1、第十七屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽筆試試題A參考答案（小學高年級組）第十七屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽筆試試題A參考答案（小學高年級組）一、填空（每題10分，共80分）一、解谷卜列各題（每題10分,9.答案：是.解答.連接AC.則SECKB = S.CEB S.BCK二 S.CEB S.BCA=S.ACE = S.EAD所以共40分，要求寫出簡要過程）ADKS OBE .=S. EADSECKB -S.OBE題號12345678答案18624015371874396-5 -因此SECKO四邊形ABOD的面積二四邊形ECKO的面積.10.答案:臺匕 目匕解答.首先構造5黑4的長方形如下：11

2、.答案：2025, 3025, 9801.解答.設一個四位卡布列克怪數為100x+y,其中10ExW99,0W yW 99.則由題意知100x + y = (x + y)2,兩邊模99得,、2 ,x y = (x y) (mod99),因此99|(x + y)(x + y-1),故x + y與x+y-1中有一個能被 9整除，也有一個能 被11整除(可能是同一個數)，且有102 E(x + y)2 =100x + y <1002 ,即10<x+y <100.(*)若x+y能被99整除，由(*)知x + y只能是99,滿足條件白四位數是 9801; 若x+y 1能被99整除，由(

3、*),顯然沒有滿足條件的四位數；止匕外，可設x + y = 9m, x + y1 = 11n,則有9m-11n=1,由(*) , m和n均為小于12的正整數， 故得到m= 5, n=4, x + y只能是45,滿足條件白四位數是2025;反之,可設 x + y1 = 9m, x + y = 11n,滿足條件的四位數是 3025.故四位數中有三個卡布列克怪數，它們分別為2025, 3025和9801.12 .答案：1或2解答.對于質數3, 32被3整除.其余的質數，要么是3k+1型的數，要么是 3k+2型的數.由于(3k 1)2 =9k 6k 1 =3(3k2 2k) 1,被3除余1,且(3k

4、2)2 =9k2 12k 4 =3(3k2 4k 1)1,被3除也余1.因此有(1)若這98個質數包含3時,N被3除的余數等于97被3除的余數，等于 1.(2)若這98個質數不包含3時，N被3除的余數等于98被3除的余數，等 于2.三、解答下列各題(每題15分，共30分，要求寫出詳細過程)13 .答案:3,9,11,18解答.設起跑時間為0秒時刻，則小李和小張在劃定區間跑的時間段分別為0,9, 72k-9,72k 9, k =1,2,3,和0,10 , 80m -10,80m 10, m =1,2,3,.其中a, b表示第a秒時刻至第b秒時刻.顯然0,9即前9秒里兩類時間段的公共部分.止匕外，

5、考慮72k-9,72k+9和80m-10,80m+10的公共區間,k,m為 正整數，分兩種情況：1) 72k =80m,即小李和小張分別跑了 k圈和m圈同時回到起點，他們二人 同時在劃定區域跑了 18秒.2) 72k 8 80m,例如72 上-972+980加-1080掰+1072k -9 M80m 10 M72k + 9 M80m+10仁 1 <80m-72k <19 . 兩人同時在劃定區域內跑了 72k十9(80m10) = 19 (80m 72k).由知 80m-72k=8, 16.于是兩人同時在劃定區域內跑持續時間為 11秒或3秒.其它 情況類似可得同樣結果.綜上，答案為3

6、,9,11,18.14.答案：150解答.設立方體的長，寬，高分別為乙y, x,其中x<y<z,且為整數.注意，兩 面有紅色的小立方塊只能在長方體的棱上出現.如果x=1, y=1,則沒有兩面為紅色的立方塊，不符合題意.如果x=1,y>1,則沒有只有一面為紅色的立方塊，不符合題意.因此x2.此時兩面出現紅色的方塊只能與長方體的棱共棱.一面出現紅色的方塊只與立方體的面共面.有下面的式子成立4x(x-2)+(y-2)+(z-2)=40,(1)2 M(x 2)(y 2)十(x-2)(z-2)+(y-2)(z -2) =66 .(2)由(1)得到x + y+ z=16,(3)由(2)得

7、到xy + xz + yz = 85 .(4)由（3）和（4）可彳3，x2 + y2 + z2 = 86 ,這樣 1 M x, y, z M 9 .由（4）得至U2（x 十 y）（ x + z） = 85 + x .（5）若x = 2,則由（5）得至ij （2 + y）（2 + z）=85+4 = 89=1父89, y,z的取值不能 滿足（3）.若 x=3,則由（5）得至 I （3+y）（3 + z）=85 +9=94 = 2><47, y,z 的取值不能 滿足(3)若 x = 4,貝 U 由(5)得至 I (4 + y)(4 + z) = 85 + 16=101 =1父101, y,z 的取值不 能滿足(3).當 x=5 時，由 (5) 得至 1 (5 + y)(5 + z)