1、圖2-1 習題2-1 質量彈簧摩擦系統示意圖2-1 設質量-彈簧-摩擦系統如圖2-1所示，途中為黏性摩擦系數，為彈簧系數，系統的輸入量為力，系統的輸出量為質量的位移。試列出系統的輸入輸出微分方程。解：顯然，系統的摩擦力為，彈簧力為，根據牛頓第二運動定律有移項整理，得系統的微分方程為圖2-2 習題2-2 機械系統示意圖2-2 試列寫圖2-2所示機械系統的運動微分方程。解：由牛頓第二運動定律，不計重力時，得整理得2-3 求下列函數的拉氏變換。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-4 求下列函數的拉氏反變換（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-5 試分別列寫圖2-3中各無源網絡的微分方程

2、（設電容上的電壓為，電容上的電壓為，以此類推）。 圖2-3 習題2-5 無源網絡示意圖解：（a）設電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為（b）設電容、上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為（c）設電阻上電壓為，兩電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 （1） （2） （3） （4）（2）代入（4）并整理得 （5）（1）、（2）代入（3）并整理得兩端取微分，并將（5）代入，整理得輸入輸出關系的微分方程為2-6 求圖2-4中各無源網絡的傳遞函數。 圖2-4 習題2-6示意圖解：（a）由圖得 （1） （2）（2）代入（1），整

3、理得傳遞函數為（b）由圖得 （1） （2） 整理得傳遞函數為（c）由圖得 （1） （2） （3） （4）整理得傳遞函數為圖2-5 習題2-7 無源網絡示意圖2-7 求圖2-5中無源網絡的傳遞函數。解：由圖得整理得2-8 試簡化圖2-6中所示系統結構圖，并求傳遞函數和。解：（a）求傳遞函數，按下列步驟簡化結構圖：圖2-6 習題2-8 系統結構圖示意圖 令，利用反饋運算簡化如圖2-8a所示圖2-8a 串聯等效如圖2-8b所示 圖2-8b根據反饋運算可得傳遞函數求傳遞函數，按下列步驟簡化結構圖：令，重畫系統結構圖如圖2-8c所示 圖2-8c 將輸出端的端子前移，并將反饋運算合并如圖2-8d所示 圖2

4、-9d和串聯合并，并將單位比較點前移如圖2-8e所示 圖2-8e串并聯合并如圖2-8f所示圖2-8f根據反饋和串聯運算，得傳遞函數（b）求傳遞函數，按下列步驟簡化結構圖：將的引出端前移如圖2-8g所示 圖2-8g合并反饋、串聯如圖2-8h所示 圖2-8h 將的引出端前移如圖2-8i所示 圖2-8i 合并反饋及串聯如圖2-8j所示 圖2-8j根據反饋運算得傳遞函數圖2-7 習題2-9 系統結構圖示意圖習題2-4 無源網絡示意圖2-9 試簡化圖2-7中所示系統結構圖，并求傳遞函數。解：求傳遞函數，按下列步驟簡化結構圖： 將的引出端前移如圖2-9a所示 圖2-9a 合并反饋及串聯如圖2-9b所示 圖

5、2-9b 合并反饋、串聯如圖2-9c所示 圖2-9c根據反饋運算，得傳遞函數2-10 根據圖2-6給出的系統結構圖，畫出該系統的信號流圖，并用梅森公式求系統傳遞函數和。解：（a）根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-10a所示。 圖2-10a（1）令，求系統傳遞函數 由信號流圖2-10a可見，從源節點到阱節點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為（2

6、）令，求系統傳遞函數?由信號流圖2-10a可見，從源節點到阱節點之間，有兩條前向通路，其增益為，有兩個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸的回路，所以流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式，根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為（b）根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-10b所示。 圖2-10b求系統傳遞函數由信號流圖2-10b可見，從源節點到阱節點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式為由于前向

7、通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式 根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為2-11 根據圖2-7給出的系統結構圖，畫出該系統的信號流圖，并用梅森公式求系統傳遞函數。解：根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-11a所示 圖2-11a由信號流圖2-11a可見，從源節點到阱節點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸回路。因此，流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為3-2 已知各系統得脈沖

