1、申請揚州大學學士學位論文揚州大學 學 士 學 位 論 文統計學三大分布與正態分布的差異年級專業： 學生姓名： 指導教師： 統計學三大分布與正態分布的差異中文摘要統計學是應用數學的一個分支，主要通過利用概率論建立數學模型，收集所觀察系統的數據，進行量化的分析、總結，并進而進行推斷和預測，為相關決策者提供依據和參考。它被廣泛的應用在各門學科之上，從物理和社會科學到人文科學，甚至被用來工商業及政府的情報決策之上。而對數據的分析過程中就需要利用到數據的分布來研究分類。在實際遇到的許多隨機現象都服從或近似服從正態分布。而由正態分布構造的三大分布在實際中有廣泛的應用，因為這三大分布不僅有明確的背景，而且其

2、抽樣分布的密度函數有明顯表達式，研究三大分布與正態分布有助于研究實際事例，比如經濟安全與金融保險領域、人口統計等。本文討論了三大分布與正態分布，并將它們之間的密度函數進行比較說明. 第二章介紹了正態分布的定義、性質，三大分布的定義、性質。第三章介紹了正態分布與三大分布的密度函數，并將它們之間的密度函數進行比較關鍵詞：正態分布；三大分布；密度函數The Difference between the Three Statistical Distributions and the Normal Distribution AbstractStatistics is a branch of applie

3、d mathematics, the mathematical models are mainly established by the probability and statistics theory based on the collecting the data, so as to conduct the quantitative analysis, and obtain the correct inference. It is widely used in the subjects, such as physical, social science, industrial and c

4、ommercial field, and government intelligence decision. The process of the data analysis will need to use the data distributions to study. In practice, many random phenomena are obedient for the normal distributions, or approximately. And the three statistical distributions structured by the normal d

5、istributions have extensive applications, because these three distributions is explicitly background, and the sampling distribution density function have obvious expressions. Research on the distributions and normal distributions is useful for the study of economic security and financial insurance f

6、ields, population statistics, etc. This paper discusses the three statistical distributions and normal distributions, their density functions are compared. The second chapter presents the definition of the normal distribution, the distribution of nature, three definitions and properties. The third c

7、hapter covers a normal distribution and the density functions of the three distributions, and then the density functions are compared.Keywords: the normal distribution; Three distribution; Density function 目 錄中文摘要2英文摘要21 緒論5 1.1 問題的提出5 1.2 國內外研究現狀5 1.3 本文的主要工作62 基礎知識介紹72.1 正態分布7 2.2 三大統計分布83 三大分布與正態

8、分布的比較 12 3.1 三大分布與正態分布的密度函數12 3.2 三大分布與正態分布的密度函數比較12 3.3 本章小結164 進 一 步 工 作16參考文獻 17致謝171 緒論統計學，最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表對國家的資料進行分析的學問，也就是“研究國家的科學”。 18世紀末至19世紀末是統計學的發展時期。在這時期，各種學派的學術觀點已經形成，并且形成了兩主要學派，即數理統計學派和社會統計學派。統計分布分為離散型分布和連續型分布。正態分布又叫高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它

9、。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。而三大分布是基于正態分布的基礎上提出來的。統計學被廣泛應用在各個領域中，本章第一節闡述統計學的實際背景知識；第二節簡述近些年的國內外研究現狀；第三節說明本文的主要研究工作.1.1 問題的提出取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統計量對未知的總體分布進行推斷，為此須進一步確定相應的統計量所服從的分布，常用的統計分布包括正態分布，分布，t分布，F分布，所以我們要準確的分類就必須先弄清楚這四種分類之間的相同點及不同點，所以本論文的目的就是詳細闡述四種分布的差異。1.2 國內外研究現狀現代統計學的理論基礎概率論始于研究賭博的機遇問題，大約開始于1477年。數學家為

10、了解釋支配機遇的一般法則進行了長期的研究，逐漸形成了概率論理論框架。在概率論進一步發展的基礎上，到十九世紀初，數學家們逐漸建立了觀察誤差理論，正態分布理論和最小平方法則。在20世紀以前，統計學的領域主要是人口統計、生命統計、社會統計和經濟統計。隨著社會、經濟和科學技術的發展，到今天，統計的范疇已覆蓋了社會生活的一切領域，幾乎無所不包，成為通用的方法論科學。它被廣泛用于研究社會和自然界的各個方面，并發展成為有著許多分支學科的科學，比如經濟統計學，管理統計學，衛生統計學等。就最近幾年來看，國家連續資助了一系列涉及統計學及其應用的重大科研項目，其中包括數學和計算機在癌癥生物學中的應用、振蕩積分學與高

11、階schdodinger方程的L_p-L_q估計、衛生統計學中t檢驗應用的幾點注記、宏觀經濟統計數據的國際可比性研究等。國際上已對統計學的應用進行研究，例如在醫學方面的Microscintigraphy with high resolution collimators and radio graphicdetectors,在物理學方面的Determination of grain size distributions in thin films等。1.3 本文的主要工作基于以上的論述，本文的主要研究工作為：首先詳細介紹正態分布以及三大分布的定義、性質以及它們的密度函數，然后利用中心極限定理證明

