1、基于接觸理論的葉輪機械偏心傳動的偏心量計算* 王富民 楊波 谷傳綱 /上海交通大學動力機械及工程教育部重點實驗室 摘要：介紹了一種應用于葉輪機械的傳動方式，即偏心傳動，該傳動方式具有裝配方便的特點；將彈性接觸理論應用于該傳動方式偏心量的計算，建立了考慮彈性變形時偏心量的計算方法；采用一組實際數(shù)據(jù)，分析計算方法的適用性，以及彈性變形對偏心量計算的影響。關鍵詞：偏心傳動；偏心量；接觸理論 中圖分類號：TK26；O34 文獻標識碼：B文章編號：1006-8155（2008）01-0028-06The Eccentricity Calculation of Eccentricity Rotation

2、in Turbomachinery Based on Contact Theory Abstract: This paper introduces a new rotation way used in turbomachinery, which is eccentricity rotation with the characteristic of assembling conveniently. The flexible contact theory is applied to calculate eccentricity of this kind of rotation way. The c

3、alculation method of eccentricity considering flexible deformation is established. The applicability of the method and the effect of flexible deformation on calculating eccentricity are analyzed based on a group of data.Key words: eccentricity rotation; eccentricity; contact theory0 引言葉輪機械中，通常采用熱過盈配

4、合即紅套來完成軸與輪盤的裝配。目前，熱過盈裝配技術已十分成熟，但其對加熱容器空間以及加熱溫度有嚴格的要求，且要求裝配過程準確而迅速1。裝配檢修時，拆卸不便，有時還需要提供加熱紅套環(huán)的專用環(huán)形噴燃器2，尤其在某些空間范圍有限的動力平臺上，往往不能實現(xiàn)配件的加熱。基于這些生產實踐中遇到的問題，偏心傳動方案逐步為設計者所采用。偏心傳動采用間隙裝配，不需加熱，克服了熱過盈裝配的缺點，為設計者提供了靈活多變的設計方案。但是在偏心傳動設計中，不可避免地引入了偏心量。偏心量過小，不能產生足夠大的摩擦轉矩；偏心量過大，則增加了動平衡的配重，對轉動的穩(wěn)定性和安全性構成隱患。因此，如何計算偏心量，并在設計中選取適

5、當?shù)臄?shù)值，尤為重要。1 偏心傳動機理與偏心量初算1.1 傳動機理在偏心傳動中，軸與輪盤間隙裝配；為了使軸與輪盤在接觸區(qū)能相互擠壓產生足夠大的摩擦力矩，將軸與輪盤孔設計為偏心。初始裝配位置如圖1a所示，A代表軸，B代表輪盤，此時兩者為線接觸。O為軸A的旋轉中心，Oe為軸A的幾何中心，軸A繞O順時針轉動，輪盤B初始靜止。軸A是偏心軸，徑向尺寸不關于轉動中心對稱，所以在盤車過程中，A與B之間的接觸將進一步加劇，兩者之間相互擠壓，最終形成一定尺寸的接觸區(qū)（圖中箭頭指示區(qū)），在接觸區(qū)產生法向應力與切向摩擦應力（圖1b），此時兩者為面接觸。當軸A繼續(xù)轉動時，通過接觸區(qū)產生的摩擦力矩帶動輪盤B一起轉動（圖1

6、c，圖1d）。OeABOOeAB(a)(b)(d)(c)OOeABOOeAB圖1 偏心傳動機理示意圖首先考慮不計彈性變形即線接觸時的偏心量計算，然后建立彈性變形計算方法，并在此基礎上計算考慮彈性變形即面接觸時的偏心量。1.2 不計彈性變形的偏心量初算偏心傳動裝配時為間隙裝配，一般有兩種裝配方案：同心裝配與相切裝配（圖2）。忽略彈性變形對軸A和輪盤B相對位置的影響。二者相對位置見圖2，軸A的質心與幾何中心重合為Oe，輪盤B的質心為OB，系統(tǒng)質心為OAB，O為旋轉中心。oeoBoo'BerBnrAdl2oABABoeOB)oo'BoABABoe1dl1同心裝配相切裝配圖2 偏心量初

