1、泰勒公式及其應(yīng)用摘 要 文章主要對泰勒公式在近似計算、求極限、證明不等式、外推、求曲線的漸近線方程和判斷級數(shù)收斂性，對函數(shù)凹凸性及拐點判斷、廣義積分斂散性中的應(yīng)用關(guān)于界的估計、和泰勒公式展開的唯一性問題做了簡單系統(tǒng)的介紹和分析，從而體現(xiàn)泰勒公式式在微分學(xué)中占有很重要的地位.關(guān)鍵詞泰勒公式; 佩亞諾余項; 拉格朗日余項; 不等式; 根的唯一存在性; 極值; 近似計算.一引言 近代微積分的蓬勃發(fā)展，促使幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究，特別是泰勒，笛卡爾，費馬，巴羅，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世紀早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒在微積分學(xué)中將函數(shù)展開

2、成無窮級數(shù)而定義出來的.泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)得到泰勒公式，對于一般函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個次多項式稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有即稱為泰勒公式.我們都知道，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可缺少的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用. 泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用,它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近

3、似計算、不等式證明等方面. 這篇主要在于探索泰勒公式及其應(yīng)用的新方法，借助泰勒公式的廣泛應(yīng)用，將泰勒公式的知識應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題的各個方面和領(lǐng)域中去，得出泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求方法的簡便性.二預(yù)備知識2.1泰勒公式的定義定義2.1若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）其中 上述公式稱為在點處帶有佩亞諾余項的的泰勒公式.當(dāng)=0時,（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林公式.定義2.2若函數(shù)在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, （2）這里為拉格朗日余項,其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時,（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式.常見函數(shù)的展開式：.，定理

4、2.1(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任何實數(shù),則至少存在一點,使得.2.2泰勒公式的意義泰勒公式的意義是，用一個次多項式來逼近函數(shù).而多項式具有形式簡單，易于計算等優(yōu)點.泰勒公式由的次泰勒多項式和余項組成，我們來詳細討論它們.當(dāng)=1時，有 ，是的曲線在點處的切線（方程），稱為曲線在點的一次密切，顯然，切線與曲線的差異是較大的，只是曲線的近似.當(dāng)=2時，有，是曲線在點的“二次切線”，也稱曲線在點的二次密切.可以看出，二次切線與曲線的接近程度比切線要好.當(dāng)次數(shù)越來越高時，接近程度越來越密切，近似程度也越來越高.2.3泰勒公式余項的類型泰勒公式的余項分為兩類，一類佩

5、亞諾型余項，一類是拉格朗日型余項，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.佩亞諾型余項是定性的余項，僅表示余項是比（當(dāng)時）高階的無窮小.如，表示當(dāng)時，用近似，誤差（余項）是比高階的無窮小.拉格朗日型余項是定量的余項（也可以寫成）.定量的余項一般用于函數(shù)值的計算與函數(shù)形態(tài)的研究.三泰勒公式的應(yīng)用3.1 .利用泰勒公式求極限簡化極限運算,就可用某項的泰勒展開式來代替該項,使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理式的極限.例1. 求極限. 分析 ： 此為型極限,若用羅比達法求解，則很麻煩,這時可將和,分別用泰勒展開式代替,則可簡化此比式.解：由,=于是，3. 2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項

6、式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷.例1.當(dāng)時,證明.證明取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時,.例2. 設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，試求存在，使.證： 由于在的最小值不等于在區(qū)間端點的值，故在內(nèi)存在，使，由費馬定理知，.又，（介于與之間）由于，不令和，有，所以，當(dāng)時，而當(dāng)時，可見與中必有一個大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性當(dāng)級數(shù)的通項表達式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時,就可以利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準則.在判定廣義積斂散性時, 通常選取廣義積分進行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值

7、，從而簡單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）.例 1. 研究廣義積分的斂散性. 解 ： ， 因此，即是的階，而收斂，故收斂，從而.例2討論級數(shù)的斂散性.注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會使判斂易進行.解：因為,所以,所以，故該級數(shù)是正項級數(shù).又因為,所以.因為收斂,所以由正項級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式判斷函數(shù)的凸凹性及拐點例 1. 設(shè)內(nèi)是凹向的.：， 可得所以 可得 由任意性可得在足夠小的區(qū)間上是凹向的再有c，d的任意性得在內(nèi)任意小的區(qū)間內(nèi)都是凹向的，所以在區(qū)間是凹向的.利用泰勒公式對極值的判定可相似的推出函數(shù)拐點的判定即: 若在某個

8、內(nèi)階可導(dǎo)，且滿足，且若（1）為奇數(shù)，則為拐點；（2）為偶數(shù)，則不是拐點.證明：寫出在處的泰勒公式,因為 ,則，同樣余項是的高階無窮小.所以的符號在的心領(lǐng)域內(nèi)與相同.當(dāng)為奇數(shù)時，顯然在的兩邊，符號相異，即的符號相異，所以為拐點.當(dāng)為偶數(shù)時，則的符號相同，所以不是拐點.例2？解： ， ， ，因為， 所以不是的拐點.3.5 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,通過泰勒展開式可以求得. 例1 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解 ：由于,所以的拉格朗日余項為，顯見 ,它對任何實數(shù)x，都有 ,因而，所以有.3.6 1）.利用泰勒公式進行近似計算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一

9、些數(shù)值的近似計算,用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為,其誤差是余項.例 1. 計算lg11的值,準確到 . 解: ,因為 ,要使取，故 .例2 .估計下列近似公式的絕對誤差：解： 當(dāng)時，. 2）.泰勒公式在外推上的應(yīng)用 外推是一種通過將精度較低的近似值進行適當(dāng)組合，產(chǎn)生精度較高的近似值的方法，它的基礎(chǔ)是泰勒公式，其原理可以簡述如下.若對于某個值，按參數(shù)算出的近似值可以展開成 （*）（這里先不管的具體形式），那么按參數(shù)算出的近似值就是 (*)和與準確值的誤差都是階的. 現(xiàn)在，將后(*)式乘2減去（*）式，便得到也就是說，對兩個階的近似值化了少量幾步四則運算進行組合之后，卻得到了具有階的近似值.

