1、2.52.5 液體的相對平衡液體的相對平衡2.5.1 容器作等加速直線運動容器作等加速直線運動p 盛有液體的容器向右以勻加速度a作直線運動。ap 坐標系坐標系：坐標原點取在自由液面上。xzp 質量力質量力：gffafzyx, 0,agfp 將質量力代入壓力差方程，得：)(gdzadxdpp 積分，得：Cgzaxp)(p 邊界條件邊界條件：自由液面上的壓強為大氣壓：0, 0zxapp p 靜壓強分布規律靜壓強分布規律：)(gzaxppap 等壓面方程等壓面方程：Cgzaxp 自由液面方程自由液面方程：0 gzax容器底面積為b x b=200 x 200mm2，質量m1=4kg。靜置時水的高度為

2、h=150mm。在質量m2=25kg的重物作用下沿平面滑動，如果容器底面與平面間的摩擦系數為Cf=0.3。求水恰好不溢出時容器的最小高度H？容器與重物連在一起，其加速度相同，記為 a 列出容器和重物的運動方程： amTgm22ahbmfT)(21ghbmCff)(21其中 。解得加速度為： ghbmmhbmCmaf221212)(則自由液面水平傾角為： tanag由容器內水的體積守恒： 221(tan )2HHbbhb解得： m 213. 0)(2221212hbmmhbmCmbhHf2.5 液體的相對平衡液體的相對平衡2.5.2 容器作角速度旋轉運動容器作角速度旋轉運動2xr22yp 盛有液

3、體的容器繞z軸等角速度旋轉。p 坐標系坐標系：坐標原點取在自由液面最低點。p 質量力質量力：p 代入壓力差方程：p 積分得：p 靜壓強分布規律靜壓強分布規律：p 等壓面方程等壓面方程：p 自由液面方程自由液面方程：gfyrfxrfzyx2222sincos)(22gdzydyxdxdpCgzrCgzyxp)2/()2/2/(222222p 邊界條件邊界條件： 處，app 0, 0, 0zyx)2(22zgrgppaCgzr2/22grz2/222.52.5 液體的相對平衡液體的相對平衡液體轉速計由中心圓筒和活塞及與其聯通的兩根細管組成。試推導活塞位移與轉速之間的關系式？靜止時，由于活塞重量的作

4、用，使圓筒和細管存在液位差： 2.52.5 液體的相對平衡液體的相對平衡adgW214214dgWa旋轉時，圓筒的液位將下降h、細管液位上升b。由體積守恒得： hdbd2122442hddb22212由邊界條件 處 得壓強分布： HzRr,0app2)(222zHgRrgp活塞底面 z = 0，其壓強分布為： 2)(222HgRrgp作用在活塞底面上的總壓力應該等于活塞自身的重量：2/012drdrpW8/2/1 2302602122221dRddghnCgzrp)2/(222.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力2.6.1 靜止液體對平面的作用力靜止液體對平面的作

5、用力xOydAgyghdApdAdFpsinAAppydAgdFFsinAyydAcAsinpcccFgy Agh Ap Ap 為分析方便，將平面旋轉900，并建立坐標系。p 取微元面積，其上的作用力為：dAdFpp 作用在整個面積 A 上的作用力為：p 面積 A 對 x 軸的面積矩有關系式：p 總作用力為：hC 是平面形心的淹沒深度。ChC2.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力xOydAdFp 壓力中心壓力中心p 總作用力與平面的交點就是總壓力的作用點，稱為壓力中心。 p 根據合力矩定理，可得： ApDpydFyFADcdAygAygy2sin)sin(AxdA

6、yI2AyIycxD2ccxxAyIIAyIyyccxcDDFphD右邊積分項稱為面積 A 對 x 軸的慣性矩： p 總作用力的作用點為： p 根據慣性矩平移定理： p 則，總作用力的作用點為： 2.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力如圖為矩形擋水閘，長 l = 2.5m，寬 b = 1.5m，A 點到水面高度 h = 3m。求水閘關閉時，在 B 點處必須施加的作用力 F ？作用在閘門上的總壓力為:kN 2 .1335 . 25 . 1)2125 . 23(8 . 91000 )30sin2(bllhgAghPc)(25. 725 . 25 . 03230sinm

7、lhyc95. 15 . 25 . 112112133blIcx)(32. 75 . 25 . 125. 795. 125. 7myD0)30sin(FlhyPDkNF 34.705 . 2)5 . 0332. 7(75.133218閘門形心閘門慣性矩壓力中心為：對A點列合力矩方程，得：2.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力2.6.2 靜止液體對曲面的作用力靜止液體對曲面的作用力p 討論如圖的二向曲面所受液體總壓力。cossinxxzzdFghdAghdAdFghdAghdAxcAxAxxAghhdAgdFFpAzzgVhdAgF22zxFFFtanxzFFp 取

8、一微元面積，將作用力分解為水平方向和垂直方向兩個分力：dFp 水平分力：p 垂直分力：Vp 為曲面上方的液柱體積，稱為壓力體。p 總作用力的大小和方向：2.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力 壓力體的確定方法壓力體的確定方法（1）取自由液面或其延長線； ABCDE（2）取曲面本身； （3）曲面兩端向自由液面投影，得到兩根投影線；（4）以上四根線將圍出一個或多個封閉體積，這些體積在考慮了力的作用方向后的矢量和就是所求的壓力體。壓力體是一個純數學概念，而與該體積內是否充滿液體無關。2.6 2.6 靜止液體對固體表面的作用力靜止液體對固體表面的作用力圓柱體半徑 r = 2m，長 l = 5m，如圖放置在斜面上。求作用在圓柱上的水壓力大小及作用點？（1）水平分力水平分力：AEB部分水平分力相互抵消，只要考慮BC段即可。kN 9852228 . 910002hlhgFxlSrVCADp)21(2kN 4