1、3.3復數的幾何意義第3章數系的擴大與復數的引入學習目標1.了解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系.2.掌握實軸、虛軸、模等概念.3.理解向量加法、減法的幾何意義，能用幾何意義解決一些簡單問題.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學思考實數可用數軸上的點來表示，平面向量可以用坐標表示，類比一思考實數可用數軸上的點來表示，平面向量可以用坐標表示，類比一下，復數怎樣來表示呢？下，復數怎樣來表示呢？知識點一復平面答案任何一個復數答案任何一個復數zabi，都和一個有序實數對，都和一個有序實數對(a，b)一一對應，因一一對應，因此，復數集與平面直角坐標系中的點集之

2、間可以建立一一對應關系此，復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.梳理建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做梳理建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做 ，x軸叫做軸叫做 ，y軸叫做軸叫做 .實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數虛數.復平面實軸虛軸知識點二復數的幾何意義1.復數與點、向量間的對應關系Z(a,b)2.復數的模復數zabi(a，bR)，對應的向量為 ，那么向量 的模叫做復數zabi的模(或絕對值)，記作 或 .由模的定義可知：|z|abi| .|z|abi|思考思考1復數與復平面內的向量一一對應，你能從向

3、量加法的幾何意義出復數與復平面內的向量一一對應，你能從向量加法的幾何意義出發討論復數加法的幾何意義嗎？發討論復數加法的幾何意義嗎？知識點三復數加、減法的幾何意義思考思考2怎樣作出與復數怎樣作出與復數z1z2對應的向量？對應的向量？答案答案z1z2可以看作可以看作z1(z2).因為復數的加法可以按照向量的加法來因為復數的加法可以按照向量的加法來進展進展.所以可以按照平行四邊形法那么或三角形法那么作出與所以可以按照平行四邊形法那么或三角形法那么作出與z1z2對應對應的向量的向量(如圖如圖).復數加法的幾何意義復數減法的幾何意義梳理梳理(1)復數加減法的幾何意義復數加減法的幾何意義(2)設z1abi

4、，z2cdi(a，b，c，dR)，那么|z1z2| ，即兩個復數的差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的 .距離思考辨析 判斷正誤1.原點是實軸和虛軸的交點.()2.在復平面內，對應于實數的點都在實軸上.()3.在復平面內，虛軸上的點構對應的復數都是純虛數.()4.復數的模一定是正實數.()題型探究類型一復數的幾何意義例例1實數實數x分別取什么值時，復數分別取什么值時，復數z(x2x6)(x22x15)i對應的點對應的點Z在：在：(1)第三象限；第三象限；解答即當3x2時，點Z在第三象限.解因為解因為x是實數，所以是實數，所以x2x6，x22x15也是實數也是實數.(2)直線xy30上.

5、解答解解zx2x6(x22x15)i對應點的坐標為對應點的坐標為Z(x2x6，x22x15)，當實數當實數x滿足滿足(x2x6)(x22x15)30，即當即當x2時，點時，點Z在直線在直線xy30上上.引申探究引申探究假設本例中的條件不變，其對應的點在：假設本例中的條件不變，其對應的點在：(1)虛軸上；虛軸上；解答解當實數解當實數x滿足滿足x2x60，即當即當x3或或2時，點時，點Z在虛軸上在虛軸上.(2)第四象限.即當2x5時，點Z在第四象限.反思與感悟按照復數和復平面內所有點構成的集合之間的一一對應關反思與感悟按照復數和復平面內所有點構成的集合之間的一一對應關系，每一個復數都對應著一個有序

6、實數對，只要在復平面內找出這個有系，每一個復數都對應著一個有序實數對，只要在復平面內找出這個有序實數對所表示的點，就可根據點的位置判斷復數實部、虛部的取值序實數對所表示的點，就可根據點的位置判斷復數實部、虛部的取值.解答即7m3.故當7m3時，復數z的對應點位于第四象限.跟蹤訓練跟蹤訓練1求當實數求當實數m為何值時，復數為何值時，復數z(m28m15)(m23m28)i在復平面內的對應點分別滿足以下條件：在復平面內的對應點分別滿足以下條件：(1)位于第四象限；位于第四象限；解答由得m7或m4.因為m7不適合不等式，m4適合不等式，所以m4.故當m4時，復數z的對應點位于x軸的負半軸上.(2)位

