1、第五章 定積分(A層次)1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9；10； 11； 12；13； 14； 15；16； 17； 18；19； 20； 21；22； 23； 24；25。(B層次)1求由所決定的隱函數對的導數。2當為何值時，函數有極值？3。4設，求。5。6設，求。7設，求。8。9求。10設是連續函數，且，求。11若，求。12證明：。13已知，求常數。14設，求。15設有一個原函數為，求。16設，在上，求出常數，使最小。17已知，求。18設，求。19。20設時，的導數與是等價無窮小，試求。(C層次)1設是任意的二次多項式，是某個二次多項式，已知，求。2設函數在閉區間上具有連續的

2、二階導數，則在內存在，使得。3在上二次可微，且，。試證。4設函數在上連續，在上存在且可積，試證()。5設在上連續，求證存在一點，使。6設可微，求。7設在上連續可微，若，則。8設在上連續，求證 。9設為奇函數，在內連續且單調增加，證明：(1)為奇函數；(2)在上單調減少。10設可微且積分的結果與無關，試求。11若在連續，證明：。12求曲線在點(0,0)處的切線方程。13設為連續函數，對任意實數有，求證。14設方程，求。15設在上連續，求證：()16當時，連續，且滿足，求。17設在連續且遞減，證明，其中。18設連續，試證：。19設是上的連續函數，試證在內方程至少有一個根。20設在連續，且，又，證明

3、：(1) (2)在內有且僅有一個根。21設在上連續，則。22設是以為周期的連續函數，證明：。23設在上正值，連續，則在內至少存在一點，使。24證明。25設在上連續且嚴格單調增加，則。26設在上可導，且，則。27設處處二階可導，且，又為任一連續函數，則，。28設在上二階可導，且，則。29設在上連續，且，證明在上必有。30在上連續，且對任何區間有不等式(，為正常數)，試證在上。第五章 定積分(A)1解：原式2解：令，則 當時，當時 原式 3解：令，則 當，時分別為， 原式 4解：令，則， 當，1時， 原式5解：令， 當時，；當時， 原式 6解：令，則， 當時 原式7解：原式 8解：原式 9解：原式

4、 10解：為奇函數11解：原式 12解：為奇函數13解：原式 14解：原式 15解：原式 16解：原式 故17解：原式 18解：原式 故19解：原式 20解：原式 21解：令，則原式 22解：原式 23解：原式 24解：原式 故25解：令，則原式 故 (B)1求由所決定的隱函數對的導數。解：將兩邊對求導得 2當為何值時，函數有極值？解：，令得 當時， 當時， 當時，函數有極小值。3。解：原式 4設，求。解： 5。解： 6設，求。解：當時， 當時， 當時， 故。7設，求。解： 8。解：原式 9求。解：原式 10設是連續函數，且，求。解：令，則，從而即，11若，求。解：令，則， 當時， 當時， 從

5、而12證明：。證：考慮上的函數，則 ，令得 當時， 當時， 在處取最大值，且在處取最小值 故 即。13已知，求常數。解：左端 右端 解之或。14設，求。解：令，則 15設有一個原函數為，求。解：令，且 16設，在上，求出常數，使最小。解：當最小，即最小，由知，在的上方，其間所夾面積最小，則是的切線，而，設切點為，則切線，故，。于是 令得從而，又，此時最小。17已知，求。解： 18設，求。解：設，則 解得：，于是19。解：原式 20設時，的導數與是等價無窮小，試求。解： 故(C)1設是任意的二次多項式，是某個二次多項式，已知，求。解：設，則 令 于是， 由已知得2設函數在閉區間上具有連續的二階導

6、數，則在內存在，使得。證：由泰勒公式 其中，位于與之間。 兩邊積分得： 令，則 ，。3在上二次可微，且，。試證。證明：當時，由，知是嚴格增及嚴格凹的，從而及故 4設函數在上連續，在上存在且可積，試證 ()。證明：因為在上可積，故有 而， 于是 5設在上連續，求證存在一點，使。證：假設， 由已知，得 故 從而因為在連續，則或。從而或，這與矛盾。故。6設可微，求。解：令，則，顯然 于是。7設在上連續可微，若，則。證：因在上連續可微，則在和上均滿足拉格朗日定理條件，設，則有 故。8設在上連續，求證 。證： 令，則 于是 故 9設為奇函數，在內連續且單調增加，證明：(1)為奇函數；(2)在上單調減少。

7、證：(1) 為奇函數。 (2) 由于是奇函數且單調增加，當時， ，故，即在上單調減少。10設可微且積分的結果與無關，試求。解：記，則 由可微，于是 解之（為任意常數）11若在連續，證明：。解：因 所以。12求曲線在點(0,0)處的切線方程。解：，則，故切線方程為：， 即。13設為連續函數，對任意實數有，求證。證：兩邊對求導 即 令，即得。14設方程，求。解：方程兩邊對求導，得 從而 15設在上連續，求證： ()證：設為的原函數，則 左邊 右邊。16當時，連續，且滿足，求。解：等式兩邊對求導，得 令得 將代入得： 故。17設在連續且遞減，證明，其中。證： 則 ， 由于遞減， 故 即。18設連續，

8、試證：。證： 在第一個積分中，令，則 而 故19設是上的連續函數，試證在內方程至少有一個根。證：由積分中值定理，存在使 即 故是方程的一個根。20設在連續，且，又，證明：(1) (2)在內有且僅有一個根。證：(1) (2)， 又在連續，由介值定理知在內至少有一根。 又，則單增，從而在內至多有一根。 故在內有且僅有一個根。21設在上連續，則。證： 令，則 故22設是以為周期的連續函數，證明：。證： 令，則 (以為周期) 故23設在上正值，連續，則在內至少存在一點，使。證：令 由于時，故 故由零點定理知，存在一點，使得 即 又 故。24證明。證：設，則 令，則 故25設在上連續且嚴格單調增加，則。證：令 則 ，在嚴格單增則，從而即故26設在上可導，且，則。證：由假設對，可知在上滿足微分中值定理，則有 ， 又因， 故于是。27設處處二階可導，且，又為任一連續函數，則，。證：由泰勒公式，有 其中在與之間 又因，故 即 令， 則 即。28設在上二階可導，且，則