1、B組題數學建模電影院座位設計問題物流072黃永釗物流072侯寶玲影院座位設計問題（摘要）觀眾的滿意度主要取決于視角和仰角兩個因素，但在實際生活中兩者又不可能同時達到最佳，只能二者兼顧. 針對問題1，本文根據已知條件通過計算得知，最前排視角和仰角的值均為最大，最后排視角和仰角的值均為最小，和的正切值呈遞減趨勢. 那么仰角時的位置是否是最佳位置呢？本文先將離散的座位連續化，求出了的表達式，并通過計算的最大值，找到了最佳座位點.針對問題2，由于觀眾的滿意度是一個模糊的概念，本文引入了“滿意度函數”的概念，構造了滿意度函數，通過這一函數來度量觀眾滿意程度隨其座位離屏幕的距離的變化趨勢.在傾斜角固定的情

2、況下，滿意度函數值隨的變化而變化，不同的有不同的滿意度.根據滿意度函數這一衡量標準，本文再次將問題離散化，求出了座位的平均滿意度. 總之，本文針對電影院的座位設計問題，通過合理假設將實際問題數學化，抽象問題具體化，幾何問題代數化，離散問題連續化，建立了合理的數學模型。本文建立的模型穩定性好，求解方法簡單，計算效率高，而且模型及結果具有一定的現實意義.影院座位設計問題一.問題的提出滿意程度主要取決于視角和仰角.視角是觀眾的眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，視角越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，仰角太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般不超過.設影院屏幕高h, 上邊緣距地面

3、高H，地板線傾角，第一排和最后一排座位與屏幕水平距離分別為d和D, 觀眾平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。 (如圖所示)(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方.(2) 求地板線傾角，使所有觀眾的平均滿意程度最大。二.問題的分析觀眾在電影院觀賞電影，感覺是否滿意不僅取決于電影的精彩與否，而且還取決于座位設計的舒適程度. 座位的設計應滿足什么要求，是一個非?，F實的問題.根據題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角和仰角. 經調查可知這兩者都要滿足一定的條件.但在實際生活中又不可能同時滿足，只能在二者兼顧的條件下求出使平均滿意度最大的那種情況. 根據題意很容易得知和的正切值呈遞減趨勢，這對

4、問題的解決很有幫助.下文針對題目提出的三個問題逐一進行分析. 針對問題1：為方便求解，可以以屏幕所在的墻壁的剖面為y軸，向上為正方向，以與之垂直的地面為x軸，以交點為原點O,建立直角坐標系.當地板線傾角時，根據已知條件通過計算得知，最前排視角和仰角的值均為最大，最后排視角和仰角的值均為最小.那么仰角時的位置是否是最佳位置呢？我們可以先將離散的座位連續化，根據條件求出的表達式，作出對的變化圖象以及其變化率圖象，計算的最大值，找到最佳座位點，然后再將問題離散化，對求得的最佳座位點進行優化.針對問題2：的變化趨勢.在傾斜角固定的情況下，滿意度函數值隨的變化而變化，不同的有不同的滿意度.有了滿意度函數

5、這一衡量標準后，我們可以求出所有座位的平均滿意度.當平均滿意度最大時，求出此時對應的傾斜角，即為所要求的平均滿意度最大時地板線的傾斜角度.三.模型的假設1. 假設座位在地板線上嚴格等距，且均勻分布；2. 假設觀眾的滿意度可以用一連續函數來衡量，因而可將離散問題連續化；3. 假設視角對觀眾的滿意度影響較大；四.符號說明 當人坐下時眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角 當人坐下時眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角 當人坐下時眼睛所處在坐標系中的位置坐標 關于距離和傾斜角的正切函數 關于距離和傾斜角的正切函數 滿意度函數 第個位置的滿意程度 平均滿意程度 滿意度函數的相關因子（即滿意因子）五.模型的建立1

6、. 建模的準備1.1 建立坐標系為了建立合適的數學模型，我們先建立如下坐標系：由題意及坐標圖得，直線L的方程： （1）直線L上任意一點的仰角的正切值為： （2） 又由圖可知： （3）由（2）（3）得：1.2 構造滿意度函數 （4）其中表示觀眾滿意度的相關因子，稱為滿意因子，一般為常數. 表示最佳座位點，即最佳座位處的橫坐標值.2.模型的建立2.1 問題1的模型座位的滿意程度主要取決于視角和仰角.越大越好，太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過.要確定最佳座位，必須同時兼顧視角和仰角.由上文不難發現和均是的函數，這里不妨令，則可得到： （5） （6）由，即得：又由題意知：則x的取值范圍為： （7）從而得到求解最佳座位的數學模型： （8）當=10度時求得模型的解2.2問題2的模型 為了求平均滿意程度最大時地板的傾角，本文先設法求平均滿意程度.由（4），記第個座位滿意度為： （9） 則區間上個座位的滿意度為： （10）從而得座位的平均滿意程度為： （11）從而得到求解地板傾角的數學模型： （12）其中的表達式為：，為常數，表示前后兩個座位之間的距離.，的表達式為：