1、年 級初三學 科數學版 本湘教版內容標題正弦、余弦和正切編稿老師陽矩紅【本講教育信息】一. 教學內容：正弦、余弦和正切教學目標（一）知識與技能 1. 了解一個銳角的正弦、余弦、正切的概念，能夠正確地應用sinA、cosA、tanA表示直角三角形兩邊之比。 2. 熟記30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，會計算含有這三個特殊銳角的直角三角形的邊長，會由一個特殊銳角的正弦值、余弦值、正切值說出這個角。 3. 了解一個銳角的正弦值與它余角的余弦值之間的關系。 4. 會用計算器計算銳角的正弦值和余弦值。（二）過程與方法： 經歷探索銳角的正弦值、余弦值與正切值的過程

2、，在探索中總結規律，體驗學習的樂趣。（三）情感態度與價值觀 體驗數學活動充滿著探索性和創造性，增強學習自信心。教學重點 1. 正弦、余弦、正切的定義。 2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。 3. 互余角之間的正弦值、余弦值之間的關系。教學難點 1. 銳角的正弦值、余弦值、正切值的計算。 2. 綜合運用正弦、余弦、正切的關系求直角三角形的邊。主要內容 1. 正弦、余弦、正切的定義： （1）如圖，在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比，叫做A的正弦。 （2）在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦。 （3）在RtABC中，銳角A的對邊

3、與鄰邊的比叫做A的正切。 當銳角A確定后，這些比值都是固定值。 2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。 如圖，在RtABC中，C90°，A30° 設BCk，則AB2k 用同樣的方法可求45°、60°角的三角函數值。 3. 互為余角的正弦、余弦之間的關系： sinAcosB 語言表達：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4. 同角的三角函數之間的關系： 5. 0°90°間正弦值、余弦值、正切值的變化規律： 在0°90°間的

4、角： 正弦值隨角度的增大（或減小）而增大（或減小）； 余弦值隨角度的增大（或減小）而減小（或增大）； 正弦值隨角度的增大（或減小）而增大（或減小）。 6. 會用計算器求銳角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例題】 例1. 已知ABC中，AC7，BC24，AB25， 求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB 分析：根據正弦、余弦、正切的定義知，應首先判斷ABC是直角三角形。 解：AC7，BC24，AB25 ABC為直角三角形，C90° 由互余角的關系得： 例2. 分析：可用引進參數法，也可利用同角的正弦、余弦關系求解。 法一：如圖 解： 由勾股定理得：AC12k 法二

5、：解： 又A為銳角，cosA0 變式訓練：邊c的長。 提示：可引進參數法。 例3. 計算： 分析：略 解： 例4. 分析：把條件式看作關于sin的一元二次方程，利用解方程求出sin，再確定的值。 解： 練習 求適合條件的銳角： 答案：（1）30° （2）30° （3）70° （4）30° 例5. 如圖在RtABC中，C90°，BC5，AC6。 （1）求sinA，sinB的值。 （2）過點C作CDAB于D，求cosACD的值。 分析：（1）利用正弦定義來解決。 ACD轉化為B則非常簡便。 解：（1）在RtABC中，C90°，BC5，AC

6、6 （2）ACB90°，AB90° 又CDAB于D，ACDA90° BACD 例6. 分析：根據條件知：ABC不是直角三角形，應添加輔助線，構造直角三角形。 解：過C點作CDAB于D，設CDx 在RtACD中，A30° BD3x x1 【模擬試題】（答題時間：50分鐘）一、填空題： 1. 求值：_。 2. 在RtABC中，C90°，a1，b2，則cosA_。 3. tan10°·tan20°·tan30°·tan70°·tan80°_。 4. ABC中，C

7、90°，若，則tanB_。 5. _。 6. _。 7. 在RtABC中，C90°，則A_。 8. 已知等腰三角形ABC的腰長為，底角為30°，則底邊上的高為_，周長為_。二、選擇題： 9. 在ABC中，若，A、B都是銳角，則C的度數是（ ） A. 75°B. 90°C. 105°D. 120° 10. 當銳角A45°時，sinA的值（ ） A. 小于B. 大于 C. 小于D. 大于 11. 已知，則（ ） A. 30°B. 60°C. 45°D. 無法確定 12. 下列結論中不正確的

8、是（ ） A. B. 中，C90°，則 C. RtABC中，C90°，則 D. RtABC中，C90°，ACb，則 13. 如圖CD是平面鏡，光線從A點出發經CD上點E反射后照射到B點，若入射角（入射角等于反射角），ACCD，BDCD，垂足為C、D，且AC3，BD6，CD11，則（ ） A. B. C. D. 14. 如果A為銳角，且，則（ ） A. B. C. D. 15. 如圖RtABC中，ACB90°，CDAB于D，若AC4，BC3，則sinACD（ ） A. B. C. D. 三、解答題： 16. 計算： （1） （2） 17. 如圖RtABC中

9、，C90°，b8，A的平分線AD。求B及a、c的值。 18. 如圖在等腰ABC中，ABAC，若AB2BC，試求B的正弦值和正切值。 19. RtABC中，C90°，方程有兩個相等的實數根，斜邊為c，方程也有兩個相等的實根，求這個直角三角形的三邊的長。 20. 如圖在ABC中，AD是BC邊上的高，tanBcosDAC。 （1）求證：ACBD。（2）若，求AD的長。【試題答案】一、填空題： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 50° 7. 30°8. 二、選擇題： 9. C10. B11. B12. C 13. D14. D15. C三、解答題： 16. 解：（1） （2）原式 17. 解：在RtADC中，AC8， 又 DAC30° 又AD平分BAC BAC60°，B30° 又b8 c16，a 18. 解：如圖，過A點作ADBC于D ABAC，AB2BC 設 在RtABD中，