1、11.1.2 構成空間幾何體的基本元素課標要求素養要求1 .以長方體為載體，認識構成幾何體的 基本元素，認識和理解空間點、直線、 平間的位置關系.2 .用數學符號表示點、直線、平間的位 置關系.以長方體為載體，認識和理解點、直線、 平面的位置關系，培養學生的數學抽象 素養，提升直觀想象素養.課前預習知訴探究教材知識探究情境引入|與我們生活密切相關的住所和使用的建筑物從形狀上來看,它們都是由幾何體構成的.問題構成空間幾何體的基本元素是什么？提示 可以將點、線、面看成構成空間幾何體的基本元素上新知梳理1 .空間中的點、線、面可以將去 組 看作構成空間幾何體的基本元素，點運動的軌跡可以是線，線 運動

2、的軌跡可以是也 面運動的軌跡可以是體_.2 .空間中點與直線、直線與直線的位置關系兩條直線有平行、相交、異面三種位置關系(1)兩點A和B確定的直線記作直線 AB,可用小寫字母表示直線，如直線1;點 A是1上的點，記作 A_L，點D不是1上的點，記作D21.(2)空間中的兩條直線，可以既不平行，也不相交，此時稱這兩條直線異面.如果a與b是空間中的兩條直線，則anbw?與aAb = ?有且只有一種情況成立， 而且當aC b=?時，a與b要么平行(a / b),要么異面.直線1與直線m相交于點P,記作 mA l = P.3 .空間中直線與平面、平面與平面的位置關系直線用小寫字母a, b, l, m等

3、表示，平面用希臘字母 % 就 丫等表示(1)直線與平面位置關系有兩種：直線在平面內與直線在平面外.點A, B所確定白直線l上的所有點都在平面a內，稱為直線l在平面a內(或 平面a過直線1),記作1?a.點B, B1確定的直線m上至少有一個點不在平面 a內，稱為直線m在平面a 外，記作：m?a.如果m與平面a有且只有一個公共點A,稱為直線m與平面a 相交，記作：mn a= A;如果直線m與平面a沒有公共點，即mn a= ?時，稱直 線與平面平行,記作 m/ a(2)平面與平面位置關系有兩種：相交和平行.平面a與平面B有公共點，則稱為平面a與平面B相交，記作aA辭？,且a與 B的公共點組成一條直線

4、1,可記作aA片1;平面a與平面B沒有公共點，則稱 平面a與平面B平行，記作.aO4 .直線與平面垂直(1)一般地，如果直線1與平面a相交于一點A,且對平面a內任意一條過點A的 直線m,都有 Um,則稱直線1與平面a垂直(或1是平面a的一條垂線，a是直 線1的一個垂面)，記作11%其中A為垂足.(2)給定空間一個平面a及一個點A,過點A可以作而且只可以作平面 a的一條 垂線.如果記垂足為B,則稱B為A在平面a內的射影(或投影)，線段AB為平面 a的垂線段，AB的長為點A到平面a的距離.(3)當直線與平面平行時,直線上任近二點到平面的距離稱為這條直線到這個平 面的距離；當平面與平面平行時，一個平

5、面上任意一點到另一個平面的距離稱為 這兩平行平面之間的距離.教材拓展補遺微判斷1 .空間兩條直線若沒有公共點，則一定平行.(乂 )提示還可能異面.2 .直線1在平面外，則直線1與平面平行.(X)提示 直線 l 在平面外，指直線l 上至少有一個點不在平面內，可能相交.3 .兩個平面a與B相交，有且只有一個交點.(X)提示當兩個平面a與B相交時，所有的交點組成一條直線. 微訓練 1 .下列不屬于空間幾何體的基本元素的是()A. 點B.線段C.曲面D.多邊形(不包括內部的點)答案 D2 .下列關于直線l與平面a的符號表示不正確的是()A.l? aB.l / aC.l C aD.l A a = A解析

6、 直線l在平面a內表示為l? a,點A在平面a內，應為AC a答案 C3.用符號表示下列點、線、面的關系.(1)點A不在平面a內.(2)直線l 與直線 m 相交于點A.直線l與平面a相交于點P.解(1)A?a (2)lAm=A(3)l A a= P 微思考 1 .空間中直線與平面有怎樣的位置關系？如何分類？提示直線與平面接交點個數可分為直線在平面內(l? a)與直線在平面外(l? a)兩種位置關系，其中直線在平面外，又包括直線與平面相交和直線與平面平行兩種位置關系.2.如果直線l，平面a, A是垂足，過A點在平面a內有多少直線與l垂直？提示 由直線l與平面a垂直的定義知，過A點在平面內的任一條