10、這樣的過程就稱為外推.若進行了一次外推之后精度仍未達到要求，則可以從出發(fā)再次外推，得到階的近似值.這樣的過程可以進行步，直到，滿足預(yù)先給定的精度.外推方法能以較小的待解獲得高精度的結(jié)果，因此是一種非常重要的近似計算技術(shù).例 1. 單位圓的內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，這里,按照泰勒公式因此，其內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，用它們作為的近似值，誤差都是量級的.現(xiàn)在將這兩個近似的程度不夠理想的值按以下方式組合：,那么通過簡單的計算就可以知道項被消掉了！也就是說，用近似表示，其精度可以大大提高.3.7. 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值如果泰勒公式已知,其通項中的加項的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導(dǎo)

11、數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例 1. 設(shè) 求由得泰勒公式：可得 ， ， 所以 3.8. 利用泰勒公式求行列式的值若一個行列式可看做的函數(shù)（一般是的n次多項式）,記作,按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例 1. 求n階行列式 D= （1）解： 記,按泰勒公式在處展開： （2）易知 = （3）由（3）得,時都成立.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有.于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為,，把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有+，若, 有；若, 有.3.9 利用泰勒公式證明與某階導(dǎo)數(shù)的中間值例1.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)函數(shù)，證明在區(qū)間內(nèi)至少存在一點使.證明：分別把在展開成泰勒公式，由題設(shè)得：,之間，由連續(xù)函

12、數(shù)的中值定理知，對任意的.3.10 . 利用泰勒公式解經(jīng)濟學(xué)問題 我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟學(xué)中是不可缺的，在這里將以定積分為平臺，利用泰勒公式去解決經(jīng)濟學(xué)問題，例1. 完全競爭行業(yè)中某廠商的成本函數(shù)為STC=，假設(shè)產(chǎn)品的價格為66元， 求：（1）由于競爭市場供求發(fā)生變化，由此決定新的價格為30元，在心的價格下，廠商是否會發(fā)生虧損，如果會，最小的虧損額是多少？解： （1）由于市場供求發(fā)生變化，新的價格為27元，廠商是否發(fā)生虧損仍需要根據(jù)P=MC所決定的均衡產(chǎn)量計算利潤為正還是為負，不論利潤最大還是虧損最小，均衡條件都是P=MC， 成本函數(shù)為STC=，令=由泰勒公

13、式我們知道，所以所以 STC=又因為 P=MC，即27=， 所以.因為 , （1） , （2）所以 ,故 是利潤最大或者最小的產(chǎn)量.利潤 ，.可見， 當(dāng) 價格為27元時，當(dāng)廠商生產(chǎn)量為1時，其最大盈利額為19；當(dāng)廠商生產(chǎn)量為4時，其發(fā)生虧損，最小虧損額為17.3.11. 泰勒公式關(guān)于界的估計我們在數(shù)學(xué)分析課文中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上節(jié)，而有的有下界，再結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計，這里通過例題來分析界的估計.例1 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時，.試證：當(dāng)時，.證： ,所以, .3.12泰勒公式展開的唯一性問題 泰勒公式的展開式有多種，常見的如帶

14、有佩亞諾型余項的泰勒展開式，帶有拉格朗日型余項的泰勒展開式，而最為常用的是麥克勞林展開式，它是當(dāng)時的特殊的泰勒公式展開式，現(xiàn)在我們來探討泰勒公式展開式的唯一性.例1.設(shè)是連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，在處有展開式： , （1）且余項滿足 , （2）則必有 , （3）其中 . 證： 根據(jù)泰勒公式，在處可以展開成 , （4）讓（1）式與（4）式聯(lián)立可得,此式令取極限，得.兩邊消去首項，再同時除以，然后令取極限，又得.繼續(xù)這樣下去則順次可得式（3）.注1 該例具有重要理論意義，它表明：不論用何種途徑、何種方式得到形如（1）式的展開式，只要余項滿足條件（2）式，則此展開式的系數(shù)必是唯一確定的，它們是（3）式給出的泰勒

15、系數(shù).注2 該結(jié)論的情況自然也成立.由此可知，對于任何多項式而言，必有且.四結(jié)束語泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，它的理論方法已成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面的不可或缺的工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，它是微積分中值定理的推廣，也是應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 它的用途很廣泛.本論文詳細介紹泰勒公式及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的幾個應(yīng)用作論述.文章除了對泰勒公式在常用的近似計算、求極限、不等式的證明、外推和求曲線的漸近線方程上作解求證明外，特別地，泰勒公式還對函數(shù)凹凸性及其拐點判斷、廣義積分斂散性中的應(yīng)用、界的估計和展開的唯一性問題等這幾個領(lǐng)域的應(yīng)用做詳細的介紹,使我們對泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認識,最后說一點：只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點,并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.參考文獻1陳紀修 於崇華 金路：數(shù)學(xué)分析M（上、下）北京：高等教育出版社,2004.5.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學(xué)證題方法M陜西：陜西科學(xué)出版社,1985.3王向東：數(shù)學(xué)分析的概念和方法M上海：上海科學(xué)技