1、江蘇省2014屆一輪復習數學試題選編6：函數的應用問題一、解答題 某單位設計的兩種密封玻璃窗如圖所示:圖1是單層玻璃,厚度為8 mm;圖2是雙層中空玻璃,厚度均為4 mm,中間留有厚度為的空氣隔層.根據熱傳導知識,對于厚度為的均勻介質,兩側的溫度差為,單位時間內,在單位面積上通過的熱量,其中為熱傳導系數.假定單位時間內,在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等.(注:玻璃的熱傳導系數為,空氣的熱傳導系數為.)(1)設室內,室外溫度均分別為,內層玻璃外側溫度為,外層玻璃內側溫度為,且.試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量(結果用,及表示);(2)為使雙層中空玻

2、璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%,應如何設計的大小?圖1圖2墻墻8T1T2室內室外墻墻x4T1T2室內室外4（第17題） 【答案】解:(1)設單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量分別為, 則, (2)由(1)知, 當4%時,解得(mm). 答:當mm時,雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4% 如圖所示,有兩條道路與,現要鋪設三條下水管道,(其中,分別在,上),若下水管道的總長度為,設,.(1)求關于的函數表達式,并指出的取值范圍;(2)已知點處有一個污水總管的接口,點到的距離為,到點的距離為,問下水管道能否經過污水總管的接口點?若能,求出的值,若不能

3、,請說明理由.【答案】 在一個矩形體育館的一角MAN內(如圖所示),用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區域,已知B是墻角線AM上的一點,C是墻角線AN上的一點.(1)若BC=a=10,求儲存區域三角形ABC面積的最大值;(2)若AB=AC=10,在折線MBCN內選一點D,使DB+DC=a=20,求儲存區域四邊形DBAC面積的最大值.ABCMND(第17題圖)【答案】(1)因為三角形的面積為倍AB·AC,所以當AB=AC時其值才最大,可求得為25 (2)求四邊形DBAC面積可分為ABC跟BCD兩個三角形來計算,而ABC為定值可先不考慮,進而只考慮三角形BCD的面積變化,以BC為底邊,故

4、當D點BC 的距離最長時面積取得最大值.因為DB+DC=a=20總成立,所以點D的軌跡是一個橢圓,B.C是其兩交點,結合橢圓的知識可以知道只有當D點在BC的中垂線上時點D到BC的距離才能取得最大值,再結合題意四邊形DBAC剛好是一個邊長為10的正方形,其面積為100 某人年底花萬元買了一套住房,其中首付萬元,萬元采用商業貸款.貸款的月利率為,按復利計算,每月等額還貸一次,年還清,并從貸款后的次月開始還貸.這個人每月應還貸多少元?為了抑制高房價,國家出臺“國五條”,要求賣房時按照差額的20%繳稅.如果這個人現在將住房萬元賣出,并且差額稅由賣房人承擔,問:賣房人將獲利約多少元? (參考數據:)【答

5、案】設每月應還貸元,共付款次,則有 , 所以(元) 答:每月應還貸元 賣房人共付給銀行元, 利息(元), 繳納差額稅(元), (元). 答:賣房人將獲利約元 要制作一個如圖的框架(單位:米),要求所圍成的總面積為19.5(米2),其中ABCD是一個矩形,EFCD是一個等腰梯形,梯形高h=AB, tan FED=,設AB=x米,BC=y米.()求y關于x的表達式;()如何設計x,y的長度,才能使所用材料最少?【答案】 已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,殘缺部分位于過點的豎直線的右側.現要在這塊材料上截出一個直角三角形,有兩種設計方案:如圖甲,以為斜邊;如圖乙,直角頂點在線段上,且

6、另一個頂點在上.要使截出的直角三角形的面積最大,應該選擇哪一種方案?請說明理由,并求出截得直角三角形面積的最大值.ABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E【答案】如圖甲,設, 則, 所以 , 當且僅當時取等號, 此時點到的距離為,可以保證點在半圓形材料內部,因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為 ABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E 如圖乙,設,則, 所以, 設,則, 當時,所以時,即點與點重合時, 的面積最大值為 因為, 所以選擇圖乙的方案,截得的直角三角形面積最大,最大值為 如圖,在海岸線一側C處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設立了A、B兩

7、個報名點,滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米.公司擬按以下思路運作:先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處(點D異于A、B兩點),然后乘同一艘游輪前往C島.據統計,每批游客A處需發車2輛,B處需發車4輛,每輛汽車每千米耗費2元,游輪每千米耗費12元.設,每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元.寫出S關于的函數表達式,并指出的取值范圍;問中轉點D距離A處多遠時,S最小?【答案】解: (1)由題在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 當時,;當時,當時取得最小值 此時, 中轉站距處千米時,運輸成本最小 如圖,一個半圓和長方形組成的鐵皮,長方形的邊AD為半圓的直徑,O為

