1、平面向量基本定理系數 等和線”的應用一、問題的提出題面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高.近年，高考、模 考中有關”等和線也r（以下簡稱等和線）背景的試題層出不窮.學生在解決此類問題時，往往要 通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高.在平時教學 中，我們能不能給出一個簡單、有效的方法解決此類問題呢？帶著這個問題，筆者設計本微 型專題.二、等和線定理（1）平面向量共線定理：已知OC = kOA + nOB（九，NWR）,若九+ N=1,則A, B, C三點共線;反之亦然.（2）等和線定理：平面內一組基地OA,OB及任一向量 OC ,OC

2、= Z.oA + QB（A, NWR）, 若點C在直線AB上或在平行于AB的直線上，則l +m=k （定值），反之也成立，我們把直線 AB以及直線AB平行的直線稱為 等和線”. 當等和線恰為直線AB時，k=1; 當等和線在。點和直線AB之間時，kw（0,1）; 當直線AB在O點和等和線之間時，kw（1,y）；當等和線過O點時，k=0; 若兩等和線關于。點對稱，則定值k互為相反數; 定值k的變化與等和線到。點的距離成正比；簡證，如圖1若那么0。=工。4 +尸。6 =力= AODf從而有工+上=1,即n+?=葭另，方面，過C點作直線/"/乩在/上任作一 A A點連接同理可得，以次而為基底

3、時，。時應的系數和依然為2.三、定理運用（一）基底起點相同例1.在矩形ABCD中，AB=1 , AD =2 ,動點P在以點C為圓心且與 BD相切的圓上.若品=九漏十/AD,則九+ N的最大值為（）D. 2B. 2亞M是AABC外接圓上一動點，若練習 1. 0 在 AABC 中，AB=6, BC=8, AB _L BC ,AM = XAB + ACC ,則K+N的最大值是（）A. 14 C.3D. 2練習1.如圖，OM /AB,點P在由射線OM ,線段OB及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動,且OP=xOA+yOB,則x的取值范圍是.1；當"一萬時'y的取值范圍是練習2.

4、如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1,圓心在線段CD （含端點）上運動,P是圓Q上及內部的動點，設向量 AP=mAB +nAF（m, n為實數），則m + n的取值范圍是（A. (1, 2B. 5, 6C. 2 , 5D. 3 , 5（二）基底起點不同例2.設D, E分別是 MBC的邊AB, BC上的點，AD=1AB, BE =2 BC ,若BE = kA十7 AC"（，入2 23為實數），則兒十七的值為.練習3.如圖7在平行四邊形ABCD中，M,N為CD的三等分點，S為AM與BN的交點，P為邊AB上一動點,Q為ASMN內一點含邊界）若PQ =x AM + yB

5、N ,則x + y的取值范圍是 （三）基底一方可變例3.如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E為邊AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任 意一點，設向量 AP =xDE +yAC ,則x+y的最小值為 .練習4.在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線y = ji_x_（x0）上，曲線與x軸相交于點B,與y軸相交于點C，點D（2,1）和點E（1,0）滿足OD =%CE十NOP（Z,NWR）,則九十的最小值為 （四）基底合理調節例4.在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A , B滿足|OA h|oB-oA*OB= 2,則點集T T TP|OP =,QA + ROB , |九|+|臼，1,八，NW R所表示的區域的面積是 （）A. 2夜B, 2/3C. 4 盤D. 43練習5.如圖所示，A, B, C是圓O上的三點，CO的延長線與線段 BA的延長線交于圓外的點 D,若OC =mOA +nOB ,則m +n的取值范圍是 練習6.如圖，在扇形 OAB中，/AOB=60）點C為弧AB上的一個動點.若OC =xOA + yOB ,貝U x + 3y的取值范圍是AC ,設 f (x y（五）“基