7、于x軸的負半軸上？類型二復數模及其幾何意義的應用(1)求|z1|及|z2|的值；答案解答(2)設zC，滿足|z2|z|z1|的點z的集合是什么圖形？解由解由(1)知知1|z|2，因為不等式，因為不等式|z|1的解集是圓的解集是圓|z|1上和該圓外部所上和該圓外部所有點組成的集合，不等式有點組成的集合，不等式|z|2的解集是圓的解集是圓|z|2上和該圓內部所有點組成上和該圓內部所有點組成的集合，所以滿足條件的集合，所以滿足條件1|z|2的點的點Z的集合是以原點的集合是以原點O為圓心，以為圓心，以1和和2為為半徑的兩圓所夾的圓環，并包括圓環的邊界，如下圖半徑的兩圓所夾的圓環，并包括圓環的邊界，如下

8、圖.反思與感悟反思與感悟(1)在計算復數的模時，應先找出復數的實部和虛部，然后再在計算復數的模時，應先找出復數的實部和虛部，然后再利用模的公式進展計算，兩個虛數不能比較大小，但它們的模可以比較大小利用模的公式進展計算，兩個虛數不能比較大小，但它們的模可以比較大小.(2)復數的模表示該復數在復平面內對應的點到原點的距離復數的模表示該復數在復平面內對應的點到原點的距離.解答跟蹤訓練跟蹤訓練2設設z為復數，且為復數，且|z|z1|1，求，求|z1|的值的值.解設解設zabi(a，bR).z1(a1)bi，且，且|z|z1|1，類型三復數加、減法的幾何意義例例3如下圖，平行四邊形如下圖，平行四邊形OA

9、BC的頂點的頂點O，A，C分別對應的復數為分別對應的復數為0，32i，24i.解答解因為解因為A，C對應的復數分別為對應的復數分別為32i，24i，解答反思與感悟反思與感悟(1)常用技巧常用技巧形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理處理.數轉化為形：對于一些復數運算也可以給予幾何解釋，使復數作為工數轉化為形：對于一些復數運算也可以給予幾何解釋，使復數作為工具運用于幾何之中具運用于幾何之中.(2)常見結論：在復平面內，常見結論：在復平面內，z1，z2對應的點分別為對應的點分別為A，B，z1z2對應的對應的點為點

10、為C，O為坐標原點，那么為坐標原點，那么四邊形四邊形OACB為平行四邊形為平行四邊形.假設假設|z1z2|z1z2|，那么四邊形，那么四邊形OACB為矩形為矩形.假設假設|z1|z2|，那么四邊形，那么四邊形OACB為菱形為菱形.假設假設|z1|z2|且且|z1z2|z1z2|，那么四邊形，那么四邊形OACB為正方形為正方形.答案解析答案解析解析z2z11(a1)i，由題意知由題意知a10，即，即a|xyi|y2i|.答案解析123453.34ixyi(x，yR)，那么|15i|，|xyi|，|y2i|的大小關系為_.|15i|xyi|y2i|12345解析解析z1z257i，z1z2在復平面內對應的點為在復平面內對應的點為(5，7)，其位于第四象限，其位于第四象限.答案解析4.設z134i，z223i，那么z1z2在復平面內對應的點位于第_象限.四12345設點C坐標為(x，y)，那么x5，y2，故點C對應的復數為52i.答案解析5.設平行四邊形ABCD在復平面內，A為原點，B，D兩點對應的復數分別是32i和24i，那么點C對應的復數是_.52i1.復數模的幾何意義復數模的幾何意義架起了復數與解析幾何之間