1、第7章微分方程練習題習題7 .11 .選擇題(1)()是微分方程(A) dy (4x 1)dx .(B) ) y 2x 1.一2(C) ) y 3y 2 0.(D) ) sin xdx 0.(2)()不是微分方程(A) y 3y 0 .(C) ) 3y2 2x y 0 .(B)d2y dx23x sin x .,2222、(D) ) (x y )dx (x y )dy 0 .(3)微分方程(y)2 3xy 4sinx的階數為(A) ) 2 . (B) ) 3. ( (Q )1.(D) ) 0.2 .判斷函數是否為所給微分方程的解(填“是”或“否”)2(1) xy 2y, y 5x .(2) (

2、x 2y)y 2x y, x2 x y2 C.()dxdysin y0,y arccos x C .22(4) y x y ,y -. x()習題1 .解微分方程dy Idx x(4) y(1 x2)dy x(1y2)dx 0.xx x2yxy y, yx14 .22 .解微分方程(x y)y (x y) 0.22 dydy2 2) y x xy. dxdx3.解微分方程(2) y cosx y sin x 1.(1)(）是微分方程(A)dy(4x 1)dx .(B) ) y 2x(C)3y 2 0.(D)sin xdx0.不是微分方程(A)(B)d2y dx23x sin x .(C)3y2

3、2x y 0(D)(x2y2)dx (x2 y2)dy 0 .（3）微分方程(y )2 3xy4sin x的階數為（(B) ) 3.( (Q ) 1.(D) )0.2.判斷函數是否為所給微分方程的解（填“是”或“否”(1)xy2y,(2)(x2y)y2xy, x2 xy2c.()dxdysin y0,y arccos x(4)習題1.解微分方程 dy i.dx x(2)dy1 y2dx1 x22x y e(4) y(1 x2 )dy x(1 y2)dx 0. x2yxy y, y x 14.22.解微分方程(x y)y (x y) 0.(2)dydxxydy.dx3 .解微分方程x(1) y

4、ye.(2) y cosx ysin x 1.dy 丫dx xyx23(4)dy 士 dx x y1(5) y xcosy sin2y習題1 .解下列微分方程 y x2. y3Jy, yxo 1, y|x。2 y y x.(4) xy y 0 . yy (y )2 y 0 .(6) yy y, Yxo 1, y xo 1-2 .解下列微分方程(1) y y 2y 0 .(2) y 9y 0 .(3) y 4y 4y 0. y 4y 3y 0, 丫*02, y0. 4y 4y y 0，yx。 2, y、。0.3.解下列微分方程(1) y 2y 3y 3x 1 .(2) 2y 3y y 2ex .

5、(3) y I0y 9y e2x, y67, y337(4) y y 2y 8sin 2x .(5) y y sin x. y y sin2x 0, yx 1yx 1 .習題1 一條曲線通過點P(0,1),且該曲線上任一點 M (x, y)處的切線斜率為3x2,求這曲線的方程2 生物活體含有少量固定比的放射性14C ， 其死亡時存在的14C 量按與瞬時存量成比例的速率減少，其半衰期約為5730 年，在 1972 年初長沙馬王堆一號墓發掘時，若測得墓中木炭14C 含量為原來的，試斷定馬王堆一號墓主人辛追的死亡時間3 作直線運動物體的速度與物體到原點的距離成正比，已知物體在10s 時與原點相距10

6、0m，在20s時與原點相距200m,求物體的運動規律.4 設Q是體積為V的某湖泊在t時的污染物總量，若污染源已排除.當采取某治污措施后,污染物的減少率以與污染總量成正比與湖泊體積成反比化，設k為比例系數，且 Q(0) Q0，求 k該湖泊的污染物白化規律，當- 0.38時，求99%污染物被清除的時間.V5. 一質量為 m的質點從水面由靜止狀態開始下降，所受阻力與下降速度成正比，求質點下 降深度與時間t的函數關系.6. 一彈簧掛有質量為 2kg的物體時，彈簧伸長了，阻力與速度成正比，阻力系數24N/(m/s).當彈簧受到強迫力 f 100sin10t (N)的作用后，物體產生了振動.求振動 規律，

