1、向量加法運算及其幾何意義教學設計蘄春一中 胡正霞一、內容和內容解析本課取自普通高中課程標準實驗教科書數學4（必修·人民教育出版社A版）第二章2.2.1,向量是近代數學中最基本的數學概念之一,它既是代數的對象,又是幾何的對象.向量作為代數對象,可以像數一樣進行運算.作為幾何對象,向量有方向,可以刻畫直線,平面,切線等幾何對象；向量有長度,可以解決有關幾何對象的長度,面積,體積等幾何度量問題.向量由大小和方向兩個因素確定,大小反映了向量數的特征,因此,向量是集數,形于一身的數學概念,是數學中數形結合思想的典型體現.同時也是重要的物理模型,平面力場,平面位移以及二者混合產生的做功問題,都可

2、以用向量空間來刻畫和描述.向量不僅溝通了代數與幾何的聯系,而且體現了近現代數學的思想,它在高中數學中的重要地位是不言而喻的.二、目標和目標解析 根據新課標的要求:培養數學的應用意識是當今數學教育的主題,本節課的內容與實際問題聯系緊密,更應強化數學來源于實際又應用于實際的意識. 集本節教材的特點和高一學生對矢量的認知特點,我把本節課的教學目標確定為：（1）理解向量加法的意義,掌握向量加法的幾何表示法,理解向量加法的運算律.（2）理解和體驗實際問題抽象為數學概念的過程和思想,增強數學的應用意識.（3）培養類比、遷移、分類、歸納等能力.（4）進行辯證唯物主義思想教育、數學審美教育,提高學生學習數學的

3、積極性.三、教學問題診斷分析學生在上節課中學習了向量的定義及表示,相等向量,平行向量等概念,知道向量可以自由移動,這是學習本節內容的基礎. 學生對數的運算了如指掌,但是,對于向量的加法運算,學生可能不明白向量可以相加的道理. 于是便產生了疑惑：向量既有大小,又有方向,難道可以相加嗎？為此,我在案例設計中,首先回顧物理中位移、力的合成,讓學生體驗向量加法的實際含義,明確向量的加法就是物理中學過矢量的合成,在此基礎上,歸納總結向量加法的三角形法則和平行四邊形法則. 而向量的運算律發現并不困難,主要任務是讓學生對向量進行探究,構造圖形進行驗證. 關于例2的教學,主要是幫助學生正確理解題意,把問題轉化

4、為向量的加法運算.四、教學支持條件分析彈簧、橡皮筋、砝碼、電腦、實物投影儀五、教學過程同學們,我們知道,數能進行運算,因為有了運算而使數的威力無窮.與數的運算類比,向量是否也能進行運算呢？作為既有大小又有方向的一個矢量,它的運算和實數的運算有什么區別呢？本節課我們將一起來探討向量加法運算及其幾何意義.【環節一 復習回顧】問題1：向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量？【設計意圖】：因為學生沒有學習相關知識,又考慮到本節課的教學內容,因此,只能簡單地描述一下相關知識,作這個介紹,學生能夠接受.【環節二 引入】問題2：某同學從A到B,再從B按原方向到C,則兩次位移的和是多少? 某同學從A到B

5、,再從B按反方向到C,則兩次位移的和是多少? 問題3：如圖（多媒體投影）,公元2008年7月4日實現了兩岸周末“直航”包機,兩岸人民正在創造著歷史,書寫著造福后代子孫的傳奇,使“灣”路直行。由于之前大陸和臺灣沒有直航,因此2006年春節從臺北到上海探親,乘飛機要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么？ 【設計意圖】：求位移是學生在學習物理中經常遇到的問題,問題的提出可以激發學生的學習興趣,同時體現向量的應用價值,通過學生所熟悉的位移和的求法,進一步明確本節課的探索目標,使得教學過程自然流暢.問題4：用二個互相垂直的力F1=3,F2=4把橡皮條拉長一定的距離OE,再撤去F1,F2,

6、用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮沿著相同的方向伸長相同的長度,記錄F的大小和方向結論：排除誤差,可以通過實驗驗證,在取得相同效果的前提下,合力F的方向在以F1,F2的為鄰邊的平行四邊形的對角線上,且大小等于平行四邊形的對角線的長.【設計意圖】：學生雖然具備一定的物理知識,不過對于力的合成和分解,同樣是高一才開始接觸,有必要安排實驗讓學生再次認識合力的大小和方向,學生經過直觀實驗的觀察和分析,很自然地認識三角形法則和平行四邊形法則,為向量的加法定義做鋪墊.說明,如果環境不允許做這樣的實驗,可以通過課件直觀顯示,結合學生在物理實驗中的實驗數據,讓學生體會這一結果.結論：位移和力都可以看成向量,從物

