1、 目錄1實驗設備簡介11.1倒立擺介紹11.2 研究倒立擺穩定性的意義21.3直線一級倒立擺32 倒立擺建模32.1 直線一階倒立擺數學模型的推導32.1.1受力分析4微分方程建模5傳遞函數建模5狀態空間數學模型62.2 實際系統模型建立83系統定性、定量分析93.1系統開環階躍響應93.2系統穩定性與可控性分析113.2.1穩定性分析113.2.2能控性分析124 設計狀態觀測器124.1狀態空間分析124.2 極點配置的設計步驟134.3極點配置的Matlab計算144.4極點配置的simulink電路仿真204.4.1無狀態反饋仿真204.4.2有狀態反饋的仿真204.5極點配置的綜合分

2、析215小結22 1實驗設備簡介1.1倒立擺介紹圖1：一級倒立擺結構圖倒立擺是處于倒置不穩定狀態，人為控制使其處于動態平衡的一種擺。如雜技演員頂桿的物理機制可簡化為一級倒立擺系統，是一個復雜，多變量，存在嚴重非線性，非自制不穩定系統。常見的倒立擺一般由小車和擺桿兩部分組成，其中擺桿可能是一級，二級或多級，在復雜的倒立擺系統中，擺桿的長度和質量均可變化。圖2：一級倒立擺系統組成框圖系統是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環系統。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀

3、取實時數據，確定控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。1.2 研究倒立擺穩定性的意義倒立擺的研究具有重要的工程背景。機器人行走就類似倒立擺系統從日常生活中所見到的任何重心在上、也是支點在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺的穩定，都和倒立擺系統的穩定控制有很大相似性，故對其穩定控制在實際中有很多用場，如海上鉆井平臺的穩定控制、衛星發射架的穩定控制、火箭姿態控制、飛機安全著陸、化工過程控制等。1.3直線一級倒立擺根據自控原理實驗書上相關資料，直線一級倒立擺在建模時,一般忽略掉系統中的一

4、些次要因素.例如空氣阻力、伺服電機的靜摩擦力、系統連接處的松弛程度等，之后可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統。倒立擺系統是典型的機電一體化系統其機械部分遵循牛頓的力學定律其電氣部分遵守電磁學的基本定理.無論哪種類型的倒立擺系統,都具有3個特性,即:不確定性、耦合性、開環不穩定性. 直線型倒立擺系統,是由沿直線導軌運動的小車以及一端固定于小車上的勻質長桿組成的系統.小車可以通過傳動裝置由交流伺服電機驅動. 小車導軌一般有固定的行程,因而小車的運動范圍是受到限制的。2 倒立擺建模2.1 直線一階倒立擺數學模型的推導對于忽略各種摩擦參數和空氣阻力之后，直線一即倒立擺抽象為小車河均質桿

5、組成的系統本系統的參數定義如下：M小車質量（本實驗為0.5kg）m擺桿質量(本實驗為0.2kg)b小車摩擦系數 (本實驗為0.1N/m/sec)l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度(本實驗為0.3m)I 擺桿慣量(本實驗為0.006kg*m*m)F 加在小車上的力 x 小車位置（變量） 擺桿與垂直向上方向的夾角（輸出） 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）2.1.1受力分析下面我們對這個系統作一下受力分析。和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖3：倒立擺系統小車和擺桿的受力分析應用Newton方法來建立系統的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下

6、方程： (2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： (2-2) (2-3)把這個等式代入上式中，就得到系統的第一個運動方程： （2-4）為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (2-5) (2-6)力矩平衡方程如下： (2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去和，得到第二個運動方程： (2-8)微分方程建模設，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即 時，則可以進行近似處理：，。為了與控制理論的表達習慣相統一，即一般表示控制量，用來代表被控對象的輸入力，線性化后得到該系統數學模