7、算對于同心裝配，初始位置偏心軸A與孔同心，初始盤車時，軸A轉過一定角度才與孔壁接觸，此時軸A質心到達Oe1位置。根據(jù)力學系統(tǒng)質心的定義，得到軸A與輪盤B的系統(tǒng)質心偏心距為(1)式中 dl1同心裝配時的系統(tǒng)偏心距 mA軸A的質量 mB輪盤B的質量 e 軸A的偏心距相切裝配時，系統(tǒng)質心的偏心距為(2)式中 dl2相切裝配時的系統(tǒng)偏心距 rBn輪盤B的內孔半徑 rA軸A的半徑不管是哪種裝配方式，彈性變形對偏心量的影響是一致的。相切裝配在實踐中更容易實現(xiàn)，應用也更廣泛一些，故下文以相切裝配為例來分析彈性變形的影響。2 考慮彈性變形時偏心量的計算實際運行過程中，軸A與輪盤B發(fā)生了彈性變形，應為面接觸。與

8、線接觸相比，軸與輪盤的相對位置有所變化，系統(tǒng)質心和偏心量也有所變化。如圖3所示，Oe為偏心軸A幾何中心的初始位置，OB為輪盤孔的幾何中心，軸A繞O轉動。當偏心軸軸心轉到Oe時，偏心軸A對輪盤B作用足夠大的摩擦力矩，帶動輪盤B轉動。 oeoBABoo'e圖3 轉動時，軸A與輪盤B的相對位置設軸A由Oe轉過后到達Oe，輪盤的位置相對A未變。則系統(tǒng)質心的偏心距為(3)式中 ds2為相切裝配考慮變形時的系統(tǒng)偏心距。與式(2)比較得：彈性變形對偏心量的影響通過反映，不計彈性變形的偏心距，就是的情況。對于同心裝配，的影響只需將式（1）中的換為+即可。三角形中（圖4），現(xiàn)已知，其中。如果可以求得，則

9、根據(jù)余弦定理求得，進而得到系統(tǒng)偏心距。OeoBOO'eeeOoBABoeoeR 圖4 轉動角的計算下面基于彈性接觸理論對OeOB求解。一般軸和輪盤的軸向尺寸較大，故假定所處應力狀態(tài)為平面應變狀態(tài)。通過兩種思路進行分析：當扭轉載荷較小時，接觸面較小，接觸面近似為一平面，采用非協(xié)調接觸理論的Hertz模型4；當載荷較大，接觸面較大時，采用協(xié)調接觸理論的Persson模型5-6。2.1 Hertz模型軸A與輪盤B相對位置如圖5所示，在軸A軸心Oe處作用一集中力載荷F，使得軸A與輪盤B在點1接觸，接觸區(qū)延伸為一關于點1對稱的直線，接觸半寬度為a。旋轉中心O在圖中并未顯示，且不在Z軸上：在求解前

10、作如下假設：（a）與A，B兩物體的尺寸相比，接觸區(qū)的表面曲率半徑很小；（b）相接觸的兩個物體都可以被看作彈性半空間體4；（c）忽略表面摩擦力對正壓力的耦合作用。xzaFaOeOBrBn1rAAB圖5 Hertz模型示意圖建立坐標系，則接觸區(qū)的正壓力分布p(x) 與接觸寬度a為 4(4) 4(5)式中 F模型所受的外力載荷 R等效半徑， E*等效彈性模量A，B，EA，EB為分別為A，B兩種材料的泊松比和彈性模量。式（4），（5）都是F的函數(shù)，已知載荷F，接觸寬度和壓力分布就可確定。2.2 Persson模型體A、B外形相當密切的協(xié)調一致，在載荷的作用下，接觸區(qū)尺寸迅速擴大，可能變得與接觸物體本身