8、響應，試求系統的閉環傳遞函數：（1）；（2）；（3）。 解：（1）（2） （3）3-3 已知二階系統的單位階躍響應為，試求系統的超調量，峰值時間和調節時間。解： 由上式可知，此二階系統的放大系數是10，但放大系數并不影響系統的動態性能指標。由于標準的二階系統單位階躍響應表達式為所以有 解上述方程組，得所以，此系統為欠阻尼二階系統，其動態性能指標如下 超調量 峰值時間 調節時間 3-4 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為，試求系統在單位階躍輸入下的動態性能。解題過程：由題意可得系統得閉環傳遞函數為其中。這是一個比例微分控制二階系統。 比例微分控制二階系統的單位階躍響應為 故顯然有 此系統得動態性能

9、指標為 峰值時間 超調量 調節時間 3-5 已知控制系統的單位階躍響應為，試確定系統的阻尼比和自然頻率。解： 系統的單位脈沖響應為系統的閉環傳遞函數為自然頻率 阻尼比 3-6 已知系統特征方程為，試用勞斯穩定判據和赫爾維茨穩定判據確定系統的穩定性。解：先用勞斯穩定判據來判定系統的穩定性，列出勞斯表如下顯然，由于表中第一列元素得符號有兩次改變，所以該系統在右半平面有兩個閉環極點。因此，該系統不穩定。再用赫爾維茨穩定判據來判定系統的穩定性。顯然，特征方程的各項系數均為正，則 顯然，此系統不穩定。3-7 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為，試應用勞斯穩定判據確定義為多大值時，特使系統振蕩，并求出振蕩頻

10、率。解： 由題得，特征方程是列勞斯表由題意，令所在行為零得由行得 解之得 ，所以振蕩角頻率為 3-8 已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為，試確定系統穩定時的值范圍。解：由題可知系統的特征方程為列勞斯表如下 由勞斯穩定判據可得解上述方程組可得 3-9系統結構如圖3-1所示，定義誤差，(1) 若希望圖a中，系統所有的特征根位于平面上的左側，且阻尼比為0.5，求滿足條件的的取值范圍。(2) 求圖a系統的單位斜坡輸入下的穩態誤差。(3) 為了使穩態誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個比例微分環節，如圖b所示，試求出合適的值。 (a) (b)圖3-1 習題3-9 示意圖 解：（1）閉環傳遞函數為 即，代入上式

11、得，列出勞斯表， (2) ，系統為I型系統 (3)并沒有改變系統的穩定性。3-10 已知單位反饋系統的開環傳遞函數： （1）；（2）試求輸入分別為和時，系統的穩態誤差。解：（1）由上式可知，該系統是型系統，且。型系統在信號作用下的穩態誤差分別為：。根據線性疊加原理有該系統在輸入為時的穩態誤差為，該系統在輸入為時的穩態誤差為 （2） 由上式可知，該系統是型系統，且。型系統在信號作用下的穩態誤差分別為：。根據線性疊加原理有該系統在輸入為時的穩態誤差為，該系統在輸入為時的穩態誤差為3-11已知閉環傳遞函數的一般形式為誤差定義為。試證，（1） 系統在階躍信號輸入下，穩態誤差為零的充分條件為（2）系統在

12、斜坡信號輸入下，穩態誤差為零的充分條件為（3）推導系統在斜坡信號輸入下穩態誤差為零的充分條件 （4）求出系統閉環傳遞函數與系統型別之間的關系解：（1） 滿足終值定理的條件， 即證 （2） 滿足終值定理的條件， 即證(3) 對于加速度輸入，穩態誤差為零的必要條件為同理可證（4）系統型別比閉環函數分子最高次冪大1次。3-12 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：（1）；（2）；（3）試求位置誤差系數，速度誤差系數，加速度誤差系數。解：（1） 此系統是一個型系統，且。故查表可得，（2） 根據誤差系數的定義式可得 （3） 根據誤差系數的定義式可得3-13設單位反饋系統的開環傳遞函數 輸入信號為 其中,