8、半圓的圓心,現要將此鐵皮剪出一個等腰三角形,其底邊.(1)設備,求三角形鐵皮的面積;(2)求剪下的鐵皮三角形面積的最大值.【答案】(1)設MN交AD交于Q點 MQD=30°,MQ=,OQ=(算出一個得2分) SPMN=MN·AQ=××(1+)= (2)設MOQ=,0,MQ=sin,OQ=cos SPMN=MN·AQ=(1+sin)(1+cos) =(1+sincos+sin+cos) 令sin+cos=t1,SPMN=(t+1+) =,當t=,SPMN的最大值為 某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板,其周長為4米,這種薄板須沿其對角線折

9、疊后使用.如圖所示,為長方形薄板,沿AC折疊后,交DC于點P.當ADP的面積最大時最節能,凹多邊形的面積最大時制冷效果最好.(1)設AB=x米,用x表示圖中DP的長度,并寫出x的取值范圍;(2)若要求最節能,應怎樣設計薄板的長和寬?(3)若要求制冷效果最好,應怎樣設計薄板的長和寬?ABCD（第17題）P【答案】解:(1)由題意,.因,故 設,則. 因,故. 由 ,得 , (2)記的面積為,則 , 當且僅當(1,2)時,S1取得最大值 故當薄板長為米,寬為米時,節能效果最好 (3)記的面積為,則 , 于是, 關于的函數在上遞增,在上遞減. 所以當時,取得最大值 故當薄板長為米,寬為米時,制冷效果

10、最好 本題主要考查應用所學數學知識分析問題與解決問題的能力.試題以常見的圖形為載體,再現對基本不等式、導數等的考查.講評時,應注意強調解決應用問題的一般步驟與思維規律,教學中應幫助學生克服解決應用題時的畏懼心理,在學生獨立解決應用問題的過程中不斷增強他們的自信心. 在使用基本不等式應注意驗證取等號的條件,使用導數時應謹慎決斷最值的取值情況. 如圖,建立平面直角坐標系,軸在地平面上,軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上,其中與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程;(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行

11、高度為3.2千米,試問它的橫坐標不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.【答案】解:(1)在中,令,得.由實際意義和題設條件知.,當且僅當時取等號.炮的最大射程是10千米.(2),炮彈可以擊中目標等價于存在,使成立,即關于的方程有正根.由得.此時,(不考慮另一根).當不超過6千米時,炮彈可以擊中目標.如圖,某廣場中間有一塊扇形綠地OAB,其中O為扇形所在圓的圓心,廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在上選一點C,過C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE,問C應選在何處,才能使得修建的道路CD與CE的總長最大,并說明理由.【答案】 某部門要設計一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為,半徑

12、為(米)的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成,其中圓弧形燈托,所在圓的圓心都是、半徑都是(米)、圓弧的圓心角都是(弧度);燈桿垂直于地面,桿頂到地面的距離為(米),且;燈腳,是正四棱錐的四條側棱,正方形的外接圓半徑為(米),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為(弧度).已知燈桿、燈腳的造價都是每米(元),燈托造價是每米(元),其中,都為常數.設該燈架的總造價為(元) .(1)求關于的函數關系式;(2)當取何值時,取得最小值?【答案】 隨著機構改革開作的深入進行,各單位要減員增效,有一家公司現有職員人(140<<420,且為偶數,每人每年可創利萬元. 據評估,在經營條件不變的

13、前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創利0.01萬元,但公司需付下崗職員每人每年0.4萬元的生活費,并且該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員的,為獲得最大的經濟效益,該公司應裁員多少人?【答案】解答:設裁員x人,可獲得的經濟效益為y萬元,則 依題意 (1)當取到最大值; (2)當取到最大值; 答:當70<a<140,公司應裁員為經濟效益取到最大值 當公司應裁員為經濟效益取到最大值 如圖,兩座建筑物的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9和15,從建筑物的頂部看建筑物的視角.(1)求的長度;(2)在線段上取一點點與點不重合),從點看這兩座建筑物的視角分別為

14、問點在何處時,最小?第17題圖【答案】作,垂足為,則,設, 則 ,化簡得,解之得,或(舍) 答:的長度為 設,則, 設,令,因為,得,當時,是減函數;當 時,是增函數, 所以,當時,取得最小值,即取得最小值, 因為恒成立,所以,所以, 因為在上是增函數,所以當時,取得最小值. 答:當為時,取得最小值 第八屆中國花博會將于2013年9月在常州舉辦,展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD,.a,b為常數且滿足.組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區(點E,F分別在線段AB,AD上),且該直角三角形AEF的周長為(),如圖.設,的面積為.(1)求關于的函數關系式;(