7、設物體的初始位置在它的平衡位置，初速度為零.復習題七、選擇題1 .微分方程y 2 y y 3 xy40階數是()(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4.2 .下列函數中，可以是微分方程y y 0的解的函數是()(A) y cosx;(B) y x；(C) y sin x ；(D) y ex.3 .下列方程中是一階線性方程的是()(A) (y 3) ln xdx xdy 0;(B) dy y；dx 1 2xy22(C) xy y x Sin x ；(D) y y 2y 0.4 .方程y 4y 3y 0滿足初始條件yx 06, y x 010特解是()(A) y 3ex e3x； (B)

8、y 2ex 3e3x； (C) y 4ex 2e3x；(D) y C1ex C2e3x.5 .在下列微分方程中，其通解為 y C1 cosx C2 sin x的是()(A) y y 0;(B) y y 0;(C) y y 0;(D) y y 0 .6 .求微分方程y 3y 2y x2的一個特解時，應設特解的形式為()2222 ,2.、(A)ax ；(B) ax bx c,(C)x(axbx c) ；(D)x (ax bx c).7 .求微分方程 y 3y 2y sin x的一個特解時，應設特解的形式為()(A)bsinx；(B)acosx ；(C)acosx bsinx；(D)x(acosx

9、bsin x).二、填空題9 .微分方程 xy y x2 sin x的通解是 dx10 .微分方程y 3y 0的通解是.11 .微分方程y 4y 5y 0的通解是.12 .以y Cixex C2ex為通解的二階常數線性齊次分方程為 .13 .微分方程4 y4y y 0滿足初始條件yx 0 2, yx00的特解是.14 .微分方程 y 4y 5y 0的特征根是 .15 .求微分方程y 2y 2x2 1的一個特解時，應設特解的形式為 2216 .已知y1 ex及y2 xex都是微分方程y 4xy (4x2 2)y 0的解，則此方程的通解為.三、計算題17 .求下列微分方程的通解dy xy(1) 2

10、-.(2) y y cosx.dx 1 x2 sec2 xtan ydx sec2 y tan xdy 0.(4) y y sin x.(6) y 5y 4y 3 2x.18.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(1) cosysinxdx cosxsin ydy 0, y 5y 6y Q y、。1, y、02.1123-x(3) 4y 16y15y 4e 2 , y*。3, y x。(4) 2y 5y 29cosx, yx0 0, y x 0 1.19.求一曲線方程，這曲線通過原點，并且它在點（x, y）處的切線斜率等于 2x y.20當一人被殺害后，尸體的溫度從原來的37 C 按牛頓冷卻律

11、開始變涼，設3 小時后尸體溫度為 31 C ，且周圍氣溫保持20 C 不變（ 1 ）求尸體溫度H 與時間 t（h） 的函數關系，并作函數草圖（ 2）最終尸體溫度將如何（ 3）若發現尸體時其溫度是25 C ，時間為下午4 時，死者是何時被害的21.設有一質量為 m的質點作直線運動，從速度等于零的時刻起， 有一個與運動方向一致. 大小與時間成正比（比例系數為 ki）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數為k2）的阻力作用. 求質點運動的速度與時間的函數關系dy 丫dx xyx2 3dy dx x y1(5) y xcos y sin 2y習題1.解下列微分方程 y x2.(2) y 3八，

12、yx0 1, y x 0 2.(4) xy y yy (y )2 y 0 . yy y, Yx0 1, y x0 1.(2) y 9y 0 .2.解下列微分方程(1) y y 2y 0 . y 4y 4y 0.(4) y 4y 3y 0, Yx0 2, y * 00. 4y 4y y 0, y2, y0.(2) 2y 3y y 2ex .3.解下列微分方程(1) y 2y 3y 3x 1 .i0y 9y e2x, yx 076，337(5) y y sin x.(4) y y 2y 8sin 2x . y y sin2x 0, yx 1, y x 1.習題1 . 一條曲線通過點P(0,1),且

