1、自適應濾波算法原理與應用經典的濾波算法包括，維納濾波，卡爾曼濾波，自適應濾波。維納濾波與卡爾曼濾波能夠滿足一些工程問題的需求，得到較好的濾波效果。但是他們也存在局限性，對于維納濾波來說，需要得到足夠多的數據樣本時，才能獲得較為準確的自相關函數估計值，一旦系統設計完畢，濾波器的長度就不能再改變，這難以滿足信號處理的實時性要求；對于卡爾曼濾波，需要提前對信號的噪聲功率進行估計，參數估計的準確性直接影響到濾波的效果。在實際的信號處理中，如果系統參數能夠隨著輸入信號的變化進行自動調整，不需要提前估計信號與噪聲的參數，實現對信號的自適應濾波，這樣的系統就是自適應濾波系統。1.基本自適應濾波算法自適應濾波

2、算法的基本思想是根據輸入信號的特性自適應調整濾波器的系數，實現最優濾波。圖1 自適應濾波結構框圖若自適應濾波的階數為，濾波器系數為，輸入信號序列為，則輸出為：（ 1）（ 2）其中為期望信號，為誤差信號。（ 3）（ 4）則濾波器的輸出可以寫成矩陣形式：（ 5）（ 6）定義代價函數：（ 7）當使上式中的代價函數取到最小值時，認為實現最優濾波，這樣的自適應濾波成為最小均方自適應濾波（LMS）。對于最小均方自適應濾波，需要確定使得均方誤差最小的濾波器系數，一般使用梯度下降法求解這類問題。濾波器系數向量的迭代公式為：（ 8）式中，為步長因子，為代價函數的梯度。（ 9）因為瞬時梯度為真實梯度值的無偏估計，

3、實際應用中可使用瞬時梯度代替真實梯度，即有：（ 10）（ 11）通過逐步迭代，即可得到最優的濾波器系數，實現對輸入信號的自適應濾波。2.自適應濾波的工程應用為了比較不同濾波算法的濾波效果，這里仍然采用前面用到的二維圓周運動軌跡追蹤的問題作為工程背景。自適應濾波算法的程序設計思路如圖 2所示。圖 2 自適應濾波算法流程圖迭代步長時，得到的濾波結果為：圖 3 X方向自適應濾波結果-基本自適應濾波圖 4 Y方向自適應濾波結果-基本自適應濾波從X與Y方向上的位移變化曲線與方差變化曲線上可以看出，濾波結果出現了發現，最終得到的結果并沒有達到最優解。分析其原因，可能是迭代步長太大，將迭代步長減小之后，取，

4、得到較為理想的濾波結果，示于圖 5和 6.圖 5 X方向自適應濾波結果-基本自適應濾波圖 6 Y方向自適應濾波結果-基本自適應濾波可以看出，減小步長因子之后，兩個方向上的濾波軌跡與期望的軌跡之間的誤差明顯減小，證明了自適應濾波的有效性。3.自適應濾波的收斂性分析在上一節的討論中，迭代步長選擇對于算法的收斂性具有決定性作用，步長值的微小改變即可對算法的收斂效果產生明顯影響，因此如何確定合適的步長值是自適應濾波算法中重要的內容。（ 12）（ 13）系統的最小均方誤差最小時，有：則下式成立：（ 14） 對于濾波器系數的迭代過程，有：（ 15）對自相關矩陣進行分解，即：（ 16）則相鄰兩次迭代過程的濾

5、波器系數之間滿足關系式：（ 17）（ 18）當迭代次數為無窮大時，理論上可以實現最優濾波，即迭代步長應該滿足：（ 19）從而有：（ 20）式 20即為確保算法收斂迭代步長應滿足的條件。得到步長的收斂性條件，即可在滿足要求的范圍內調整步長因子，選擇最佳的步長，在確保算法收斂的前提下，提高收斂速度。對于二維軌跡追蹤問題，取步長因子為，得到的濾波結果如圖 7至 9所示。圖 7 X方向自適應濾波結果-基本自適應濾波圖 8 Y方向自適應濾波結果-基本自適應濾波圖 9 二維圓周運動軌跡濾波結果-基本自適應濾波從X方向，Y方向上的濾波結果可以看出，濾波軌跡在起初的一段時間內與期望軌跡存在較大的誤差，但隨著迭

6、代次數增加，兩者的誤差逐漸減小，最終得到誤差的最小值。二維軌跡圖上也能得到類似的結論。4.變步長自適應濾波在滿足收斂性條件的要求下選擇迭代步長，可以確保最終得到收斂的結果，但是這一步長在整個過程中是固定的。然而，更為理想的情況是在濾波的初始階段，誤差值很大時，迭代步長可以取較大的值，以取得較快的收斂速度，隨著誤差減小，逐漸接近最優目標時，迭代步長也相應減小，從而得到較好的收斂精度，這就是變步長自適應濾波算法。變步長的自適應濾波算法已經有了較長時間的發展，前人發展了很多有效的變步長算法，這里僅選擇兩種常用的方法。（1）歸一化變步長自適應濾波算法其中，為常數，且滿足。歸一化的變步長濾波算法使用輸入