13、, , i, , 均為正數，a和b為已知正常數。如果要求閉環系統的穩態誤差<, 其中, 試求系統各參數滿足的條件。解：首先系統必須是穩定的，系統的閉環特征方程為式中，,為系統的開環增益，各參數滿足： , 即穩定條件為 由于本例是I型系統，其, ,故在作用下，其穩態誤差 必有 于是，即能保證系統穩定，又滿足對系統穩態誤差要求的各參數之間的條件為 3-14 設單位反饋系統的開環傳遞函數為。試用動態誤差系數法求出當輸入信號分別為時，系統的穩態誤差。 解：系統的誤差傳遞函數為所以有對上式進行拉氏反變換可得 （1）當時，顯然有 將上述三式代入（1）式，可得系統的穩態誤差為 3-15 假設可用傳送函

14、數描述溫度計的特性，現在用溫度計測量盛在容器內的水溫，需要一分鐘時間才能指出實際水溫的的數值。如果給容器加熱，使水溫依的速度線性變化，問溫度計的穩態誤差有多大?解：由題意，該一階系統得調整時間，但，所以。系統輸入為，可推得因此可得 的穩態分量為穩態誤差為 所以，穩態誤差為3-16如圖3-2所示的控制系統結構圖，誤差在輸入端定義，擾動輸入.(1) 試求時，系統在擾動輸入下的穩態輸出和穩態誤差。(2) 若, 其結果又如何？(3) 在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環節，對其結果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環節，對其結果又有何影響？ 圖3-2 習題 3-16 示意圖解：令 ，則

15、代入 得 令，得擾動作用下的輸出表達式： 此時的誤差表達式為：若在s 右半平面上解析，則有 在擾動輸入下的穩態輸出為 代入的表達式，可得 （1） 當時，（2） 當時， 可見，開環增益的減小將導致擾動作用下系統穩態輸出的增大，且穩態誤差的絕對值也增大。（3） 若加在擾動之前，則 得 若加在擾動之后，則 可見在擾動作用點之前的前向通路中加入積分環節，可以消除階躍輸入引起的穩態誤差。3-17 設隨動系統的微分方程為： 其中，為系統輸出量，為系統輸入量，為電動機機電時間常數，為電動機電磁時間常數，為系統開環增益。初始條件全部為零，試討論：（1） 、與之間關系對系統穩定性的影響（2） 當, , 時，可否

16、忽略的影響？在什么影響下的影響可以忽略？解：（1）對系統微分方程在零初始條件下進行拉氏變換，得閉環系統特征方程 當 均為正值時，且有 即 時 閉環系統穩定。（2）由于，因此只有當 閉環系統才穩定，顯然，對于, 閉環不穩定。此時若略去, 閉環特征方程為 上式中各項系數為正，從而得到得出閉環系統穩定的錯誤結論。如果 。如果，則略去不會影響閉環穩定性。 對于本例，當時，不能忽略對穩定性的影響，否則可以忽略。3-18 設計題飛機的自動控制，是一個需要多變量反饋方式的例子。在該系統中，飛機的飛行姿態由三組翼面決定，分別是：升降舵，方向舵和副翼，如附圖3-3(a)所示。飛行員通過操縱這三組翼面，可以使飛機

17、按照既定的路線飛行。這里所要討論的自動駕駛儀是一個自動控制系統，它通過調節副翼表面來控制傾角，只要使副翼表面產生一個的變形，氣壓在這些表面上會產生一個扭矩，使飛機產生側滾。圖3-3（a） 飛機副翼模型圖飛機副翼是由液壓操縱桿來控制的，后者的傳遞函數為。測量實際的傾角，并與輸入設定值進行比較，其差值被用來驅動液壓操縱桿，而液壓操縱桿則反過來又會引起副翼表面產生變形。為簡單化起見，這里假定飛機的側滾運動與其他運動無關，其結構圖如圖3-3(b)所示，又假定，且角速率由速率陀螺將其值進行反饋，期望的階躍響應的超調量，調節時間(以的標準)，試選擇合適的和值。圖3-3（b） 飛機控制傾角結構圖解：由于過阻

18、尼響應緩慢，故通常不希望采用過阻尼系統，在本題中欠阻尼因此，計算可得又因，由題計算可得，故圖4-1 習題4-1系統零極點分布圖4-1 已知系統開環零極點分布如圖4-1所示，試繪制相應的根軌跡圖。解：圖4-1a根軌跡圖（a）根軌跡的漸近線條數為（b）根軌跡的漸近線條數為（c）根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾斜角為，（d）根軌跡的漸近線條數為（e）根軌跡的漸近線條數為（f）根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾斜角為4-2 已知單位反饋控制系統的前向通道傳遞函數為：(1) (2) (3) (4) ，畫出各系統的根軌跡圖。解：（1）按下列步驟繪制根軌跡： 系統開環有限零點為；開環有限極點為實軸上的根軌跡區