11、的有效尺寸相當。設接觸圓弧對應弧度為2。接觸情形如圖6所示。以Oe為原點建立極坐標系，Oe1為初始0角度與Hertz模型類似，Persson模型也是在軸A的軸心Oe處作用一集中力F，軸A與輪盤B在點1接觸。不同之處在于接觸的兩個物軸，逆時針為正。接觸半弧度與接觸區(qū)壓力分布的關系式為 5-6(6) 5-6(7)式中,為 第一、第二Dundur參數(shù)4，與相接觸的兩個物體的材料有關；b、y是輔助變量，。RFoeoBrBn1ArABr圖6 Persson模型示意圖已知F的情況下，式（6）是關于的非線性方程，通過數(shù)值方法求得，然后帶入式（7）便得到接觸面上的壓力分布。上述兩種模型在推導接觸區(qū)正壓力時，忽

12、略了切向摩擦力的耦合作用。文獻4中指出，摩擦可以使產生給定尺寸的接觸所需的載荷F增加，增加程度與第二Dundur參數(shù)成正比。是表征接觸材料彈性性質之差的參數(shù)，實際應用中的取值很小。軸和輪盤材料是不同類型的鋼，彈性性質差別不大，的取值會更小。故在求解接觸區(qū)正壓力的時候，忽略切向摩擦力有其合理性，以Hertz模型為例，影響不超過5%。在解得正壓力分布后，乘以摩擦因數(shù)即可得到摩擦力。2.3 面接觸偏心量的計算方法應用上述兩種模型時，需要已知作用于偏心軸心的集中力載荷F。由于F的作用，在接觸區(qū)產生法向應力與切向摩擦應力（圖7）。轉動的條件是摩擦力矩=需傳輸?shù)霓D矩，所以可以通過摩擦力矩求得F，設接觸區(qū)壓

13、力分布為P(x) 。d(8) 式中 摩擦因數(shù)，對于鋼-鋼接觸取0.10.157 M 需傳遞的力矩，其中P是功率，n是轉速，t是軸向厚度。 r(x) 接觸區(qū)x點相對于轉動中心的力臂oo'e接觸區(qū)摩擦力r(x)圖7 接觸區(qū)摩擦力矩傳輸示意圖對于Hertz模型，將式（5）代入式（8）得到： d(9)由于偏心距一般與半徑相比很小，接觸區(qū)內各點到轉動中心O的距離近似相等，接觸區(qū)域內的摩擦力相對于轉動中心的力臂r(x)近似等于偏心軸半徑rA。因此由式（9）得到集中力載荷為 (10)將F帶入式（4），便可將接觸半寬度a確定： (11)對于Persson模型，需要聯(lián)立求解（5）、（6）、（7）3個非線

14、性方程，解出b，p(y)，F(xiàn)。采用迭代的方法求解，算法如下：（1） 將Hertz模型得出的值F賦予初值F0，由式（6）計算出初始的接觸半弧度b0；（2） 將b0代入式（8），計算出校正的F1并將代入F1式（5）得到較正的b1；（3） 對b0，F(xiàn)0和b1，F(xiàn)1進行誤差分析，若誤差滿足精度要求，則b1，F(xiàn)1為方程組的解；若誤差較大，則將b1，F(xiàn)1賦予初值，重新迭代直至誤差滿足精度要求。至此，接觸區(qū)的壓力分布與特征尺寸都已確定，以下便是通過幾何條件計算為了形成這樣的接觸區(qū)，偏心軸A所需轉過的角度。對于Hertz模型，軸A和盤B發(fā)生彈性變形后的情形如圖8所示。接觸區(qū)邊界為2，3點，關于1點對稱，將線段

15、23當作直線處理。，為接觸半寬度。oeoBABoo'e312aaF圖8 Hertz模型接觸圖圖9是接觸區(qū)的局部放大圖。在三角形中，所以；同理在三角形中，得到：(12)得到后，由圖4計算出偏轉角，代入式（3）即可確定Hertz模型下的偏心距。圖9 Hertz模型接觸圖二對于Persson模型，彈性變形后的情形如圖10所示。假設A可以進入輪盤B內，圓弧是未發(fā)生變形時軸A的邊界，圓弧是未發(fā)生變形時輪盤B的邊界。軸A承受向內的壓力，輪盤B承受向外的壓力，最終兩物體形成了介于，的接觸區(qū)。假設接觸區(qū)也是一圓弧，其圓心位于與之間的線段上，由于與半徑相比較小，故將接觸區(qū)312的圓心近似為。由前面得到的

