1、高考專題突破四高考中的立體幾何問題考點自測1(2013·廣東)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是()A4 B. C. D6答案B解析由三視圖知四棱臺的直觀圖為由棱臺的體積公式得：V(2×21×1)×2.2(2013·課標全國)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案D解析假設，由m平面，n平面，則mn，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么與相交，設交線為l1，則l1m，l1n，在直線m上任取一點作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n

2、1所確定的平面，所以l1l.3(2014·四川)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為線段BD的中點設點P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則sin 的取值范圍是()A，1 B，1C， D，1答案B解析根據題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，所以過點P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，所以A1OP或其補角就是直線OP與平面A1BD所成的角.設正方體的邊長為2，則根據圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直當點P與點C1重合時可得A1OOP，A1C12，所以×××sin ×2×2

3、，所以sin ；當點P與點C重合時，可得sin .根據選項可知B正確4(2014·山東)三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.答案解析設點A到平面PBC的距離為h.D，E分別為PB，PC的中點，SBDESPBC，.5(2014·江蘇改編)如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點若PAAC，PA6，BC8，DF5.則PA與平面DEF的位置關系是_；平面BDE與平面ABC的位置關系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為

4、PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因為D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA3，EFBC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型一空間點、線、面的位置關系例1(2014·安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面G

5、EFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積思維點撥(1)證明GHEF，只需證明EF平面PBC，只需證明BCEF，利用BC平面GEFH即可；(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積(1)證明因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內，所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面

6、GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K為OB的中點再由POGK得GKPO，即G是PB的中點，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積S·GK×318.思維升華高考對該部分的考查重點是空間的平行關系和垂直關系的證明，一般以解答題的形式出現，試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關系的基本定理在判斷線面位置關系中的應用 (2013

7、3;江蘇)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型二平面圖形的翻折問題例2(2014·廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折

8、痕EFDC.其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積思維點撥折疊后，MD與平面CDEF的垂直關系不變(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，BC2，CD1，PCD60°，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsi

9、n 60°×，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDE·DC××1.故VMCDEMD·SCDE××.思維升華平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況一般地翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質發生變化 已知四邊形ABCD是矩形，AB1，BC，將ABC沿著對角線AC折起來得到AB1C且頂點B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示(1)求證：平面AB1C平面B1CD；(2)求三棱錐B1ABC的體積VB1ABC.(1)證明B1O平面ABCD，

10、CD平面ABCD，B1OCD，又CDAD，ADB1OO，CD平面AB1D，又AB1平面AB1D，AB1CD，又AB1B1C，且B1CCDC，AB1平面B1CD，又AB1平面AB1C，平面AB1C平面B1CD.(2)解由于AB1平面B1CD，B1D平面ABCD，所以AB1B1D，在RtAB1D中，B1D，又由B1O·ADAB1·B1D得B1O，所以VB1ABCSABC·B1O××1××.題型三線面位置關系中的存在性問題例3(2014·四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形(1)若ACBC

11、，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結論思維點撥(1)先證明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以證明直線BC平面ACC1A1；(2)取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可(1)證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面ABC內兩條相交的直線，所以AA1平面ABC.因為直線BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1和AC為平面ACC1A1

12、內兩條相交的直線，所以BC平面ACC1A1.(2)解取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設點O為A1C，AC1的交點由已知，點O為AC1的中點連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因為直線DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE平面A1MC.思維升華對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在這假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假

13、設，若得出矛盾的結論則否定假設 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假設存在點E，使D1E平面

14、A1BD.連接AD1，AE，D1E，設AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點，則N是AE的中點又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.(時間：70分鐘)1(2014·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A54 B60 C66 D72答案B解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)截取得到的在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖

15、(2)所示在圖(1)中，直角梯形ABPA1的面積為×(25)×414，計算可得A1P5.直角梯形BCC1P的面積為×(25)×5.因為A1C1平面A1ABP，A1P平面A1ABP，所以A1C1A1P，故RtA1PC1的面積為×5×3.又RtABC的面積為×4×36，矩形ACC1A1的面積為5×315，故幾何體ABCA1PC1的表面積為1461560.2已知m，n分別是兩條不重合的直線，a，b分別垂直于兩不重合平面，有以下四個命題：若m，nb，且，則mn；若ma，nb，且，則mn；若m，nb，且，則mn；若

16、m，nb，且，則mn.其中正確的命題是()A B C D答案D解析對于，b，nb，n，m，且，mn，錯誤；對于，a，b分別垂直于兩不重合平面，ab，ma，nb，mn，正確；對于，nb，b，n，m，mn，正確；對于，m，b，mb，nb，mn或mn或m，n相交，不正確所以正確3如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結論是_(填寫結論序號)答案解析因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不

17、垂直，則不成立；設點D在平面BCF上的射影為點P，當BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤故答案為.4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當_時，D1E平面AB1F.答案1解析如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內的射影AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形

18、，E是BC的中點，當且僅當F是CD的中點時，DEAF，即當點F是CD的中點時，D1E平面AB1F，1時，D1E平面AB1F.5如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)E，F分別為AB，AC的中點，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G與EB平行且相等，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平

19、面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.6如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？并證明你的結論解在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE.因為平面ABB1A1平面DCC1D1，所以A1B與平面A1EB和平面DCC1D1的交線平行，如圖所示，取CD的中點G，連接EG，BG，則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線取C1D1的中點F，CC1的中點H，連接HF，B1F，B1H.因為HFEG，所以HF平面A1EB.因為A1B1C1D1HE，所以A1，B1，H，E四點共面，又平面BB1C1C平面AA1D1D，所以B1HA1E，從而B1H平面A1EB，因為B1HHFH，所以平面B1HF平面A1EB，所以B