19、間為根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-2a所示 圖4-2a 閉環系統根軌跡圖（2）按下列步驟繪制根軌跡：系統沒有開環有限零點；開環有限極點為實軸上的根軌跡區間為根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為分離點方程為解得分離點閉環系統根軌跡如下圖4-2b所示 圖4-2b（3）按下列步驟繪制根軌跡：系統沒有開環有限零點；開環有限極點為 實軸上根軌跡區間為 根軌跡的漸近線條數為，根軌跡的起始角：復數開環有限極點處，分離點方程為解得分離點檢查時，時，皆為閉環系統根軌跡的分離點。確定根軌跡與虛軸的交點：系統閉環特征方程為列寫勞斯表當時，勞斯

20、表出現全零行，輔助方程為解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡如下圖4-2c所示： 圖4-2c（4）按下列步驟繪制根軌跡：系統開環有限零點為；開環有限極點為，實軸上根軌跡區間為根軌跡的漸近線條數為，分離點方程為解得分離點根軌跡如下圖4-2d所示： 圖4-2d圖4-2 習題4-3系統零極點分布圖4-3 給定系統如圖4-2所示，試畫出系統的根軌跡，并分析增益對系統阻尼特性的影響。解：（1）作系統的根軌跡。開環傳遞函數為開環極點為和，開環零點為和。所以實軸上的根軌跡區間為和。分離點方程得分離點檢查時，時，可得到根軌跡如下圖4-3a所示 圖4-3a（2）分析增益對阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出，對于任意，

21、閉環系統都是穩定的，但阻尼狀況不同。增益較小時（）系統過阻尼；增益很大時（），系統過阻尼；增益中等時（），系統欠阻尼。圖4-3 習題4-4系統結構圖4-4 給定控制系統如圖4-3所示， ，試用系統的根軌跡圖確定，速度反饋增益為何值時能使閉環系統極點阻尼比等于。解：（1）求系統的閉環特征方程并劃成標準形式。通過方塊圖變換或代數運算可以求得單位反饋系統的開環傳遞函數因為可變參數不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統的閉環特征方程改寫為即，上述閉環特征方程也相當于開環傳遞函數為的系統的閉環特征方程。（2）根據作出根軌跡圖。有兩個極點，一個零點，所以負實軸是根軌跡，而且其上有分離點。將閉環特征方程改寫

22、為由可以求得，其中在根軌跡上，對應增益為，故是實軸上的分離點。根軌跡如圖4-4a所示。 圖4-4a（3）求反饋增益。首先要確定閉環極點。設途中虛線代表，則閉環極點為根軌跡和該虛線的交點，由可得。設列出該點對應的輻角條件經整理得兩邊同取正切，整理得解得，。所以該閉環極點為。再由得速度反饋增益為。4-5 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：。要求系統的閉環極點有一對共軛復數極點，其阻尼比為。試確定開環增益，并近似分析系統的時域性能。解：根據繪制常規根軌跡的基本法則，作系統的概略根軌跡如圖4-5a所示。 圖4-5a欲確定，需先確定共軛復極點。設復極點為根據阻尼比的要求，應保證在圖上作的阻尼線，并得到初

23、始試探點的橫坐標，由此求得縱坐標。在處檢查相角條件不滿足相角條件；修正，則，點處的相角為；再取，則，點處的相角為。因此共軛復極點。由模值條件求得運用綜合除法求得另一閉環極點為。共軛復極點的實部與實極點的實部之比為，因此可視共軛復極點為系統的主導極點，系統的閉環傳遞函數可近似表示為并可近似地用典型二階系統估算系統的時域性能4-6 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：試畫出系統的根軌跡圖，并分析系統的穩定時K的取值范圍。解：由題得開環極點：和開環零點：分離、會合點：從平面的零點、極點分布可知在區間內可能有分離、會合點。記由，可得經整理后得到用試探法或程序算得區間內的一個根為，它就是實軸上的分離點。根