7、理的角度,力F和位移都得到相同的效果,我們把它們稱為合力和合位移,從數學的角度可以把它們看成是二個向量相加.那么根據以上實驗結果,我們如何定義二個向量的加法呢？【環節三 向量加法定義的探究】問題5：讓學生討論,怎么定義任意二個向量的和？（教師在黑板上畫出二個自由向量）,學生討論以后可能會出現以下二個定義方式：（1）已知向量,在平面內任取一點,作,則向量叫做向量的和記作：,即這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則. （2）在平面內過同一點O作=,=,則以向量、為鄰邊構造平行四邊形OACB,則以O為起點的對角線向量即與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.【設計意圖】：對

8、于此環節,比較常見的處理方式是直接給出定義,事實上,學生通過引入環節的活動可以初步認識平行四邊形法則和三角形法則,能調動學生的積極性,激發學生的思維,同時也讓學生在比較討論中進一步掌握二種形式的特點, 根據學生的回答,教師適當提示,啟發學生注意到第一種定義方式對于二個向量不能構成平行四邊形時要增加補充說明,即二向量共線時的向量和如何？教師提示學生考慮：某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和為什么？ 二個向量共線時； (1) 同向： （2）反向： 同樣也滿足第一種定義方式。【環節三 向量加法的二個運算法則】例題1：如圖,已知向量、,用三角形法則求作向量.【設計意圖】：此環節目的為強化鞏

9、固以上二個環節,學生通過前面學習探究,已經掌握二個運算法則的關鍵所在,即三角形法則的“首尾連接”和平行四邊形法則中的“起點相同”,本環節系統概括、適當拓展并且利用適當的練習,幫助學生找出易錯點,進一步突出重點.1.向量加法的三角形法則：在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則教師提示注意點:(1) 要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.(2) 二個向量共線時向量和也滿足三角形法則2.向量加法的平行四邊形法則： 教師通過例題1示范平行四邊形的作圖過程,并提示注意點：(1)從兩個向量的公共始點出發作和

10、向量即三個向量都共起點【環節四 向量加法的運算律 】問題6：向量的加法既然是一種運算,它應該具有一些運算律？請同學們類比實數加法運算律,猜測一下是什么？【設計意圖】： 本環節為本節課的難點,采用啟發討論式教學,讓學生分組討論,教師巡堂指導,學生在嘗試證明和對比分析討論的過程理解二個運算律請同學們利用下圖討論如何驗證？ 請同學協作討論以后寫出證明過程,教師投影學生習作,并根據情況進行歸納點評.【環節五 應用舉例】例題2 ：長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸,如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發,以每小時5公里的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東每小時2公里.（1） 試用

11、向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩位有效數字）（2） 求船實際航行的速度大小與方向（用與江水速度間的夾角表示,精確到度）【設計意圖】： 例2的設計體現了數學來源于實際又應用于實際的思想,使學生學會應用數學知識、數學思想和方法解決有關問題.【環節六 課堂練習】1.如圖：已知向量,用向量加法的三角形法則作出 2.如圖,已知,用向量加法的平行四邊形法則作出.OA1A2A3A4A5A63.O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，求出下列向量： （1）（2）（3）（4）ABCE4.根據圖示填空：（1）_; （2）_: （3）_;（4）_.ABODC5.根據圖形填空：（1）+=（2）+

12、=6. 求向量 =_.課后探究練習(1)在平行四邊形中, ,則用表示向量的是（ ）A B C0 D (2)在平面內能否構造三個非零向量 使課后作業： ,（）（） 【環節七 小結、課后思考題】問題7：通過本節課的學習你有哪些收獲？【設計意圖】：讓學生通過小結,反思學習過程,加深對向量加法及兩個法則的理解,領會并能數學思想和方法解決有關問題.六、目標檢測設計：本節課采用“探究討論”教學法.主要把教學過程分成兩個步驟：第一步驟是“探究”.我所設計的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法,將有關材料有層次地提供給學生,讓學生獨立地去支配它,進而探索、研究它.學生通過這些“有結構”的材料進行探究,獲得對向量加法的感性認識和形成各自對向量加法概念的了解.第二步驟是“研討”,即在探究的基礎上,組織學生在研討自己在探究中的發現,通過互相交流、啟發、補充、爭論,使學生對向量加法的認識從感性的認識上升到理性認識,獲得一定水平層次的科學概念.這節課主要是交給學生“動手做,動腦想；多訓練,勤鉆研.”的研討式學習方法.這樣做,增加了學生主動參與的機會,增強了參與意識,教給學生獲取知識的途徑和思考問題的方法.使學生真正成為教學的