15、2)試確定點E的位置,使得直角三角形地塊的面積最大,并求出的最大值.FEbaBDCA【答案】解:(1)設,則,整理,得 , (2) 當時,在遞增,故當時,; 當時,在上,遞增,在上,遞減,故當時,. 在路邊安裝路燈,燈柱與地面垂直,燈桿與燈柱所在平面與道路垂直,且,路燈采用錐形燈罩,射出的光線如圖中陰影部分所示,已知,路寬米,設燈柱高(米),()(1)求燈柱的高(用表示);(2)若燈桿與燈柱所用材料相同,記此用料長度和為,求關于的函數表達式,并求出的最小值. 【答案】 將一張長8cm,寬6cm的長方形的紙片沿著一條直線折疊,折痕(線段)將紙片分成兩部分,面積分別為S1cm2,S2cm2,其中S

16、1S2.記折痕長為lcm.(1)若l=4,求S1的最大值;(2)若S1S2=12,求l的取值范圍.【答案】解 如圖所示,不妨設紙片為長方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中點A在面積為S1的部分內.折痕有下列三種情形:折痕的端點M,N分別在邊AB,AD上;折痕的端點M,N分別在邊AB,CD上;折痕的端點M,N分別在邊AD,BC上.ABCD（情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN(1)在情形中MN6,故當l=4時,折痕必定是情形.設AM=xcm,AN=ycm,則x2+y2=16 因為x2+y22xy,當且僅當x=y時取等號,所以S1=xy4,當且僅當x=y=2時取等號.即S1

17、的最大值為4 (2)由題意知,長方形的面積為S=6×8=48. 因為S1S2=12,S1S2,所以S1=16,S2=32. 當折痕是情形時,設AM=xcm,AN=ycm,則xy=16,即y=.由得x8.所以l=,x8 設f(x)=x2+,x>0,則f (x)=2x-=,x>0.故x(,4)4(4,8)8f (x)-0+f(x)646480所以f(x)的取值范圍為64,80,從而l的范圍是8,4; 當折痕是情形時,設AM=xcm,DN=ycm,則(x+y)×6=16,即y=-x.由得0x.所以l=,0x.所以l的范圍為6,; 當折痕是情形時,設BN=xcm,AM=

18、ycm,則(x+y)×8=16,即y=4-x.由得0x4.所以l=,0x4.所以l的取值范圍為8,4.綜上,l的取值范圍為6,4 如圖所示,已知邊長為米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中米,米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形內截取一個矩形塊,使點在邊上.()設米,米,將表示成的函數,求該函數的解析式及定義域;()求矩形面積的最大值.【答案】 近年來,某企業每年消耗電費約24萬元, 為了節能減排, 決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設備接入本企業電網, 安裝這種供電設備的工本費(單位: 萬元)與太陽能電池板的面積(單位: 平方米)成正比, 比例系數約為0.5. 為了保證正常用電, 安

19、裝后采用太陽能和電能互補供電的模式. 假設在此模式下, 安裝后該企業每年消耗的電費(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數關系是為常數). 記為該村安裝這種太陽能供電設備的費用與該村15年共將消耗的電費之和. (1)試解釋的實際意義, 并建立關于的函數關系式;(2)當為多少平方米時, 取得最小值?最小值是多少萬元?【答案】解: (1) 的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用, 即未安裝電陽能供電設備時全村每年消耗的電費 由,得 所以 (2)因為 當且僅當,即時取等號 所以當為55平方米時, 取得最小值為59.75萬元 (說明:第(2)題用導數可最值

20、的,類似給分) 為穩定房價,某地政府決定建造一批保障房供給社會.計劃用1 600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區,每幢樓的樓層數相同,且每層建筑面積均為1 000平方米,每平方米的建筑費用與樓層有關,第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800)元(其中k為常數) .經測算,若每幢樓為5層,則該小區每平方米的平均綜合費用為1 270元. (每平方米平均綜合費用=).(1)求k的值;(2)問要使該小區樓房每平方米的平均綜合費用最低,應將這10幢樓房建成多少層?此時每平方米的平均綜合費用為多少元?【答案】【解】(1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面

21、積為10×1 000×5平方米,所有建筑費用為 (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)×1 000×10,所以, 1270=,解之得:k=50 (2)設小區每幢為n(nN*)層時,每平方米平均綜合費用為f (n),由題設可知 f (n) = =+25n+8252+825=1225(元) 當且僅當=25n,即n=8時等號成立 答:該小區每幢建8層時,每平方米平均綜合費用最低,此時每平方米平均綜合費用為1 225元 某單位決定對本單位職工實行年醫療費用報銷制度,擬制定年醫療總費用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報銷方案,該方案要求同時具備下列三