24、軌跡自復數極點的出射角：根軌跡趨向復數零點的入射角：根軌跡與虛軸的交點：閉環特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得 解得根據以上數據畫根軌跡圖，如圖4-6a所示。 圖4-6a 根軌跡圖再分析系統得穩定情況：根軌跡與虛軸第一個交點的頻率為 ，利用幅值條件可以計算出對應的增益同樣可以算得與和對應的增益參看根軌跡圖可知：系統穩定時的取值范圍為：或4-7 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：的變化范圍是，試畫出系統的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：系統沒有開環有限零點；開環有限極點為實軸上的根軌跡區間為根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為 分離點方程為 解得分離點閉環系統

25、根軌跡如下圖4-7a所示 圖4-7a4-8 已知反饋控制系統的開環傳遞函數為：試畫出和同時變化的根軌跡簇。解：（1）列寫閉環特征方程。閉環特征方程為（2）畫，從到的根軌跡。時閉環特征方程為。這相當于一個開環傳遞函數為的系統。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見圖4-8a中由圓圈構成的根軌跡。（3）畫為常數，從到的根軌跡。給定，則閉環特征方程為它相當于一個開環傳遞函數為的系統，該系統的開環極點為，開環零點為。圖4-8a中不帶圓圈的根軌跡是時的根軌跡。 圖4-8a4-9 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：的變化范圍是，試畫出系統的閉環根軌跡。解：系統閉環特征方程為 即有等效開環傳遞函數為，變化范圍為按

26、照繪制常規根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項參數：（1）等效系統無開環有限零點；開環有限極點為：（2）實軸上的根軌跡區間為（3）根軌跡有3條漸近線，且（4）根軌跡的分離點：由分離點方程 解得（5）根軌跡與虛軸的交點：根據閉環特征方程列寫勞斯表如下： 當時，勞斯表的行元素全為零，輔助方程為解得繪制系統參數根軌跡如圖4-9a所示 圖4-9a4-10 已知反饋控制系統中，其開環傳遞函數為：(1) 繪制時的閉環根軌跡概略圖；(2) 繪制時的閉環根軌跡概略圖；(3) 比較開環零點變化對根軌跡形狀的影響。解：（1）開環傳遞函數按下列步驟繪制根軌跡：系統開環有限零點為；開環有限極點為，實軸上的根軌跡區間為根軌

27、跡的漸近線條數為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-10a所示 圖4-10a根軌跡圖（2）開環傳遞函數按下列步驟繪制根軌跡：系統開環有限零點為，；開環有限極點為，實軸上的根軌跡區間為 和 根軌跡的漸近線條數為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-10b所示 圖4-10b根軌跡圖4-11 給定控制系統的開環傳遞函數為：試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分取何值時閉環系統穩定。解：（1）求系統的閉環特征方程并化成標準的形式。因為可變參數不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統的閉環特征方程可改寫為則開環傳遞函數為（2）根據作系統的根軌跡。中的增益

28、為負值，所以要作系統的補根軌跡。開環極點為和，開環零點為。按照補根軌跡的作圖規則，實軸上的根軌跡區間為和。在 區間有會合點，在有分離點。為求分離、會合點，將閉環特征方程改寫為由，得，解得，分別對應的增益為和，所以是分離、會合點。可以證明，不在實軸上的根軌跡是一個圓，圓心在，半徑為。以為參變量的根軌跡如圖4-11a所示， 圖4-11a圖中箭頭表示從到的方向，也即從到的方向。（3）求使閉環系統穩定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點。由閉環特征方程可知，時系統處于臨界穩定狀態，這相當于，所以使閉環系統穩定的范圍為。4-12 實系參數多項式函數為：欲使的根均為實數，試確定參數的范圍。解：對作等效變換

