1、第六章 微分方程一、一階微分方程1、一階線性方程 2、伯努利方程 令二、可降階的高階方程1次積分2 不顯含令，化為一階方程 。3 不顯含自變量令，化為一階方程。三、線性微分方程，時稱為齊次的，稱為非齊次的。 1二階線性齊次線性方程 （1）如果函數與是方程(1)的兩個解，則 也是(1)的解,其中是任意常數。如果與是方程(1)的兩個線性無關的特解,則 (是任意常數)是(1)的通解.兩個函數與線性無關的充要條件為（常數）2二階線性非齊次線性方程設是二階線性非齊次線性方程 的一個特解,是它對應的齊次方程(1)的通解,則 是該方程的通解.設與分別是二階線性非齊次方程 與 的兩個特解。則是的特解。（疊加原

2、理）3.二階線性常系數齊次方程 特征方程，特征根 特征方程的根的通解兩個不相等的實根兩個相等的實根 一對共軛復根4二階線性常系數非齊次方程 i)如果 ,則二階線性常系數非齊次方程具有形如 的特解。其中，是次多項式, 也是系數待定的次多項式；依照為特征根的重數而取值.i) 如果,則二階線性常系數非齊次方程的特解可設為 其中是系數待定的次多項式,依照特征根的重數取值.四、歐拉方程二階歐拉方程 ，其中為常數.作變換，則有 , 。原方程變?yōu)槎A線性常系數方程 。第七章 空間解析幾何一、1、，其中是與的夾角；2、向量積滿足下列運算律：1）反交換律 ；2）結合律 ，其中是數量 ；3） 左分配律 ，右分配律

3、 3、4、若，則稱為單位化向量，并有此時其中 是的方向余弦三、1、旋轉面方程yoz平面上的曲線C： 繞z軸的旋轉面方程為；繞y軸的旋轉面方程為類似可得其它坐標面上的曲線繞坐標軸的旋轉面方程2、柱面方程以xoy平面上的曲線C：為準線，母線平行于z軸的柱面方程為同理方程和分別表示母線平行于x軸和y軸的柱面3、曲線在坐標面上的投影在空間曲線的方程 中，經過同解變形分別消去變量，則可得到在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲線，分別為：； ； 四、1、平面方程 1）點法式：過點，法向量的平面方程為，2）一般式： ，其中不全為零3）截距式：4）兩個平面之間的關系設兩個平面1與2的法向量依次為和1與2的夾

4、角規(guī)定為它們法向量的夾角（取銳角）此時2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAAnnnn+×+=×·=rrrrq2、直線方程 1）一般式：將直線表示為兩個平面的交線 2）若直線經過點且與方向向量平行，則的方程為i) 對稱式：ii) 參數式：， 3）兩條直線之間的關系設兩條直線L1和L2方向向量分別為 ，L1 與 L2的夾角規(guī)定為它們方向向量的夾角（取銳角）于是 3、直線與平面的關系設直線L 的方向向量為，平面 的法向量為L與的夾角規(guī)定為L與它在上投影直線的夾角（銳角）這時 L 與 垂直的充要條件是 L 與 平行的充要條件是 xOy

5、圖3z五、1、橢圓拋物面： ， 其中（圖3） 例如，等y zxO圖42、橢圓錐面： ，其中 （圖4）例如，圓錐面圖5zyOabx3、單葉雙曲面，其中（圖5）例如 x zOyc-c（圖6）4、雙葉雙曲面，其中（圖6）例如 第八章 多元函數的微分學一、1偏導數對某一個自變量求偏導數，就是將其余的自變量看作常數，對這個變量求一元函數的導數2高階偏導數二元函數的二階偏導數 ，或 ，；，或 ，； 及稱為二階混合偏導數3、全微分二元函數在點處的全微分三元函數的全微分，并有4、可微、可導、連續(xù)的關系在多元函數中，可微、可導、連續(xù)的關系與一元函數的情況有所不同在多元函數中1）可微必可導，可導不一定可微；2）可

6、微必連續(xù)，連續(xù)不一定可微；3）可導不一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導5、復合函數的偏導數假設下列函數都可微，則有復合函數的求導公式（鏈式法則）：a.若，則復合函數的導數為=+；b.若，則復合函數的偏導數=+ ， =+；6、隱函數的偏導數1）方程所確定的隱函數的導數為 2）方程所確定隱函數的偏導數為 ， 二、1、取得極值的必要條件如果函數在點的兩個偏導數都存在，且在該點函數取得極值，則 ， 可導的極值點必是駐點，但極值點不一定是駐點2取得極值的充分條件設在駐點的某個鄰域內有二階的連續(xù)偏導數令, , ，于是有 1）如果，則點是函數的極值點當時，是極大值 ， 當時，是極小值2）如果，則點不是函數的極值點3）