16、接觸區(qū)特征尺寸，在三角形中，可求得。與Hertz模型類似，在三角形中，可求得轉角，最終確定A，B的相對位置。oeoBABoo'e3121B1AF圖10 Persson模型接觸示意圖確定了后，代入式（3），得到了考慮彈性變形后系統(tǒng)質心的偏心距。3 計算結果與分析為了分析彈性變形對偏心距的影響，以一壓縮機的軸與輪盤裝配參數(shù)為例，對系統(tǒng)偏心量進行計算。設計數(shù)據(jù)與計算結果見表1和表2。表1 設計數(shù)據(jù)轉速n/ （r/min）傳輸功率P/kW軸向厚度t/mm偏心距e/mm8000180404偏心軸半徑rA/mm輪盤內孔徑rBn/mm輪盤外徑rBw/mm軸與輪盤材料50.99551.01065鋼表2

17、 計算結果項目不計彈性變形的計算結果同心裝配的偏心量dl1/mm0.925817397相切裝配的偏心量dl2/mm0.920024499項目Hertz模型計算結果Persson模型計算結果接觸區(qū)尺寸a()/mm/（°）48.63811mm45.57817644轉動角/（°）0.6799290.2186989同心裝配偏心量ds1/mm0.9262867750.925905651相切裝配偏心量ds2/mm0.9431454510.927461384與未考慮彈性變形時，同心裝配偏心量的偏差/%0.05069880.00953與未考慮彈性變形時，相切裝配偏心量的偏差/%2.5130

18、80.80833基于Hertz模型與Persson模型計算結果的比較：由表2的計算結果看出，Hertz模型的偏心量計算結果比Persson模型總體偏大。在同心裝配偏心量ds1的計算中，Hertz模型的計算結果比Persson模型的計算結果大10-3mm的量級 ；對于相切裝配偏心量ds1，兩者相差10-2mm的量級。從相對偏差的角度看：同心裝配時，Hertz模型計算結果是Persson模型計算結果的5倍左右；相切裝配時，Hertz模型計算結果是Persson模型的3倍左右。這些偏差主要由模型簡化時，對接觸區(qū)的不同處理方式引起的。Hertz模型將接觸區(qū)簡化為一直線，Persson模型將其簡化為一段

19、圓弧。高速低載情況下，傳輸轉矩較小，接觸區(qū)也比較小，此時將接觸區(qū)簡化為一直線，可以節(jié)省計算時間，而且得到的結果也可滿足工程精度。因此基于Herzt模型的偏心量計算方法在高速低載時有很好的適用性。Persson模型計算時，對接觸區(qū)邊界的簡化較Hertz模型更接近物理真實，故無論在高速低載還是低速高載，基于Persson模型的偏心量計算方法都有很高的精度和很強的可信度。但是Persson模型計算時，計算復雜需要進行迭代，理論上還存在迭代不收斂的可能性。彈性變形對偏心量的影響：不管是Hertz模型還是Persson模型的計算，彈性變形都增大了系統(tǒng)的偏心距。Hertz模型的增大效果更強一些；裝配方式對

20、偏心距的增大也有影響：比起同心裝配，相切裝配對彈性變形更敏感一些；不計彈性變形時，同心裝配的偏心量要比相切裝配大一些，考慮彈性變形后則剛好相反。另外，計算結果表明：彈性變形對偏心量的影響在10-710-5mm4 結論（1）通過對偏心傳動方式的研究，建立了基于彈性接觸理論的偏心量計算方法：基于Hertz模型的計算方法和基于Persson模型的計算方法。分析了兩種方法的適用性與特點：Hertz模型計算方法適用于高速低載時傳輸扭矩較小的情況，計算比較簡單，Persson模型適用面廣，還可用于低速高載扭矩較大，接觸面較大的情況，不過計算較復雜，需要進行非線性方程的迭代。 （2）針對某一具體算例，分析了彈性變形對偏心量的影響：這種影響對偏心距的改變在10-710-5mm之間，與葉輪機械一般采用的動平衡精度等級量級相當，從而證明彈性變形的影