29、得等效開環函數為當時，需繪制常規根軌跡：系統開環有限零點為；開環有限極點為，實軸上的根軌跡區間為和根軌跡有2條漸近線，且；由分離點方程在實軸區間內用試探法求得。繪制根軌跡圖，如圖4-12a所示。當時，需繪制零度根軌跡。實軸上，零度根軌跡區間為(-,-3，-2,-1和0,+。作零度根軌跡圖，如圖4-12b所示。當多項式有根時，根據模值條件得根據常規根軌跡圖，知當時，多項式的根皆為實數；根據零度根軌跡圖，知當時，多項式的根亦全為實數。因此所求參數的范圍為。 圖4-12a 常規根軌跡 圖4-12b 零度根軌跡4-13 設系統開環傳遞函數為：(1) 大致畫出系統的根軌跡圖；(2) 用文字說明當時，如何

30、求系統單位階躍響應的超調量，峰值時間及調節時間。解：（1）繪根軌跡圖漸近線：分離點：由，得相應的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點：閉環特征方程列勞斯表當時，勞斯表出現全零行，由輔助方程得根軌跡與虛軸交點處為根軌跡圖如下圖4-13a所示： 圖4-13a（2）求動態性能指標當時，系統，閉環有兩個實主導極點和，且，因此求得調節時間如下：當時，閉環系統有一對共軛復極點，則由于因此 4-14 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：試畫出系統根軌跡圖，并求出系統具有最小阻尼比時的閉環極點和對應的增益。解：系統在實軸上的根軌跡區域為和在這兩段區域內，均存在分離點。為了求出分離點，令求出 因而復數根軌跡是以為圓心，為半

31、徑的一個圓，如圖4-14a所示 圖4-14a在圖上，過原點作圓得切線，得最小阻尼比線。由根軌跡圖知，對于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比響應的閉環極點由根軌跡模值條件，可求出相應的增益為4-15 已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為：試按照步驟作出時的根軌跡圖。解：開環極點：根軌跡在實軸上的區間根軌跡的漸近線分離點： 即 整理得 為了求取分離點方程的根，將上式表示為令等效開環傳遞函數為其中。若令從變到，其根軌跡如圖4-15a所示。圖中，漸近線圖4-15a；分離點。在圖上，試探，檢驗模值條件 故符合要求，故為分離點方程的一個根。利用綜合除法，有求得分離點分離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點：

32、閉環特征方程為列勞斯表顯然，當時，根軌跡和虛軸相交，由輔助方程 求得交點處根據以上步驟，繪制系統根軌跡圖4-15b 圖4-15b 根軌跡圖4-16 設某單位負反饋系統的開環傳遞函數為：(1) 繪制從時系統的根軌跡圖；(2) 求系統階躍響應中含有時的值范圍，其中；(3) 求系統有一個閉環極點為時的閉環傳遞函數。解：繪制根軌跡圖閉環特征方程為 寫成根軌跡方程形式為： 令等效開環傳遞函數為實軸上根軌跡：分離點：由求得與虛軸交點：列勞斯表顯然，當時系統處于臨界穩定，由輔助方程并代入，解出交點處分離點處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統根軌跡如圖4-16a所示 圖4-16a（2）求值范圍當系統階躍響應含

33、有分量時，系統處于欠阻尼狀態，系統有一對具有負實部的共軛極點，值范圍為（3）求閉環傳遞函數當系統具有閉環極點時，由模值條件，其對應的值為于是 閉環傳遞函數為 5-1 設系統閉環穩定，閉環傳遞函數為，試根據頻率特性的定義證明，輸入為余弦函數時，系統的穩態輸出為解：由題目可得對等式兩邊同時進行拉氏變換可得由于系統閉環穩定，所以不存在正實部的極點。假設可表示為如下表達式由以上分析可得，系統的閉環傳遞函數為對上述閉環傳遞函數作如下分解對上式等式兩邊進行拉氏反變換可得由系統穩態輸出的定義可得利用留數法確定待定的系數所以可得 5-2 若系統階躍響應為：試確定系統頻率特性解：單位階躍輸入信號的拉氏變換為系統

34、單位階躍響應的拉氏變換為 系統的閉環傳遞函數為將代入傳遞函數可得 5-3 設系統結構圖如圖5-1所示，試確定輸入信號圖5-1 習題5-3控制系統結構圖作用下，系統的穩態誤差。解：如圖5-1所示，系統的誤差傳遞函數為1： 備注：為什么穩態誤差？其幅頻特性和相頻特性分別為當時 5-4已知系統開環傳遞函數； 試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統的頻率特性如下 由于系統，所以開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧 當時， 當時，又由于，所以有當時，開環幅相曲線始終處于第三象限，如圖5-4a所示；當時，開環幅相曲線始終處于第二象限，如圖5-4b所示。 圖5-4a開環幅相曲線 圖5

