1、第8節二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面第6節例6.3與例6.4 給出的旋轉曲面就是二次曲面二次曲面應用較廣泛，并且形狀也比較簡單本節討論幾種標準方程的二次曲面8.0 球面（重點認識）方程 (8.0)表示的曲面是球心在半徑為的球面（動點到定點的距離等于定長。） (8.0)的平方都展開并記，可知球面方程是三元二次方程（平方項系數都是1） (8.01) 反過來，給了三元二次方程(8.01)，配方得可見，（1）如果，則(8.01)表示球心在半徑為的球面；（2）如果，則(8.01)只表示一點；（3）如果，則沒有點滿足(8.01)（此時稱(8.01)表示一個虛球面）。8.1 橢球面（重點認識）

2、方程 (8.1)表示的曲面叫做橢球面為了研究橢球面的形狀，我們用平行于坐標平面的平面去截割橢球面，得到一些截線并考察這些截線的形狀然后加以綜合，構想出曲面的全貌.由方程可知即，這說明橢球面包含在由平面，圍成的長方體內先考慮橢球面與三個坐標面的截線，這些截線都是橢圓圖8.1用平行于面的平面（）去截這個曲面，所得截線（緯線）的方程是易見，當由0變到時，橢圓由大變小，最后縮成一點.同樣地用平行于面或面的平面去截這個曲面得到一些經線，也有類似的結果.如果連續地取這樣的緯線和經線，可以想像，這些截線就組成了一張橢球面（圖8.1）在橢球面方程中，按其大小，分別叫做橢球的長半軸，中半軸，短半軸上述考察橢球面

3、的形狀的方法，又稱為截痕法，下面我們將繼續應用此方法考察另外的幾種二次曲面.8.2 拋物面（重點認識）拋物面分橢圓拋物面與雙曲拋物面兩種方程 (8.2)所表示的曲面叫做橢圓拋物面（重點認識）設方程右端取正號，現在來考察它的形狀(1) 用面（）去截這曲面，截痕為原點用平面（）去截這曲面得緯線為橢圓（時為圓）：.當時，截痕退縮為原點；當時，截痕不存在.原點叫做橢圓拋物面的頂點.(2) 用面（）去截這曲面得經線為拋物線圖8.2用平面去截這曲面得經線也為拋物線(3) 用面（）及平面去截這曲面，其結果與(2)類似綜合以上分析結果，可知橢圓拋物面的形狀如圖8.2所示方程 (8.3)所表示的曲面叫做雙曲拋物

4、面設方程右端取正號，現在來考察它們的形狀(1) 用平面（）去截這曲面得緯線方程是當時，截痕是雙曲線，其實軸平行于軸當時，截痕是平面上兩條相交于原點的直線.當時，截痕也是雙曲線，但其實軸平行于軸(2) 用平面去截這曲面得經線方程是時，截痕是平面上頂點在原點的拋物線且張口朝下時，截痕都是開口朝下的拋物線，且拋物線的頂點隨增大而升高圖8.3(3) 用平面去截這曲面得經線方程是截痕均是開口朝上的拋物線，且拋物線的頂點隨增大而降低綜合以上分析，雙曲拋物面的形狀如圖8.3所示因其形狀與馬鞍相似，也稱其為馬鞍面8.3 雙曲面雙曲面分單葉雙曲面與雙葉雙曲面兩種其中方程 (8.4)表示的曲面叫做單葉雙曲面(1)

5、 用平面去截這曲面，截痕方程是它表示中心在原點，兩個半軸長分別為及的橢圓.用平面去截這曲面得緯線方程是它表示中心在軸上，兩個半軸長分別為及的橢圓.(2) 用平面去截這曲面，截痕方程是它表示中心在原點，實軸為軸，虛軸為軸的雙曲線，兩個半軸長分別為及.用平面去截這曲面得經線截痕方程是它表示中心在軸上的雙曲線，兩個半軸長的平方分別為及.如果，則雙曲線的實軸平行于軸，虛軸平行于軸；如果，則雙曲線的實軸平行于軸，虛軸平行于軸.如果，則平面截曲面所得截線為一對相交于點的直線，它們的方程為和如果，則平面截曲面所的截線為一對相交于點的直線，它們的方程為和(3) 類似地，用平面，去截這曲面所得截線也是雙曲線，兩

