1、全國高中數學聯賽模擬試題（九）（命題人：葛軍）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）1、 已知n、s是整數若不論n是什么整數，方程x2-8nx+7s=0沒有整數解，則所有這樣的數s的集合是（A）奇數集（B）所有形如6k+1的數集（C）偶數集（D）所有形如4k+3的數集2、 某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨，要求第一輛車必須裝9箱貨物，每相鄰的4輛車裝貨總數為34箱為滿足上述要求，至少應該有貨物的箱數是（A）16966（B）16975（C）16984（D）170093、 非常數數列ai滿足，且，i=0,1,2,n對于給定的自然數n，a1=an+1=1，則等于（A）2（B）-1（C）1（D）

2、04、 已知a、b是方程ax2+bx+c=0（a、b、c為實數）的兩根，且a是虛數，是實數，則的值是（A）1（B）2（C）0（D）i5、 已知a+b+c=abc，則A的值是（A）3（B）-3（C）4（D）-46、 對xi1,2,n，i=1,2,n，有，x1x2xn=n！，使x1,x2,xn，一定是1,2,n的一個排列的最大數n是（A）4（B）6（C）8（D）9二、填空題：（每小題9分，共54分）1、 設點P是凸多邊形A1A2An內一點，點P到直線A1A2的距離為h1，到直線A2A3的距離為h2，到直線An-1An的距離為hn-1，到直線AnA1的距離為hn若存在點P使（ai=AiAi+1，i=

3、1,2,n-1，an=AnA1）取得最小值，則此凸多邊形一定符合條件 2、 已知a為自然數，存在一個以a為首項系數的二次整數系數的多項式，它有兩個小于1的不同正根那么，a的最小值是 3、 已知，a、qR，a0那么，對于任意的a、q，F(a,q)的最大值和最小值分別是 4、 已知t0，關于x的方程為，則這個方程有相異實根的個數情況是 5、 已知集合1,2,3,3n-1,3n，可以分為n個互不相交的三元組x,y,z，其中x+y=3z，則滿足上述要求的兩個最小的正整數n是 6、 任給一個自然數k，一定存在整數n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，則這樣的有序實數對(n,k)是（對于給定的k） 三、

4、（20分）過正方體的某條對角線的截面面積為S，試求之值四、（20分）數列an定義如下：a1=3，an=（n2）試求an（n2）的末位數五、（20分）已知a、b、cR+，且a+b+c=1證明：a2+b2+c2+4abc1第二試一、（50分）已知ABC中，內心為I，外接圓為O，點B關于O的對徑點為K，在AB的延長線上取點N，CB的延長線上取M，使得MC=NA=s，s為ABC的半周長證明：IKMN二、（50分）M是平面上所有點(x,y)的集合，其中x、y均是整數，且1x12，1y13證明：不少于49個點的M的每一個子集，必包含一個矩形的4個頂點，且此矩形的邊平行于坐標軸三、（50分）實系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c滿足b0，ab=9c試判別此多項式是否有三個不同的實根，說明理由參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CBDCCC二、填空題：1、該凸多邊形存在