35、-4b開環幅相曲線 5-5 已知系統開環傳遞函數試分別繪制時系統的概略開環幅相曲線。解：由題目可知，系統的頻率特性如下 當時，開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。圖5-5

36、a系統開環幅相曲線5-6已知系統開環傳遞函數試分別計算和時，開環頻率特性的幅值和相位。解：系統的開環頻率特性表達式如下當時此時當時此時5-7 繪制下列傳遞函數的對數幅頻漸進特性曲線a 圖2-7a對數幅頻漸進特性曲線b 圖2-7b對數幅頻漸進特性曲線對數幅頻漸進特性曲線 c 圖2-7c對數幅頻漸進特性曲線對數幅頻漸進特性曲線d 圖2-7d對數幅頻漸進特性曲線5-8 已知系統開環傳遞函數試繪制的對數頻率特性曲線，并算出截止頻率。解：由題可得則 因此 對數頻率特性曲線如圖5-8a所示 圖5-8a 對數頻率特性曲線又，可得，即計算可得5-9 已知系統開環傳遞函數為：a計算截止頻率。b確定對數幅頻漸進特

37、性曲線的低頻漸進線的斜率。c繪制對數幅頻特性曲線。解： 計算可得當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；繪制對數幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。 圖5-9a 對數幅頻特性曲線5-10 利用奈氏判據分別判斷題5-4，5-5系統的閉環穩定性。解：(1) 對于題5-4的系統，分和的兩種情況來討論系統的閉環穩定性。當時，系統的開環幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統的開環幅相曲線不包圍，根據奈奎斯特判據可得又由系統得開環傳遞函數可知即，閉環系統在右半平面無極點，時閉環系統穩定。當時，系統的開環幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，又由系統得開環傳遞函數可知即，閉環系統在右半平面有2個

38、極點，時閉環系統不穩定。(2) 對于題5-5的系統，其開環幅相曲線如圖所示，由圖5-5a可知當時，又由系統得開環傳遞函數可知即，閉環系統在右半平面無極點，時閉環系統穩定。當時，又由系統得開環傳遞函數可知即，閉環系統在右半平面有2個極點，時閉環系統不穩定。5-11 用勞斯判斷據驗證題5-10的結果。解：（1）對于題5-4的系統，由題得閉環系統特征方程為列勞斯表則當時，即第一列各值為正，即閉環系統穩定；當時，即第一列各值不全為正，即閉環系統不穩定。（2）對于題5-5的系統，由題得閉環系統特征方程為，即當時，列勞斯表第一列各值為正，即閉環系統穩定；當時，列勞斯表第一列各值不全為正，即閉環系統不穩定；

39、當時，情況與相同，即閉環系統不穩定。5-12 已知三個系統的開環傳遞函數為，又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個傳遞函數分別對應的奈奎斯特曲線，并判斷單位反饋下閉環系統的穩定性圖5-2 習題5-12控制系統乃奎斯特曲線圖解：三個傳遞函數對應的奈奎斯特曲線分別為對式，則，故系統穩定；對式，則，故系統穩定；對式，則，故系統穩定；5-13 已知系統開環傳遞函數； 試根據奈氏判據，確定其閉環穩定條件：a時，值的范圍；b時，值的范圍；c，值的范圍。解：由系統的開環傳遞函數可知，系統的開環曲線圖如圖5-13a所示圖5-13a 系統開環曲線 由于，故想要閉環系統穩定，必有，即幅相

40、曲線不包圍點。系統的頻率特性表達式如下、時，對于開環幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得 、時，對于開環幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得 、對于開環幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得 5-14 某系統的開環傳遞函數為要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，并判斷閉環系統的穩定性：a；b；c；d。解：a 當時，其開環幅相曲線如圖5-14a所示，則，故在平面右半平面有2個閉環極點，閉環系統不穩定；b當時，若，則若，則其開環幅相曲線如圖5-14b所示，則，故系統不穩定；c 當時，若，則若，則其開環幅相曲線如圖5-

