1、 溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業 十五利用導數研究函數的極值、最值(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.當函數y=x·2x取極小值時,x=()A.B.-C.-ln 2D.ln 2【解析】選B.令y=2x+x·2xln2=0,解得x=-.2.(2016·濟寧模擬)函數f(x)=x2-lnx的最小值為()A.B.1C.0D.不存在【解析】選A.f(x)=x-=,且x>0,令f(x)>0,得x>1;令f(x)<0,得0<

2、;x<1,所以f(x)在x=1處取得極小值也是最小值,且f(1)= -ln1=.3.(2016·濰坊模擬)已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數)在上有最大值3,那么此函數在上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不對【解析】選A.因為f(x)=6x2-12x=6x(x-2),因為f(x)在(-2,0)上為增函數,在(0,2)上為減函數,所以當x=0時,f(x)=m最大.所以m=3,從而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值為-37.4.(2015·陜西高考)對二次函數f(x)=ax2+bx+c(a為非零常數),四位同學分別給出下列結論,其中

3、有且僅有一個結論是錯誤的,則錯誤的結論是()A.-1是f(x)的零點B.1是f(x)的極值點C.3是f(x)的極值D.點(2,8)在曲線y=f(x)上【解題提示】根據選項假設A錯誤,利用導數推導函數的極值點及極值,與其余的選項相符,假設正確,從而確定答案.【解析】選A.若選項A錯誤,則選項B,C,D正確.f(x)=2ax+b,因為1是f(x)的極值點,3是f(x)的極值,所以即解得因為點(2,8)在曲線y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因為f(-1)=5×1-1

4、0×(-1)+8=230,所以-1不是f(x)的零點,所以選項A錯誤,選項B,C,D正確.5.設函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1為函數f(x)ex的一個極值點,則下列圖象不可能為y=f(x)圖象的是()【解析】選D.因為=f(x)ex+f(x)(ex)=ex,且x=-1為函數f(x)ex的一個極值點,所以f(-1)+f(-1)=0;選項D中,f(-1)>0,f(-1)>0,不滿足f(-1)+f(-1)=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·濱州模擬)若函數f(x)=在x=1處取得極值,則a=.【解析】f(x)=,由題意知

5、f(1)=0,所以=0,解得a=3.經驗證,a=3時,f(x)在x=1處取得極值.答案:37.已知函數y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,其圖象在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0,則f(x)的極大值與極小值之差為.【解析】因為f(x)=3x2+6ax+3b,所以所以f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以f(x)極大值-f(x)極小值=f(0)-f(2)=4.答案:48.若函數f(x)=x3-3x在區間(a,6-a2)上有最小值,則實數a的取值范圍是.【解析】若f(x)=3x2-3=0,則x=±1,且x=1為函數的極小值點,x

6、=-1為函數的極大值點.函數f(x)在區間(a,6-a2)上有最小值,則函數f(x)的極小值點必在區間(a,6-a2)內,且左端點的函數值不小于f(1),即實數a滿足a<1<6-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a<1<6-a2,得-<a<1.不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,a3-1-3(a-1)0,(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2,故實數a的取值范圍為上的最小值為8,求a的值.【解析】(1)f(x)=(4x2-16x+16),定義域為上單調遞增,故f(x)的最小值為f(1)=4+4a+a2=8

7、,解得a=-2±2,均需舍去;當-1且-4,即-10a-8時,f(x)在上單調遞減,故f(x)的最小值為f(4)=2(64+16a+a2)=8,解得a=-10或a=-6(舍去);當1<-<4,即-8<a<-2時,f(x)的最小值為f,因為f=0,所以不成立;當1<-<4,即-40<a<-10時f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,f(x)的最小值為f(1)與f(4)中的一個,根據上面的得均不成立.綜上所述a=-10.10.(2016·濱州模擬)已知函數f(x)=(x2-2ax+a2)lnx,aR.(1)當a=0時,求函數f(x)