7、型的微分方程表達式： (2-9)傳遞函數建模對方程組（2-9）進行拉普拉斯變換，得到 (2-10)注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組（2-10）的第一個方程，可以得到 (2-11) (2-12)如果令，則有： (2-13)把上式代入方程組（2-10）的第二個方程，得到 (2-14)整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數 (2-15)其中 狀態空間數學模型由現代控制理論原理可知，控制系統的狀態空間方程可寫成如下形式： (2-16)方程組（2-9）對解代數方程，得到如下解： (2-17)整理后得到系統狀態空間方程： (2-18)由(2-9)的第一個方

8、程為：對于質量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡得到： (2-19)設，則有： （2-20）2.2 實際系統模型建立實際系統參數如下，求系統的傳遞函數、狀態空間方程，并進行脈沖響應和階躍響應的Matlab仿真。M小車質量0.5kgm擺桿質量為0.2kgb小車摩擦系數 0.1N/m/secl 擺桿轉動軸心到桿質心的長度(本實驗為0.3m)0.3mI 擺桿慣量0.006kg*m*mF 加在小車上的力 x 小車位置T采樣頻率0.005秒 擺桿與垂直向下方向的夾角1）擺桿角度和小車位移的傳遞函數 2）擺桿角度和小車加速度的傳遞函數 3）擺桿角度和小車外作用力的傳遞函數4） 以外界作用力作為輸入的系統

9、狀態方程：5） 以小車加速度作為輸入的系統狀態方程3系統定性、定量分析3.1系統開環階躍響應狀態空間法：狀態空間法可以進行單輸入多輸出系統設計，在此我們圖4：狀態空間的開環階躍響應將嘗試同時對擺桿角度和小車位置進行控制。在這里我們首先給小車一個階躍輸入信號，以外作用力為輸入。我們用 Matlab 求出系統的狀態空間方程各矩陣。并觀察一下系統的開環階躍響應。可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發散的Matlab程序如下：M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I= 0.006;g = 9.8;l = 0.3;>> p = I*(M+m)+M*m*l2; A

10、= 0 1 0 0; 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0B = 0; (I+m*l2)/p; 0;m*l/pC = 1 0 0 0;0 0 1 0D = 0; 0T=0:0.005:10;U=0.2*ones(size(T);Y,X=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y)axis(0 2.5 0 100)Matlab給出系統狀態空間方程的A，B，C和D矩陣，并繪出了在給定輸入為一個0.2 m的階躍信號時系統的響應曲線。3.2系統穩定性與可控性分析3.2.1穩定性分析我們先看一看

11、系統的穩定性，將數據代入狀態方程中，利用matlab程序可以求出系統的零極點。源代碼如下：sysc=ss(A,B,C,D);sysd=c2d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);z p gain=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z = -0.9997 -0.9997 1.0251 1.0000 0.9756 1.0000p = 1.0000 1.0282 0.9993 0.9724gain = 1.0e-004 * 0.2272 0.5680由得到的p（極點）可知，有的極點在單位圓外，所以可知原系統是不穩定3.2.2能控性分析我們可以利用matla

12、b來得到系統的能控性，源代碼如下：ud=ctrb(da,db);rank(ud)ans =4由得到的rank（ud）的值可知，原系統的能控性矩陣為4，所以我們可知原系統是能控的。4 設計狀態觀測器4.1狀態空間分析圖5：狀態方程結構圖狀態方程為：式中：為狀態向量（維），為控制向量（純量），為維常數矩陣，為維常數矩陣。選擇控制信號：求解上式，得到方程解為：可以看出，如果系統狀態完全可控，選擇適當，對于任意的初始狀態，當趨于無窮時，都可以使趨于0。4.2 極點配置的設計步驟(1) 檢驗系統的可控性條件。(2) 從矩陣的特征多項式來確定的值。(3) 確定使狀態方程變為可控標準型的變換矩陣：其中為可控