41、14c所示，則，故系統不穩定；d當時，由可得,故可得其開環幅相曲線如圖5-14d所示， 圖5-14a 開環幅相曲線 圖5-14b 開環幅相曲線則，故系統穩定。 圖5-14c 開環幅相曲線 圖5-14d開環幅相曲線 5-15 已知反饋控制系統的開環傳遞函數為，如果閉環系統不穩定，閉環傳遞函數會有幾個極點在復數平面的右半平面？解：當時，當時，由于系統不穩定，故可得其開環幅相曲線如圖5-15a所示由圖可得，則，故閉環傳遞函數有2個極點在復數平面的右半平面。 圖5-15a 開環幅相曲線5-16 設控制系統的結構圖如圖5-3所示。a求出開環傳遞函數；b畫出對數相頻特性曲線；c求出臨界開環比例和截止頻率；

42、d用奈氏判據判斷該系統是否穩定，如果穩定再分別求出當輸入信號和的情況下系統的靜態誤差。圖5-3 習題5-16控制系統結構圖解： （a）系統開環傳遞函數為（b） ， ，圖5-16a （c） ， ， 系統開環頻率特性為 與實軸的交點 故幅相曲線為圖5-16b當時，系統臨界穩定，得當時，系統穩定 圖5-16c當時，系統不穩定當時，當時，5-17 已知某最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖5-4所示。a寫出其開環傳遞函數；b畫出其相頻特性草圖，并從圖上求出和標明相角裕度和幅值裕度；c求出該系統達到臨界穩定時的開環比例系數值；圖5-4 習題5-17控制系統結構圖d在復數平面上畫出其奈奎斯特曲線，并標明點的

43、位置。解： （1）確定系統積分或微分環節的個數。因對數幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為，由圖，低頻漸近斜率為，故，系統含有2個積分環節。（2）確定系統傳遞函數結構形式。由于對數幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉折點對應的頻率為所含一階或二階環節的交接頻率，每個交接頻率處斜率的變化取決于環節的種類。處，斜率變化，對應微分環節；處，斜率變化，對應慣性環節；處，斜率變化，對應慣性環節。因此，所測系統具有下述傳遞函數 其中待定。（3）低頻漸近線方程為由給定點，得故所測系統傳遞函數為5-18設單位反饋控制系統的開環傳遞函數試確定相角裕度為時的參數值。解： 系統的頻率特性表達式為 設系統的截止頻率為，

44、則由相角裕度的定義可得即又由于由上式得 所以 5-19 若高階系統的時域指標為，試根據經驗公式確定系統的截止頻率和相角裕度的范圍。解：根據經驗公式， 根據題意有， 可求得5-20 典型二階系統的開環傳遞函數若已知，試確定相角裕度的范圍；若給定，試確定系統帶寬的范圍。解：由于且，可解得而根據題意 又有，且故計算可得：5-21 設二階系統如圖5-5(a)所示。若分別加入測速反饋校正，（圖5-5(b)）和比例-微分校正，（圖5-5(c)），并設，試確定各種情況下相角裕度的范圍，并加以比較。圖5-5 習題5-21控制系統結構圖解：(a)由題意可知系統開環頻率特性，設為截止頻率，當時，則有和把代入上式，

45、得：， (b)由題意可知系統開環傳遞函數為其開環頻率特性為設為截止頻率，當時，則有和把，設，代入上式，得：，(c)由題意可知系統開環傳遞函數為，其中其開環頻率特性為，設為截止頻率，當時，則有和把，設，代入上式，得：，圖5-6 習題5-22控制系統結構圖5-22 已知單位反饋系統的開環幅相特性曲線如圖5-6所示。當時，系統幅值裕度，穿越頻率，試求輸入為，幅值裕度為下述值時，系統的穩態誤差。ab解：設系統開環傳遞函數為：開環系統幅頻特性為：系統的開環頻率特性為：解得當有， 得則系統開環傳遞函數可寫成系統與實軸的交點為當時， ，當時，5-23 設單位反饋系統如圖5-7所示。其中，；時，截止頻率，若要求不變，問與如何變化才能使系統相角裕度提高至？解：開環系統幅頻特性為：相頻特性為：當時，把代入得：若要求相角提高，即要求提高，設調整后的系統相頻特性為： 調整后的值為：，值不做調整。