1、1第第6章章 醫用薄膜滲透率的確定醫用薄膜滲透率的確定曲線擬合曲線擬合 2概述概述p利用數據確定方程的參數利用數據確定方程的參數n如：剎車距離與剎車速度的有如下關系如：剎車距離與剎車速度的有如下關系 d=Cv2 其中，其中，d表示剎車距離，表示剎車距離，v表示剎車時的速度，需要確定表示剎車時的速度，需要確定常數常數C。p根據一組二維數據，即平面上的若干點，要求確定根據一組二維數據，即平面上的若干點，要求確定一個一元函數一個一元函數y=f(x)，使這些點與曲線總體來說，使這些點與曲線總體來說盡量接近，這就是數據擬合曲線的基本思想，簡稱盡量接近，這就是數據擬合曲線的基本思想，簡稱曲線擬合曲線擬合(

2、fitting a curve)。 36.1 醫用薄膜的滲透率醫用薄膜的滲透率測定薄膜滲透率測定薄膜滲透率VAVBS用面積為S的薄膜將容器分成體積分別為VA，VB的兩部分，在兩部分中分別注滿兩種不同濃度的溶液，此時物質分子會從高濃度溶液穿過薄膜向低濃度溶液擴散，通過單位面積薄膜分子擴散的速度與薄膜兩側溶液的濃度差成正比，試確定薄膜滲透率K。 46.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確定醫用薄膜滲透率的數學模型p問題假設問題假設n薄膜兩側的溶液始終是均勻的，即在任何時刻薄膜兩側薄膜兩側的溶液始終是均勻的，即在任何時刻薄膜兩側的每一處溶液的濃度都是相同的的每一處溶液的濃度都是相同的n當薄膜兩側的溶液

3、濃度不一致時，物質的分子穿透薄膜當薄膜兩側的溶液濃度不一致時，物質的分子穿透薄膜總是從高濃度溶液向低濃度溶液擴散總是從高濃度溶液向低濃度溶液擴散n通過單位面積薄膜分子擴散的速度與薄膜兩側溶液的濃通過單位面積薄膜分子擴散的速度與薄膜兩側溶液的濃度差成正比。度差成正比。n薄膜是雙向同性的，即物質從薄膜的任何的一側向另一薄膜是雙向同性的，即物質從薄膜的任何的一側向另一側滲透的性能是相同的側滲透的性能是相同的 5p符號說明符號說明nCA(t),CB(t)表示表示t時刻薄膜兩側溶液的濃度時刻薄膜兩側溶液的濃度nA 、B表示初始時刻兩側溶液的濃度（表示初始時刻兩側溶液的濃度（mg/cm3）nK表示薄膜滲透

4、率表示薄膜滲透率nVA ，VB表示由薄膜阻隔的容器兩側的體積表示由薄膜阻隔的容器兩側的體積6.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確定醫用薄膜滲透率的數學模型 66.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確定醫用薄膜滲透率的數學模型問題分析問題分析解決問題的思路：首先通過機理分析尋找某一側濃度隨時間變化的函數關系CA(t)或CB(t)，其中可能含有待定參數，如薄膜滲透率K，然后根據一組測量值（ti,Ci），i=1,2,n去確定模型中待定參數。t,t+t,t+tt時段容器時段容器A A側的物質質量增加量側的物質質量增加量從從B側滲透至側滲透至A側的質量為側的質量為 76.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確

5、定醫用薄膜滲透率的數學模型由質量守恒定律，有由質量守恒定律，有=兩邊除以兩邊除以t，令，令t 0并整理得并整理得整個容器的溶液中物質的質量不變，有整個容器的溶液中物質的質量不變，有(6.1) 8兩邊除以兩邊除以V VA A，并整理得，并整理得6.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確定醫用薄膜滲透率的數學模型代入代入(6.1)得得再利用初始條件再利用初始條件解出解出 96.2 確定醫用薄膜滲透率的數學模型確定醫用薄膜滲透率的數學模型數學模型數學模型問題歸結為利用CB在時刻tj的測量數據Cj(j=1,2,N)來辨識參數K和A，B，對應的數學模型變為使函數達到最小令問題轉化為如下最優化問題 10最小二

6、乘法最小二乘法給定平面上的點給定平面上的點(xi,yi),i=1,2,n，求，求f(x)，使，使達到最小。達到最小。其中i為點（xi,yi）與曲線y=f(x)的距離。曲線擬合的實際含義是尋求一個函數y=f(x)，使f(x)在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。6.3 一元最小二乘法簡介一元最小二乘法簡介 116.3 一元最小二乘法簡介一元最小二乘法簡介設擬合函數可由一些簡單的“基函數”（如冪函數，三角函數等） 來線性表示：現在要確定系數c0,c1,cm,使達到最小 126.3 一元最小二乘法簡介一元最小二乘法簡介曲線擬合示意圖 136.3 一元最小二乘法簡介一元最小二乘法簡介已知