7、如果，則函數在點有無極值不能確定，需用其它方法判別3條件極值1）求二元函數在約束條件=0下的極值，可以按照如下步驟進行：i) 構造拉格朗日函數 ；ii) 解方程組 若 是方程組的解，則是該條件極值問題的可疑極值點三、多元微分學的幾何應用1空間曲線的切線與法平面給定空間曲線 ，其中的三個函數有連續(xù)的導數且導數不同時為零（光滑曲線）上的點 對應的參數為則曲線在點處的切向量為，此時的切線方程為 曲線在點的法平面方程為 2曲面的切平面與法線給定曲面的方程 ，函數有連續(xù)的偏導數且三個偏導數不同時為零（光滑曲面）點是上的一個點則曲面在點處的法向量為，此時的切平面方程為，曲面在點的法線方程為 四方向導數與梯

8、度1若函數 在點可微，方向的方向余弦為，則函數在點沿方向的方向導數為2設函數在空間區(qū)域內可微，則函數在點處的梯度定義為一個向量grad梯度方向是函數變化率最大的方向在梯度方向上函數的方向導數取得最大值第九章 重積分一、 二重積分的計算1直角坐標下二重積分的計算1）若積分區(qū)域可以表示為：，則2）若積分區(qū)域可以表示為 ：，則2極坐標下二重積分的計算 直角坐標與極坐標的關系為 ，此時面積元素為或若在極坐標下積分區(qū)域可以表示為 ，則二、三重積分的計算，表示的體積1直角坐標下三重積分的計算1）“先一后二”法若積分區(qū)域可表示為:，則其中是在xoy坐標面上的投影2) “先二后一”法設積分區(qū)域在z軸上的投影區(qū)

9、間為用平面（常數）去截，截面為則其中 是將投影到xoy坐標面上所做的二重積分2柱面坐標下三重積分的計算直角坐標與柱面坐標的關系為 ，則體積元素為或若積分區(qū)域在柱面坐標下可表示為，則3球面坐標下計算三重積分直角坐標與球面坐標的關系為 ， 體積元素為 或 如果積分區(qū)域在球面坐標下可表示為 ：，則4.簡算：對稱奇偶性， 重心公式。三、重積分的應用1曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 2質量密度為，則平面板的質量 密度為 ，則物體的質量為 3曲面面積設曲面的方程為 ，其中是有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的偏導數則曲面的面積為面積微元第十一章 無窮級數一、1、a.收斂±收斂收斂，收斂±發(fā)散發(fā)散，發(fā)

10、散±發(fā)散斂散不定。b.收斂級數任意加括號所得的級數仍收斂，且其和不變.2、兩個重要級數及其斂散性1）幾何級數.當時該級數收斂，其和為；當時該級數發(fā)散.2）-級數.當時，該級數收斂；當時，該級數發(fā)散.當時稱級數為調和級數，它是一個發(fā)散級數.二、 正項級數的審斂法 （ ，）1）（比較審斂法）設 和都是正項級數，且鉆圈子原理若強級數收斂，則弱級數收斂；若弱級數發(fā)散， 則強級數發(fā)散.破記錄原理2) (比較審斂法的極限形式) 設與都是正項級數. 如果 則級數和級數同時收斂或同時發(fā)散.（若或如何？）3) （比值審斂法）若正項級數滿足 ，則當時，級數收斂；時，級數發(fā)散；時，級數可能收斂也可能發(fā)散.

11、4）（根值審斂法）若正項級數滿足 ,則當時，級數收斂；時，級數發(fā)散;時，級數可能收斂也可能發(fā)散.5. 交錯級數的萊布尼茲審斂法設,則稱級數為交錯級數.定理（萊布尼茲審斂法）設為交錯級數.如果滿足： 1）對一切自然數有； 2），則收斂，且其和.6級數的絕對收斂和條件收斂如果級數收斂，則稱級數絕對收斂.如果收斂，而發(fā)散，稱級數條件收斂.對任意項級數，如果它絕對收斂，則它必收斂.三、冪級數(，)1阿貝爾定理2冪級數收斂半徑 ； 收斂區(qū)間。收斂域：收斂區(qū)間加入收斂的端點收斂半徑的求法1）對于冪級數，如果，則；2）對于冪級數，如果，則2. 冪級數的性質性質1. （和函數連續(xù)性）冪級數的和函數在收斂域內是連續(xù)的。性質2.（逐項積分）設冪級數和函數在收斂區(qū)間可逐項積分逐項積分后的冪級數與原冪級數有相同的收斂半徑.性質3.（逐項求導）冪級數的和函數在收斂區(qū)間內有逐項求導公式：,逐項求導后的冪級數與原冪級數有相同的收斂半徑.3冪級數的運算1）冪級數的加減法若收斂域，則 的收斂域為。2）冪級數的乘法設冪級數與的收斂半徑分別為，.則這兩個冪級數乘積的收斂半徑，且在上恒有4. 函數的冪級數展開式設在點附近有任意階導數，則稱冪級數為在點的泰勒級數，稱為在點的泰勒系數.特