8、的單調區間. (2)當a=-1時,令F(x)=+x-lnx,證明:F(x)-e-2,其中e為自然對數的底數.(3)若函數f(x)不存在極值點,求實數a的取值范圍.【解析】(1)當a=0時,f(x)=x2lnx(x>0),此時f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令f(x)>0,解得所以函數f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為(2)F(x)=+x-lnx=xlnx+x.由F(x)=2+lnx,得F(x)在(0,e-2)上單調遞減,在(e-2,+)上單調遞增.所以F(x)F(e-2)=-e-2.(3)f(x)=2(x-a)lnx+=(2xlnx+x-a),令g(x)=2xl

9、nx+x-a,則g(x)=3+2lnx,所以函數g(x)在上單調遞減,在上單調遞增,所以當a0時,因為函數f(x)無極值點,當a>0時, 即函數g(x)在(0,+)上存在零點,記為x0,由函數f(x)無極值點,易知x=a為方程f(x)=0的重根,所以2alna+a-a=0,即2alna=0,a=1.當0<a<1時,x0<1且x0a,函數f(x)的極值點為a和x0;當a>1時,x0>1且x0a,函數f(x)的極值點為a和x0;當a=1時,x0=1,此時函數f(x)無極值.(20分鐘40分)1.(5分)已知實數a,b,c,d成等比數列,且曲線y=3x-x3的極大

10、值點坐標為(b,c),則ad等于()A.2B.1C.-1D.-2【解析】選A.因為a,b,c,d成等比數列,所以ad=bc,又(b,c)為函數y=3x-x3的極大值點,所以c=3b-b3,且0=3-3b2,所以或所以ad=2.2.(5分)已知y=f(x)是奇函數,當x(0,2)時,f(x)=lnx-ax,當x(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于()A.B.C.D.1【解析】選D.因為f(x)是奇函數,所以f(x)在(0,2)上的最大值為-1.當x(0,2)時,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.當0<x<時,f(x)>0

11、,f(x)在上單調遞增;當x>時,f(x)<0,f(x)在上單調遞減,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.3.(5分)(2016·菏澤模擬)已知函數f(x)=x3-ax2+b(a,b為實數,且a>1)在區間上的最大值為1,最小值為-1,則a=,b=.【解析】因為f(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f(x)=0,解得:x1=0,x2=a.因為a>1,所以當x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f(x)+0-f(x)-1-a+b極大值b1-a+b由題意得b=1.f(-1)=-,f(1)=2

12、-,f(-1)<f(1),所以-=-1,所以a=.答案:14.(12分)(2016·聊城模擬)已知函數f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a為實數).(1)當a=5時,求函數y=g(x)在x=1處的切線方程.(2)求f(x)在區間(t>0)上的最小值.【解析】(1)當a=5時,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切線的斜率為g(1)=4e,所以切線方程為:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函數f(x)的定義域為(0,+),f(x)=lnx+1,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況

13、如表:xf(x)-0+f(x)單調遞減極小值單調遞增當t時,在區間上f(x)為增函數,所以f(x)min=f(t)=tlnt.當0<t<時,在區間上f(x)為減函數,在區間上f(x)為增函數,所以f(x)min=f=-.5.(13分)f(x)=x2-x+a+1+alnx.(1)a=-1時,求f(x)的最小值.(2)f(x)有兩個極值點x1,x2且x1<x2.證明:f(x1)-f(x2)<.【解析】(1)當a=-1時,f(x)=x2-x-lnx,定義域為(0,+),f(x)=2x-1-=,當x(0,1)時,f(x)<0,f(x)為減函數,當x(1,+)時,f(x)&

14、gt;0,f(x)為增函數,當x=1時,f(x)有最小值f(1)=0.(2)方法一:f(x)=,由題意設2x2-x+a=0的兩個正根為x1,x2,=1-8a>0且a>0即0<a<,0<x1<<x2<,x1+x2=,x1x2=,f(x1)-f(x2)=-x1+a+1+alnx1-(-x2+a+1+alnx2)=x2-+(x2-2).要證:f(x1)-f(x2)<,只需證:(x2-2)<-x2=,只需證:x2<,只需證:ln<,只需證:ln<()令F(x)=ln(x-1)-x,易證:F (x)<0即ln(x-1)<x,令x=,則有()式成立,證畢.方法二:f(x)=,f(x)有兩個極值點x1,x2,2x2-x+a=0有兩個正