7、直線都與l垂直.課堂互動題型剖析題型一構成幾何體的基本元素【例1】 指出如圖所示幾何體中的點、線、面.解 點：頂點 A, B, C, D, M, N;線：棱 AB, BC, CD, DA,MA, MB, MC, MD, NA, NB, NC, ND;面：平面 MAD,平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.規律方法 組成幾何體的是面，面與面相交得到線，即棱；線與線相交得到點，即幾何體的頂點.【訓練11如圖所示的棱錐有()個面A.3B.4C.5D.6解析四棱錐有5個面.答案 C題型二 長方體中點、線、面的位置關系探究1點與線、線與線的位置關系【例21】

8、 在長方體ABCD AiBiCiDi中.(1)點A在哪幾條棱上？與直線DD1平行的直線有哪些？(3)與直線DD1異面的直線有哪些？解 (1)點A在棱AB, AD, AA1上.(2)與直線DD1平行的直線有直線 AA1, BB1, CC1.(3)與直線DD1異面的直線有直線 AB, A1B1, BC, B1C1.探究2直線與平面的位置關系【例2 2】 在正方體 ABCD A1B1C1D1中.(1)寫出所有與直線BC平行的平面，并用合適的符號表示;(2)寫出所有的面與直線AB 的位置關系，并用合適的符號表示.解 (1)BC/平面 ADDiAi, BC/平面 A1B1C1D1.(2)AB?平面 AB

9、CD , AB?平面 ABB1A1,AB/平面 A1B1C1D1, AB/平面 CDD1C1,AB，平面 ADD1A1, AB，平面 BCC1B1.探究 3 平面與平面的位置關系【例2 3】 在正方體ABCD A1B1C1D1中.(1)寫出與平面ABCD 平行的平面，并用合適的符號表示；(2)寫出平面BCC1B1 與平面CDD1C1 的位置關系，并用合適的符號表示.解 平面A1B1C1D1 /平面ABCD.(2)平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，即平面BCC1B1A平面CDD1C1=直線CC1.規律方法解決此類問題的關鍵是識圖，聯系點、線、面的位置關系的定義，根據圖形識別直線與直線、直線

10、與平面、平面與平面的位置關系.【訓練2】在正方體ABCD A1B1C1D1 中，寫出所有：(1)與直線AD 平行的直線，與AD 異面的直線.(2)與直線AD 平行的平面，并用合適的符號表示.(3)與直線AD 垂直的平面，并用合適的符號表示.(4)與平面BCC1B1 平行的平面，并用合適的符號表示.解(1)與 AD 平行的直線有BC， A1D1， B1C1， 與 AD 異面的直線有：A1B1， C1D1，BB1， CC1.直線AD /平面BCC1B1,直線AD /平面A1B1C1D1.直線AD，平面ABB1A1,直線AD，平面CDD1C1.平面ADD1A1 /平面BCC1B1.題型三 距離【例3

11、】 線段AB長為5 cm,在水平面上向右移動4 cm后記為CD,將CD沿鉛垂線方向向下移動3 cm后記為CD再將CD沿水平方向向左移動4 cm后記為AB,依次連接才成長方體 ABCD ABCD (1)該長方體的高為； (2)平面A B BA與平面CDD C間的距離為;點A到平面BCCB的距離為 解析 如圖，在長方體 ABCD ABCD中,AB=5 cm, BC =4 cm, CC=3 cm,，長方體白勺高為3 cm；平面ABBA與平面CDD C之間的距離為4 cm；點A到平面BCCB的距離為5 cm.答案 (1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm規律方法 求距離首先要找垂線，即找出平面的

12、垂線，結合長方體中點、線、面 關系即可求.【訓練3】 在長方體 ABCD AiBiCiDi中，AB=2, AD = 3, AAi = 5,則直線 BC到平面ADDiAi的距離為,平面ABBiAi與平面CDDiCi之間的距離 為.解析 直線BC到平面ADDiAi的距離為AB = 2,平面ABBiAi到平面CDDiCi之間的距離為AD = 3.答案 2 3至更提升核心素養、素養落地1 .通過對點、直線、平面的位置關系的認識與理解，培養學生的數學抽象素養, 提升直觀想象素養.2 .空間點、線、面的位置關系(i)空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面直線在平面內(2)直線和平面的位置關系:直線在平面

