教學觀和新課改要求教學能從“讓學生學會”向“讓學生會學”轉變、從“教教材”向“用教材教”轉變，使數學教學真正成為數學活動的教學。所以，本節課我認為并不僅僅是單純的傳授知識，而更應該重視對數學思想方法的滲透。我從泰姬陵的傳說入手，從熟悉的知識出發，學生在自主探索、合作交流中經歷公式的推導過程，這樣既激發了學生的學習興趣，又分化突破了難點。教學過程中，我不斷設問，不斷變式，給每個學生提供思考、創造、表現的機會，意在培養學生發現問題解決問題的能力，逐步滲透從特殊

13、到一般、數形結合及方程的思想。實踐證明，本教學設計科學、高效，教學目標達成度良好。等差數列的前n項和（二）（一）教學目標1知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列與一次函數的關系。2.過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發現等差數列的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個規律；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數概念、性質、表達式得到對等差數列相應問題的研究。3情態與價值：培養學生利

14、用學過的知識解決與現實有關的問題的能力。（二）教學重、難點重點：探索并掌握等差數列的前n項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數列的前n項和與二次函數之間的聯系。難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題（三）學法與教學用具學法：講練結合教學用具：投影儀 （四）教學設想創設情景等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數列這么一出好戲。那時，高斯的數學老師提出了下面的問題：1+2+3+100=？當時，當其他同

15、學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=101×50=5050高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，n，前100項的和的問題。今天我們就來學習如何去求等差數列的前n項的和。探索研究 我們先來看看人們由高斯求前100個正整數的方法得到了哪些啟發。人們從高斯那里受到啟發，于是用下面的這個方法計算1，2，3，n，的前n項的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”請同學們觀察思考一下：

16、高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發現了整個數列的第k項與倒數第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規律并且把這個規律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數列的前n項和的。等差數列求和公式的教學一般地，稱為數列的前n項的和，用表示，即1、 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示： 由+，得 由此得到等差數列的前n項和的公式對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。2、 除此之外，等差數列還有其他方法（讀基礎教好學生要介紹）當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其

17、他的推導途徑。例如： = = = =這兩個公式是可以相互轉化的。把代入中，就可以得到引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數”，可以與二次函數進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據已知條件決定選用哪個公式。 公式運用（課本52頁練習1、2）1、 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列的前n項和S. 例題分析例1、2000年11月14日教育部下發了關于在中小

18、學實施“校校通”工程的統治.某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？、先閱讀題目；、引導學生提取有用的信息，構件等差數列模型；、寫這個等差數列的首項和公差，并根據首項和公差選擇前n項和公式進行求解。解：根據題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數列，表示從2001年起

19、各年投入的資金，其中 ， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元. 例2已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？ 引導學生分析得到：等差數列前n項和公式就是一個關于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項和的公式. 解：由題意知 ， 將它們代入公式 得到 解這個關于與d的方程組，得到=4，d

20、=6， 所以另解： 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 例題評述：此例題目的是建立等差數列前n項和與解方程之間的聯系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量. 例3 已知數列的前n項為，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據 與 可知，當n1時， 當n=1時， 也滿足式. 所以數列的通項公式為. 由此可知，數列是一個首項為，公差為2的等差數列。 這個例題還給出了等差數列通項公式的一個求法.已知前n項和，可求出通項（n1） 用這種數列的來確定的方法對于任何數列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.思考：結合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數列的前n項和為其中p、q、r為常數，且p0，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數列兩個