12、分布的極限分布是正態分布，然后用兩種方法（Stirling和特征函數）證明t分布的極限分布也是正態分布，最后利用中心極限定理證明F分布當n無窮大的時候接近正態分布，從而得出證明的結論，還在進一步的工作中可以繼續證明分布的密度函數與正態分布的密度函數差值的絕對值會小于某個具體的數字，也可以進一步研究F分布當m和n都不趨于無窮大的時候是否還是接近于正態分布，這就是本文研究的主要工作。2 基礎知識介紹2.1 正態分布 正態分布（normal distribution）是數理統計中的一種重要的理論分布 ，是許多統計方法的理論基礎。正態分布有兩個參數，和，決定了正態分布的位置和形態。為了應用方便，常將一

13、般的正態變量X通過u變換轉化成標準正態變量u，以使原來各種形態的正態分布都轉換為=0，=1的標準正態分布N (0,1)（standard normal distribution）,亦稱u分布。定義：若X1，X2，Xn相互獨立，XiN(i，)，則 特別地，若X1，X2，Xn則 圖1：標準正態分布的密度函數圖特征1：正態曲線（normal curve）在橫軸上方均數處最高。特征2：正態分布以均數為中心，左右對稱。 特征3：正態分布有兩個參數，即均數和標準差。是位置參數，固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動。是形狀參數，當固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線

14、越尖峭。通常用N（，2）表示均數為，方差為2的正態分布。用N（0，1）表示標準正態分布。特征4：正態曲線下面積的分布有一定規律。 實際工作中，常需要了解正態曲線下橫軸上某一區間的面積占總面積的百分數，以便估計該區間的例數占總例數的百分數（頻數分布）或觀察值落在該區間的概率。正態曲線下一定區間的面積可以通過標準正態分布函數表求得。對于正態或近似正態分布的資料，已知均數和標準差，就可對其頻數分布作出概約估計。2.2 三大統計分布一、分布（n為自由度）分布是一種連續型隨機變量的概率分布。這個分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、1900年所

15、發現，它是由正態分布派生出來的，主要用于列聯表檢驗。定義：若X1，X2，Xn相互獨立，且都服從標準正態分布N（0,1），則圖2：的密度函數圖性質1：性質2：若，相互獨立，則性質3：性質4：設，對給定的實數稱滿足條件:的點為分布的水平的上側分位數. 簡稱為上側分位數. 對不同的與n, 分位數的值已經編制成表供查用。圖3：分布的上分位數二、t分布t分布也稱為學生分布，是由英國統計學家戈賽特（Goset，1876-1937）在1908年“student”的筆名首次發表的，這個分布在數理統計中也占有重要的位置。定義：設，X，Y相互獨立，則稱服從自由度為n的T分布，記為圖4：t分布的密度函數圖性質1：是

16、偶函數，性質2：設，對給定的實數 稱滿足條件的點為分布的水平的上側分位數. 由密度函數的對稱性，可得 類似地，我們可以給出t分布的雙側分位數顯然有 對不同的與n, t分布的雙側分位數可從附表查得.圖5：t分布的上分位數三、F分布F分布是隨機變量的另一種重要的小樣本分布，應用也相當廣泛。它可用來檢驗兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等。F分布還是方差分析和正交設計的理論基礎。定義：設，X，Y相互獨立，令則稱F服從為第一自由度為n，第二自由度為m的F分布。圖6：F分布的密度函數圖性質1：若性質2：若，則性質3：設，對給定的實數稱滿足條件的點為分布的水平的上側分位數. F分布的上側分位數的

17、可自附表查得.圖7：F分布的上分位數性質4：此式常常用來求F分布表中沒有列出的某些上側分位數.3 三大分布與正態分布的比較3.1 三大分布與正態分布的密度函數一、正態分布的密度函數為特別地，當=0，=1時，記標準正態分布的密度函數為二、的密度函數為，其中特別地，當n=1時，其密度函數為當n=2時，其密度函數為三、四、3.2 三大分布與正態分布的密度函數比較一、設，則對任意x，有證明：因為 分布的 所以由獨立同分布中心極限定理得因為且所以因為所以=令n=2m，利用Stirling公式：則上式=所以分布的極限分布為正態分布二、t分布收斂于標準正態分布，即若Xn服從自由度為n的t分布， （1）證法1

18、：由于自由度為n的t分布的概率密度因此（1）式等價于 （2）先利用Stirling公式：證明事實上，利用函數的性質當n=2k時當n=2k+1時亦可推出同樣的結果。另外，由特殊極限公式可得綜合上訴，即證明（2）式所以，t分布的極限分布是正態分布。證法2：設，其中，且相互獨立。由于Y的特征函數為，（其中為虛數單位）故的特征函數為所以又是單點分布P（=1）=1的特征函數，所以的分布函數所以即因此故三、F分布收斂于標準正態分布，即若，X，Y相互獨立，則稱 服從為第一自由度為m，第二自由度為n的F分布。證明： 所以 因為 所以由中心極限定理，當時 所以F分布的極限分布是正態分布。3.3 本章小結 在實際應用中我們往往在取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統計量對未知的總體分布進行推斷，為此須進一步確定相應的統計量所服從的分布，正態分布、 分布、t分布、F分布是統計學最基本的四種分布，還有其他的分布如連續型隨機變量的指數分布、均勻分布等都是我們需要研究討論的，本文只是討論了正態分布與三大分布的密度函數差異，所以還有很多工作需要我們研究。4 進一步工作在證明分布的極限分布時，用的是中心極限定理，在進一步的工作中可以繼續研究是否可以用Stirling證