6、平面截這曲面所得截線是兩對相交的直線.綜上所述，可知單葉雙曲面的形狀如圖8.4所示:圖8.4圖8.5 方程 (8.5)所表示的曲面叫做雙葉雙曲面用截痕法所得結果如下：截平面截痕面及平行于面的平面無截痕、一點或橢圓面及平行于面的平面雙曲線面及平行于面的平面雙曲線它的形狀如圖8.5所示:8.4 橢圓錐面（重點認識）方程 (8.6)表示的曲面叫做橢圓錐面(二次錐面). 用截痕法所得結果如下：截平面截痕面及平行于面的平面一點或橢圓面及平行于面的平面兩相交直線或雙曲線面及平行于面的平面兩相交直線或雙曲線由方程(8.6)知， 橢圓錐面過原點，又由于當點的坐標滿足方程(8.6)時， 點(為任意實數)的坐標也

7、滿足方程(8.6).因此，直線都在橢圓錐面上，因此可以認為橢圓錐面由通過原點的直線構成.我們把這些直線稱為橢圓錐面的母線， 母線的公共點稱為橢圓錐面的頂點.若用平面去截橢圓錐面，其截線為橢圓.這樣，我們可把橢圓錐面看作其母線沿上述橢圓移動所形成的曲面.一般地，若直線過定點，且與不含的定曲線相交，則將沿移動形成的曲面稱為錐面.定點稱為錐面的頂點， 定曲線稱為錐面的準線，動直線稱為錐面的母線下面給出確定錐面方程的一般方法.設錐面的頂點，錐面的準線方程為. (8.7)設為錐面上任一點，則準線上存在點，使在同一母線上，即共線，因此有 (8.8)由(8.8)得，代入(8.7)得 (8.7*)(8.7*)

8、消去就得到錐面的方程。【例8.1】 設一錐面的頂點為原點，準線方程為，求此錐面的方程.解 設錐面上任一點，則準線上存在點，使原點共線，因此有，但由于，故，將，代入準線方程，就得到錐面方程:，顯然它為橢圓錐面.當時， 準線為平面上的圓，這時橢圓錐面為:，它就是頂點在坐標原點，旋轉軸為軸的圓錐面本節中所討論的橢球面、拋物面、雙曲面、橢圓錐面等稱為標準型二次曲面.對于一般二次曲面，可通過坐標軸的平移和旋轉化為標準型二次曲面，這方面的討論比較復雜，這里不作進一步研究。思考題:1.試討論已給出的其他幾個標準型二次曲面的對稱性.習題88A類*1.畫出下列方程所表示的二次曲面的圖形：(1) ; (2) ;(

9、3) ; (4) ;(5) ; (6) (7) 2.畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：(1)*(2)(3)(4)（在第一卦限內）*(5);B類*1.證明曲面是雙曲拋物面.2.畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：*(1) ;(2) ;(3) ;*(4) ;*(5) .總 習 題 八1設，試問：(1)若，能否推知？(2)若，能否推知？(3)若，能否推知？*2以向量與為邊作平行四邊形，試用與表示邊上的高向量.*3在邊長為立方體中，設為對角線，為棱，求在上的投影.4已知向量兩兩垂直，且，求的模及它與的夾角.設，計算：(1)與之間的夾角；(2)以和為鄰邊的平行四邊形的面積.設，求.7設向量， (1)求;(

10、2)若，求向量，使得由三向量所構成的平行六面體的體積最大.8設，向量滿足條件：，求.解 設。由條件（）解得。*設，且，證明：過點并且以為法向的平面具有如下形式的參數方程：，其中為參數.10求通過點和且與面成角的平面方程.*11求垂直于平面，且通過（點到直線的垂線）的平面的方程.解 設所求平面的法向量為。由垂直于平面有。直線的參數方程，方向向量。設垂足是。由有，解得。由條件，。取解得。所求平面的方程：。12求過點且平行于平面，又與直線相交的直線的方程.解 直線的參數方程。設交點是。的法向量。由有，解得。取。所求直線的方程：。13求直線關于平面對稱的直線方程.*14求直線在平面上的投影直線的方程，并求繞軸旋轉一周所成的曲面的方程15求柱面與錐面所圍立體在三個坐標面上的投影區域.解 在平面上的投影區域就是平面截所給幾何體的截痕：見右圖。在平面上的投影區域的邊界是曲線在平面上的投影。消去得平面上的投影區域：在平面上的投影區域的邊界是曲線在平面上的投影。消去得平面上的投影區域：*16求過兩球面的