7、信號的能量對步長因子進行歸一化，確保其取到合適的值。（2）Sigmod函數變步長自適應濾波算法其中，為常數，且滿足。Sigmod函數使用濾波器的輸出誤差對迭代步長進行控制，從表達式中可以看出，誤差較大時，步長因子的值較大，誤差減小時，步長因子的值也會相應減小。圖 10 變步長自適應濾波算法程序設計流程圖采用變步長的自適應濾波算法對二維圓周運動的軌跡進行追蹤，濾波結果示于圖 11至 13。其中參數。圖 11 X方向自適應濾波結果-變步長自適應濾波圖 12 Y方向自適應濾波結果-變步長自適應濾波圖 13 二維圓周運動軌跡濾波結果-變步長自適應濾波從X方向與Y方向上的濾波曲線可以看出，變步長的自適應

8、濾波輸出結果與期望信號之間的誤差更小，固定步長時起始階段的大幅度波動也消失了，對運動軌跡的追蹤效果也更好。5.解相關自適應濾波當輸入信號之間具有較強的相關性時，自適應濾波的效果并不理想，因此改進自適應濾波算法的一個方法就是消除相鄰輸入信號序列的相關性，稱為解相關自適應濾波。解相關自適應濾波算法的實現過程為：該算法通過求解相鄰兩個輸入信號序列的相關系數，在當前輸入信號中減去與上一輸入信號的相關部分，作為當前的輸入信號，實現解相關的自適應濾波。圖 14給出了解相關自適應濾波算法的程序設計流程。圖 14 解相關自適應濾波算法流程圖將該算法應用于二維圓周運動的軌跡追蹤問題，所得結果示于圖 15至 17

9、。圖 15 X方向自適應濾波結果-解相關自適應濾波 圖 16 Y方向自適應濾波結果-解相關自適應濾波 圖 17 二維圓周運動軌跡濾波結果-解相關自適應濾波圖 15， 16， 17顯示了應用解相關自適應濾波算法對二維圓周運動軌跡進行濾波后的結果。X與Y方向上的信號均與期望信號符合的很好，并且最小均方誤差的變化曲線也呈現較快的收斂趨勢。在二維軌跡圖上，濾波軌跡的波動性大大降低，僅在初始階段存在輕微的波動，但總體上取得了理想的濾波結果，能夠滿足實際應用的需求。6.變換域自適應濾波從解相關自適應濾波算法結果看出，如果能夠消除輸入信號的相關性，自適應濾波的效果將得到極大的改進，在此基礎上，有發展出了變換

10、域的自適應濾波算法。其基本思想是使用一組正交基，將時域信號變換到對應的變換域上，則在變換域上，信號的相關性就會降低，對信號進行歸一化后，自相關矩陣特征值的分散度就會降價，從而提高算法的收斂性。基本的變換包括頻率域變換，余弦變換，小波變換，分數階Fourier變換。（1） 基于頻域的自適應濾波將輸入信號和期望信號分別形成N點數據塊，然后做N點離散Fourier變換，權系數每N個樣點更新一次。對信號進行變換與反變換時，可以利用快速Fourier正變換與逆變換算法，能夠有效提高運算速度。（2） 基于余弦變換域的自適應濾波算法余弦變換能夠較好地近似理想正交變換，基于余弦變換域的LMS自適應濾波算法不僅

11、減小了輸入信號的自相關程度，明顯提高了收斂速度，減小了權失調噪聲，而且該算法的計算量也大大減小。（3） 基于小波變換域的自適應濾波算法對自適應濾波器的輸入信號進行正交變換，利用小波的時頻局部特性，將輸入向量正交分解到多尺度空間 。減小了自適應濾波器輸入向量自相關陣的譜動態范圍，大大增加了算法的收斂步長，提高了收斂速度和穩定性。（4） 基于分數階Fourier域的自適應濾波算法分數階Fourier變換是一種時頻分析工具和旋轉算子，信號在分數Fourier域上的表示同時融合了信號在時域和頻域的信息。基于分數階傅里葉變換域的自適應濾波利用前一時刻已獲得的濾波器參數等結果，自動調節現時刻的濾波器參數，

12、以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的統計特性，從而實現最優濾波。圖 18 變換域自適應濾波算法流程圖參考文獻1李方偉,張浩. 一種新的變步長LMS自適應濾波算法及其仿真J. 重慶郵電大學學報(自然科學版),2009,(05):591-594. 2齊林,周麗曉. 變換域自適應濾波算法的研究J. 鄭州大學學報(理學版),2007,(01):61-66. 3馮存前,張永順. 變步長頻域快速自適應收發隔離算法研究J. 電子對抗技術,2004,(05):22-25+45. 4Deherty J, Porayath R. A robust echo canceler for acoustic enviro

