1、相交線與平行線知識點整理摘要：注意點：對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；如果是對頂角，那么一定有；反之如果，那么不一定是對頂角，如果互為鄰補角，則一定有；反之如果，則不一定是鄰補角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。5.1相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：圖形頂點邊的關系大小關系對頂角121與2有公共頂點1的兩邊與2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即1=2鄰補角433與4有公共頂點3與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。3+4=180°注意點：對頂角是成對出現的，對頂角是

2、具有特殊位置關系的兩個角；如果與是對頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對頂角如果與互為鄰補角，則一定有+=180°；反之如果+=180°，則與不一定是鄰補角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。2、垂線定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。ABCDO符號語言記作： 如圖所示：ABCD，垂足為O垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線

3、段最短。3、垂線的畫法：過直線上一點畫已知直線的垂線；過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離記得時候應該結合圖形進行記憶。PABO如圖，POAB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線

4、段最短”性質的應用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念 分析它們的聯系與區別垂線與垂線段 區別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質)兩點間距離與點到直線的距離 區別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。 5.2平行線1、平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，

5、記作。2、兩條直線的位置關系在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：相交；平行。因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）3、平行公理平行線的存在性與惟一性經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，

6、才會結論，這兩條直線都平行。5、三線八角12345678兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、內錯角與同旁內角。如圖，直線被直線所截1與5在截線的同側，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）5與3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）5與4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角。三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內錯角是“Z”型；同旁內角是“U”型。6、如何判別三線八角判別同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是找到構成這兩個角的“三線”，有時需要將有關的部分“抽出”或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全。6BAD2345

7、789FEC例如：1如圖，判斷下列各對角的位置關系：1與2；1與7；1與BAD；2與6；5與8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關角無關的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出1與2是同旁內角；1與7是同位角；1與BAD是同旁內角；2與6是內錯角；5與8對頂角。ABC17ABF21ABCD26ADBF1BAFE58C注意：圖中2與9，它們是同位角嗎？不是，因為2與9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相

8、等，那么這兩條直線平行簡稱：內錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行ABCDEF1234簡稱：同旁內角互補，兩直線平行幾何符號語言：32ABCD（同位角相等，兩直線平行）12ABCD（內錯角相等，兩直線平行）42180°ABCD（同旁內角互補，兩直線平行）請同學們注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的“位置關系”一般都與某種“數量關系”有著內在的聯系，常由“位置關系”決定其“數量關系”，反之也可從“數量關系”去確定“位置關系”。上述平行線的判定方法

9、就是根據同位角或內錯角“相等”或同旁內角“互補”這種“數量關系”，判定兩直線“平行”這種“位置關系”。根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面內不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯誤，平行線是“在同一平面內不相交的兩條直線”。“在同一平面內”是一項重要條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是“過直線外一點”而不

10、是“過一點”。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。典型例題：如圖，根據下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據是什么？ABEDFC123解答：由2B可判定ABDE，根據是同位角相等，兩直線平行；由1D可判定ACDF，根據是內錯角相等，兩直線平行；由3F180°可判定ACDF，根據同旁內角互補，兩直線平行。5.3平行線的性質1、平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；ABCDEF1234性質3：兩直線平行，同旁內角互補。幾何符號語言：ABCD12（兩直線平行，內錯角相等）ABCD32（兩直線平行，同位角相等）ABCD

11、42180°（兩直線平行，同旁內角互補）2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離。AEGBCFHD注意：直線ABCD，在直線AB上任取一點G，過點G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成每個命題都是題設、結論兩部分組成。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論。有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設和結論

12、不明顯。對于這樣的命題，要經過分析才能找出題設和結論，也可以將它們改寫成“如果，那么”的形式。注意：命題的題設（條件）部分，有時也可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結論部分，有時也可用“求證”或“則”等形式表述。4、平行線的性質與判定平行線的性質與判定是互逆的關系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補。其中，由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質。ADEBC12典型例題：已知1B，求證：2C證明：1B（已知）DEBC（同位角相等，兩直線平行）2C

13、（兩直線平行同位角相等）注意，在了DEBC，不需要再寫一次了，得到了DEBC，這可以把它當作條件來用了。典型例題：如圖，ABDF，DEBC，165°ADFBEC123求2、3的度數解答：DEBC（已知）2165°（兩直線平行，內錯角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180°（兩直線平行，同旁內角互補）3180°2180°65°115°5.4平移1、平移變換把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點連接各組對應點的線段平行且相等2、平移的特征：經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形