13、該曲線上任一點 M (x, y)處的切線斜率為3x2,求這曲線的方程.2 .生物活體含有少量固定比的放射性14C,其死亡時存在的14C量按與瞬時存量成比例的速14C含率減少，其半衰期約為 5730年，在1972年初長沙馬王堆一號墓發掘時，若測得墓中木炭量為原來的%，試斷定馬王堆一號墓主人辛追的死亡時間.已知物體在10s時與原點相距100nx3 .作直線運動物體的速度與物體到原點的距離成正比, 在20s時與原點相距200m,求物體的運動規律.4 .設Q是體積為V的某湖泊在t時的污染物總量，若污染源已排除.當采取某治污措施后，污染物的減少率以與污染總量成正比與湖泊體積成反比化，設k為比例系數，且

14、Q(0) Q0,求k該湖泊的污染物的化規律，當 一 0.38時，求99%污染物被清除的時間.V5一質量為m 的質點從水面由靜止狀態開始下降，所受阻力與下降速度成正比，求質點下降深度與時間t 的函數關系6一彈簧掛有質量為2kg 的物體時，彈簧伸長了，阻力與速度成正比，阻力系數24N/(m/s).當彈簧受到強迫力 f 100sin10t (N)的作用后，物體產生了振動.求振動 規律，設物體的初始位置在它的平衡位置，初速度為零復習題七、選擇題1 微分方程y 2 y y 3xy40 階數是(A) 1；B) 2；C) 3；D) 42 .下列函數中，可以是微分方程 y y 0的解的函數是（）(A) y c

15、osx;(B) y x;(C) y sin x;(D) y ex.3 .下列方程中是一階線性方程的是()(A) (y 3) ln xdx xdy 0；(B) dy y；dx 1 2xy22(C) xy y x Sin x ；(D) y y 2y 0.4 .方程y 4y 3y 0滿足初始條件 yx 0 6, y x0 10特解是()(A) y 3ex e3x；(B) y2ex3e3x； (C) y 4ex 2e3x；(D)y C1exC2e3x.5 .在下列微分方程中，其通解為 yC1 cosx C2 sin x的是()(A) y y 0；(B) y y 0；(C) y y 0；(D) y y

16、0.6 .求微分方程y 3y 2y x2的一個特解時，應設特解的形式為()2222 ,2(A) ax ；(B) ax bx c ；(C) x(ax bx c) ；(D) x (ax bx c).7 .求微分方程 y 3y 2y sin x的一個特解時，應設特解的形式為()(A) bsinx;(B) a cosx；(C) acosx bsinx;(D) x(a cosx bsin x).二、填空題9 .微分方程 xa y x2 sin x的通解是. dx10 .微分方程y 3y 0的通解是.11 .微分方程y4y 5y 0的通解是12 .以y Cxex C2ex為通解的二階常數線性齊次分方程為

17、.13 .微分方程4y 4y y 0滿足初始條件yx 02, yx0 0的特解是.14 .微分方程 y 4y 5y 0的特征根是 .15 .求微分方程y 2y 2x2 1的一個特解時，應設特解的形式為 2216.已知y1 ex及丫2 xex都是微分方程y 4xy (4x22)y 0的解，則此方程的通解為三、計算題17.求下列微分方程的通解dx七(2) y y cosx.22(3) sec xtan ydx sec ytanxdy 0.(4) y y sin x.(6) y 5y 4y 3 2x.18.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解0，yx0 4 -(1) cosysinxdx cosxsin ydy y 5y 6y 0, yx0 1,yx0 2.4y16y15y4eyx 03,y112(4) 2y 5y 29cosx, yx0 0, y x 0 1.19.求一曲線方程，這曲線通過原點，并且它在點（x, y）