13、外直線與平面相交. 直線與平面平行(3)兩個平面的位置關系：平行、相交二、素養訓練1 .下列關于長方體的敘述中，不正確的是（）A.將一個水平放置的矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個長方體B.長方體中相對的面都互相平行C.長方體中的任意兩條棱要么相交，要么平行D.兩平行平面之間的棱互相平行且相等解析長方體中的任意兩條棱也可能異面.答案 C2 .在長方體 ABCD AiBiCiDi的六個面中，與平面 ABCD平行的面有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析 平面AiBiCiDi與平面ABCD平行.答案 A3 .在長方體 ABCD-AiBiCiDi的下列棱中，與棱 AiDi既不相交也不平行

14、的是 （） A.AiBi B.BC C.BiB D.AD解析 AiBi AAiDi = Ai, BC/ AiDi, AD /AiDi.答案 C4 .在長方體ABCD-AiBiCiDi中，直線BC與平面AiBiCiDi的位置關系用符號表 示為.解析 直線BC與平面AiBiCiDi平行.答案 BC/平面AiBiCiDi課后作業| 鞏固提高I| | ；基礎達標一、選擇題i.在空間中，下列說法正確的是（）A.一個點運動形成直線B.直線平行移動形成平面或曲面C.曲線的平移一定形成曲面D.矩形上各點沿同一方向移動形成長方體解析 點運動形成的是直線或曲線，故 A錯；C中若曲線在一個平面上，則在該平面上移動時

15、不能形成曲面；D中沒有說明移動的方向與距離，故不一定成長 方體.答案 B2 .在長方體ABCD AiBiCiDi中，棱CD所在直線與平面 ABCD的位置關系表示 正確的是（）A.直線CD 平面ABCD B.直線CD /平面 ABCDC.直線CD?平面ABCD D.直線CD n平面ABCD = D解析 棱CD在平面ABCD內,故CD?平面ABCD.答案 C3 .正方體ABCD-Ai BiCiDi中，棱長為2 cm,則點A與點Ci的距離為（）A.2 .2B.2 5C.2D.2 3解析 連接 AC,則 AC = 2V2XCCi，W ABCD, .AC2=AC2+CC2=i2,ACi =2y3.答案

16、D4 .在長方體 ABCD-AiBiCiDi中，與棱 AiBi異面的棱有（）條A.4B.3C.2D.i解析 與AiBi異面的是AD, DDi, BC, CCi, 4條棱.答案 A5 .如果點AC l, l / %則下列結論成立的是（）A.AC aB.l? aC.A?aD.lAaW?解析 因為l / a,則l與a沒有公共點，又A C l ,所以A? a.答案 C、填空題6 .在如圖所示的長方體 ABCD ABCD中，互相平行的平面共有對，與A A垂直的平面是.解析 平面 ABCD與平面 ABCD平行，平面 ABBA與平面CDDC平行，平面 ADDA與平面BCCB平行，共3對.與AA垂直的平面是平

17、面ABCD,平面 ABCD答案 3 平面ABCD,平面ABCD7 .長方體有個面, 條棱, 個頂點.解析 長方體有6個面，12條棱，8個頂點.答案 6 12 88 .如圖所示，在長方體 ABCD AiBiCiDi中，和棱AiBi不相交 的棱有條.解析 不相交包括與AiBi平行的棱，有3條，與AiBi異面的 棱，有4條.答案 7三、解答題9 .如圖所示，在長方體 ABCD ABCD中，如果把它的i2條棱 延伸為直線，6個面延伸為平面，那么在這i2條直線與6個平面 中，回答下列問題：(i)與直線BC平行的平面有哪幾個?(2)與直線BC垂直的平面有哪幾個?(3)與平面BC平行的平面有哪幾個？(4)與

18、平面BC垂直的直線有哪幾條？解 (i)與直線BC平行的平面有：平面 AD ；平面AC.(2)與直線BC垂直的平面有：平面 AB ；平面CD與平面BC平行的平面有：平面 AD (4)與平面BC垂直的直線有：AB, CD, AB； CDB10 .如圖所示，在長方體 ABCD-ABCD中，AB= 3 cm, BC =2 cm, BB= 1 cm,求(1)點A到平面BBCC的距離； 直線AD與平面ABCD的距離；(3)平面ABBA與平面CDDC的距離.解(1)點A到平面BBCC的距離為AB= 3 cm.直線AD與平面ABCD的距離為AA= 1 cm.(3)平面ABBA與平面CDDC的距離為 AD=2 cm.能力提升11若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面解析 結合長方體，易知a和c可以平行、相交或異面 答案 D12 .如圖所示的是長方體的表面展示圖，在這個長方體中:直線DM與平面ABQP的位置關系是怎樣的？(2)平面DCMN與平面ERFG的位置關系是怎樣的?MF卜 Ah G)(3)線段BC的長度是點C到平面APQB的距離嗎？ 解 根據展開圖，折疊得到幾何體