7、一組數據已知一組數據(xi,yi),i=1,2,n，如何選擇函數，如何選擇函數f(x)?一是根據機理分析來確定函數形式一是根據機理分析來確定函數形式二是根據散點圖直觀判斷函數二是根據散點圖直觀判斷函數f(x)的形式，常用的一的形式，常用的一元曲線擬合函數有元曲線擬合函數有雙曲線雙曲線指數曲線指數曲線多項式多項式f(x)=a+b/xf(x)=aebx 146.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率醫用薄膜滲透率最小二乘法辨識模型假設：VA=VB=1000cm3，S=10cm2，B部分溶液濃度測試結果如下表：(6.2) 156.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲

8、線擬合方法確定醫用薄膜滲透率101202. 0),(minjjKtCbeabaKEj將6.2簡化為1)編寫M文件(nongdu.m)function f=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);其中x(1)=a x(2)=b x(3)=K 166.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率2)編寫程序(nihe2.m)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=4.54,4.99,5.35,5.65,5.9,6.1,6.26,6.39,6.5,6.59*10(-3);x0=0.2,0.0

9、5,0.05;x,resnorm,residual=lsqcurvefit(nongdu,x0,tdata,cdata)t=linspace(100,1000,100);c=nongdu(x,t);plot(tdata,cdata,o,t,c)c1=nongdu(x,tdata);e=c1-cdata; e1=sum(e.*e)輸出結果：x =0.0063 -0.0034 0.2542e1=3.5604e-0076.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率曲線擬合效果圖 186.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率多項式擬合語句a=p

10、olyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多項式的最高階數，xdata,ydata為將要擬合的數據，輸出參數a為多項式的系數計算多項式的擬合值 y=polyval(a,x) 196.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率汽車剎車距離與剎車速度的觀測值根據所給的數據畫散點圖plot(v,d,ro) 206.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率實測數據d,v的散點圖 216.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率設距離d與速度v之間的函數結構為二次多項式：d=a2v2+a1v+a0，求參數a=a2

11、,a1,a0的matlab程序如下v=20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80;d=42 56 73.5 91.5 116 142.5 173 209.5 248 292.5 343 401 464;a=polyfit(v,d,2)dl=polyval(a,v);plot(v,d,ro,v,dl,b.);輸出結果:a=0.0886 -1.9701 50.0594擬合的多項式為 d=0.0886v2-1.9701v+50.0594模型一 226.4 用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率擬合數據與實測數據比較 236.4 用曲線擬合方

12、法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率v=20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80;d=42 56 73.5 91.5 116 142.5 173 209.5 248 292.5 343 401 464;v=sqrt(v);a=polyfit(v,d,1)dl=polyval(a,v);plot(v,d,ro,v,dl,b.); box off輸出結果：a=91.4428 -430.1865模型二通過觀測散點圖，還可以假設剎車距離d與v剎車速度之間的函數關系為 ，下面為編寫求未知參數的a1、a0的matlab程序01avad 246.4 用曲線

13、擬合方法確定醫用薄膜滲透率用曲線擬合方法確定醫用薄膜滲透率擬合函數為：1865.4304428.91vd擬合數據與實測數據比較 25簡介曲面擬合簡介曲面擬合多元最小二乘法已知m個變量(x1,.,xm)和一個因變量y的一組觀測值(x1i,.,xmi,yi)，i=1,2,.,n，要確定函數y=f(x1,.,xm)，使得niimiiiyxxxfJ1221),.,(min通過機理分析或數據的直觀判斷，去確定函數f(x1,.,xm)的結構，假定函數中含有未知參數a1,.,ak，再通過最小二乘原理具體確定參數a1,.,ak 。 26簡介曲面擬合簡介曲面擬合經濟增長模型在經濟學中，有一個著名的Cobb-Do

14、uglas生產函數：1,0 ,),(LaKLKQQ，K，L分別表示產值、資金、勞動力，式中的，a要由經濟統計數據確定。現有美國馬薩諸塞州1900-1926年上述三個經濟指數的統計數據，試用最小二乘法，求出，a 27簡介曲面擬合簡介曲面擬合最小二乘的準則2712)(iiiiQLaKmin1)建立M函數文件jingjizz.mfunction Q=jingjizz(x,y)Q=x(1)*(y(1,:).x(2).*(y(2,:).x(3);其中 x(1)=a;x(2)=;x(3)= 28簡介曲面擬合簡介曲面擬合2)建立運行文件qumiannihe.mQ=1.05 1.18 1.29 1.30 1.

15、3 1.42 1.50 1.52 1.46 1.6 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.0 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58;y=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.1 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.3 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.9 1.58 1.67 1.82 1.6 1.61 1.64;x0=0.1, 0.1, 0.2;x=lsqcur