13、nments. IEEE Trans. Circuits and Systems, II, 1997, 44:389-398.5張賢達. 現代信號處理（第三版）.北京:清華大學出版社,2015.6高西全,丁玉美. 數字信號處理-時域離散隨機信號處理. 西安:西安電子科技大學出版社, 2002.代碼：自適應濾波算法：%該程序實現對二維圓周運動軌跡的自適應濾波%該程序為主函數，調用不同的子函數實現不同的濾波方法%子函數1：fun_fplms_filter2-固定步長自適應濾波%子函數2：fun_cplms_filter2-變步長自適應濾波%子函數3：fun_lms_filter_der2-解相關自

14、適應濾波clear close allN=2000;theta=linspace(0,2*pi,N); %極坐標參數e_x=cos(theta); %x，y方向上的期望信號e_y=sin(theta);no_x=normrnd(0,sqrt(0.08),1,N); %高斯白噪聲no_y=normrnd(0,sqrt(0.12),1,N);m_x=e_x+no_x; %觀測信號m_y=e_y+no_y;%fixed step% Err_x,f_x=fun_fplms_filter2(e_x,m_x,N,10);% Err_y,f_y=fun_fplms_filter2(e_y,m_y,N,10)

15、;%changed step% Err_x,f_x=fun_cplms_filter2(e_x,m_x,N,10);% Err_y,f_y=fun_cplms_filter2(e_y,m_y,N,10);%decorrelation Err_x,f_x=fun_lms_filter_der2(e_x,m_x,N,10);Err_y,f_y=fun_lms_filter_der2(e_y,m_y,N,10);figureplot(e_x,e_y,'k','linewidth',2)hold onplot(m_x,m_y,'b')hold onplo

16、t(f_x,f_y,'r-')title('LMS自適應濾波圓周運動軌跡追蹤')legend('期望軌跡','觀測軌跡','濾波軌跡')figuresubplot(211)plot(e_x,'k')hold onplot(m_x,'b')hold onplot(f_x,'r')title('x方向上信號濾波效果對比')legend('期望信號','觀測信號','濾波信號',4)subplot(212)pl

17、ot(Err_x,'k')title('x方向上濾波方差變化曲線')figuresubplot(211)plot(e_y,'k')hold onplot(m_y,'b')hold onplot(f_y,'r')title('y方向上信號濾波效果對比')legend('期望信號','觀測信號','濾波信號',4)subplot(212)plot(Err_y,'k')title('y方向上濾波方差變化曲線')function

18、 SE,x_f=fun_fplms_filter2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering with fixed step lengthx_e=x0;x_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0; %order of filter and initial weight valuesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);% fundmental LMS adptive filter Modern SP Zxd P183rxx=xcorr(x_m0)/N;Rxx=toeplitz(rxx(N:end);m

19、ui_max=1/max(eig(Rxx);% trace(Rxx)% mui_max=1/trace(Rxx); %convergence conditionmui=0.6*mui_max; %initial step length% normallized LMS Modern SP Zxd P183% alpha=0.8;beta=2; % the iterative filter x_m=zeros(1,M) x_m0;for i=1:N u_in=x_m(M+i:-1:i+1); u_out=sum(u_in.*w); err=x_e(i)-u_out;% mui=alpha/(be

20、ta+sum(u_in.2);% mui=0.06; w=w+mui*u_in*err; x_f(i)=u_out; se=x_e-x_f; SE(i)=sum(se.2)/N;endfunction SE,x_f=fun_cplms_filter2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering with varing lengthx_e=x0; %parameter in function modex_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0; %order of filter and initial weight va

21、luesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);% fundmental LMS adptive filter Modern SP Zxd P183% rxx=xcorr(x_m0)/N;% Rxx=toeplitz(rxx(N:end);% mui_max=1/max(eig(Rxx);% % trace(Rxx)% % mui_max=1/trace(Rxx); %convergence condition% mui=0.6*mui_max; %initial step length% normallized LMS Modern SP Zxd P183% alpha=0.8

22、;beta=2; alpha=-6.6;beta=0.18;a=2; %Sigmoid fucntion% the iterative filter x_m=zeros(1,M) x_m0;for i=1:N u_in=x_m(M+i:-1:i+1); u_out=sum(u_in.*w); err=x_e(i)-u_out; mui=beta*(1-exp(alpha*erra);% mui=alpha/(beta+sum(u_in.2); w=w+mui*u_in*err; x_f(i)=u_out; se=x_e-x_f; SE(i)=sum(se.2)/N;end% x_f(M:M+3

23、)=x_m(M:M+3);% to improve the initial steps of filter% Err=x_f-x_e;% Re=Err./x_e;% find(abs(Re)=max(abs(Re)% plot the filter outputsfigureplot(x_e,'k')hold onplot(x_m0,'b')hold onplot(x_f,'r')% legend('expected','measured','filtered')legend('期望信號','觀測信號','濾波信號')% figure% plot(SE,'k')% title('自適應濾波方差變化曲線')function SE,x_f=fun_lms_filter_der2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering using de-corellation me