13、性矩陣，(4) 利用所期望的特征值，寫出期望的多項式并確定的值。(5) 需要的狀態反饋增益矩陣由以下方程確定：4.3極點配置的Matlab計算前面我們已經得到了直線一級倒立擺的狀態空間模型，以小車加速度作為輸入的系統狀態方程為：對于如上所述的系統，設計控制器，要求系統具有較短的調整時間（約5秒）和合適的阻尼（阻尼比）。倒立擺極點配置原理圖如圖所示圖6：倒立擺極點配置原理圖極點配置步驟如下：（1）檢驗系統可控性（以證）（2）計算特征值根據要求，并留有一定的裕量（設調整時間為3秒），我們選取期望的閉環極點，其中：其中，是一對具有的主導閉環極點，位于主導閉環極點的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征

14、方程為：因此可以得到：由系統的特征方程：因此有系統的反饋增益矩陣為：（3）確定使狀態方程變為可控標準型的變換矩陣：式中：于是可以得到：(4) 狀態反饋增益矩陣為：得到控制量為：l 零輸入響應圖7：極點配置零輸入響應在零輸入響應下，即不加擾動時小車和擺桿最終都回到平衡位置。程序見下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5'C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0'J=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(A)pj=poly(J)M=B A*

15、B A2*B A3*BW=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0T=M*WK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K)Bc=B;Cc=C;Dc=D; sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc)t=0:0.005:10;x0=0.05; 0; 0.0175; 0;y1,x=initial(sys,x0,t);plot(t,y1(:,1),'red',t,y1(:,2),'green')l 當有擾動時即它的單位階

16、躍響應是：圖8：極點配置的階躍響應上圖是極點配置的單位階躍響應，由圖中也可以觀察到在4秒左右小車和擺桿都達到平衡狀態，滿足題目要求的擺動時間小于5秒。其次也可看到穩態時擺桿與垂直方向的夾角小于0.1度。仿真程序如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5'C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0'J=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(A)pj=poly(J)M=B A*B A2*B A3*BW=pa(4) pa(3) pa(2) 1;

17、pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0T=M*WK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K)Bc=B;Cc=C;Dc=D; sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc)Tc=0:0.005:10;y,Tc,X=step(sys,Tc);plot(Tc,X(:,1),'green');hold on; plot(Tc,X(:,3),'red');hold on; 4.4極點配置的simulink電路仿真4.4.1無狀態反饋仿真圖9：無極點配置的電路圖圖

18、10：無極點配置的小車位移和擺桿角度波形由圖中可知無狀態反饋時，小車位置與擺桿角度都是發散的 因而無法達到動態的平衡。但通過計算可知系統是可控的，因而只要加入合適的狀態反饋，給系統配置到期望的極點上，我們就能使系統穩定，達到動態平衡，所以，接下來我設計了有狀態反饋的仿真電路。4.4.2有狀態反饋的仿真圖11：有極點配置的電路圖圖12：有幾點配置的小車位移和擺桿角度波形圖我設計了有狀態反饋的電路圖，示波器顯示的波形與用Matlab計算出來的波形一致，由響應曲線可知狀態反饋系統為穩定閉環系統。狀態向量在零輸入作用下將漸漸衰減為0，這時擺桿和小車都會回到原先的位置，當施加控制后由于仍能基本滿足要求，且都在5s內達到了穩定，故設計有效。4.5極點配置的綜合分析由實驗結果可以看出：極點配置法成功實現了同時對倒立擺擺角和小車的位置的控制，但是在極點配置時，希望極點的選取，需要考慮、研究它們對系統品質的影響以及它們與零點分布狀況的關系，還需要顧及抗干擾性能方面的要求；在對性能的影響方面，我們通常只考慮主極點的影響，但非主導極點的影響有時不可忽略，這樣我們很難較好地選擇所有的極點。極點配置法，雖然利用現代狀態空間的形式，但仍保留了古典控制的思想。 狀態反饋系統的主要優點是極點的任意配置，無論開環極點和零點在什么位置，都可以任意配置期望的閉環極點。這為我們提供了控制系統