1、第二章 誤差分析和數(shù)據(jù)處理方法2.1測量與誤差1、測量物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性觀察各種物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。為此就需要進(jìn)行測量。測量指的是將待測的物理量與一個(gè)選來作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較的過程。通過比較得出它們的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識待測量的一些未知屬性?？梢哉J(rèn)為測量就是一種研究方法。選作標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱為單位。倍數(shù)稱為測量數(shù)值。由此可見，一個(gè)物理量的測量值等于測量值與單位的乘積。一個(gè)物理量的大小是客觀存在的，選擇不同的單位，相應(yīng)的測量數(shù)值就有所不同。單位越大，測量數(shù)值愈小，反之亦然。測量可分為兩類。一類是直接測量。如用尺量長度，以表計(jì)時(shí)間，天平稱質(zhì)量，溫度計(jì)量溫度等；另一類是

2、間接測量，是根據(jù)直接測量所得的數(shù)據(jù)，根據(jù)一定的公式，通過運(yùn)算，得出所需要的結(jié)果，例如直接測出單擺的長度和周期，應(yīng)用公式g=42/T2,求出重力加速度g。在物理的測量中，絕大部分是間接測量，但直接測量是一切間接測量的基礎(chǔ)。不論直接測量或間接測量，都需要滿足一定的實(shí)驗(yàn)條件，按照嚴(yán)格的方法及正確地使用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此，在實(shí)驗(yàn)過程中，一定要明白實(shí)驗(yàn)的目的，正確地使用儀器，細(xì)心地進(jìn)行操作、讀數(shù)和記錄，以達(dá)到鞏固理論知識和加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的目的。2.誤差物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。然而在實(shí)際測量時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)條件、實(shí)驗(yàn)方法和儀器精度等的限制或者不夠完善，以及實(shí)驗(yàn)人員技術(shù)水平和經(jīng)驗(yàn)等

3、原因，使得測量值與客觀存在的真值之間有一定的差異。測量值x與真值Tx的差值稱為測量誤差，簡稱誤差。即 = x - Tx 任何測量都不可避免地存在誤差，所以，一個(gè)完整的測量結(jié)果應(yīng)該包括測量值和誤差兩個(gè)部分。既然測量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度地減小測量誤差并估算出這誤差的范圍呢？要回答這些問題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測量誤差按其產(chǎn)生原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差三大類。（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是有規(guī)律的，測量結(jié)果都大于真值，或小于真值?；蛟跍y量條件改變時(shí)，誤差也按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生有以下幾個(gè)方面：1）由于測量儀器的不完善、儀器不夠精密或安裝調(diào)整不妥，

4、如刻度不準(zhǔn)、零點(diǎn)不對、砝碼未經(jīng)校準(zhǔn)、天平臂不等長、應(yīng)該水平放置的儀器未放水平等。2）由于實(shí)驗(yàn)理論和實(shí)驗(yàn)方法的不完善，所引用的理論與實(shí)驗(yàn)條件不符，如在空氣中稱質(zhì)量而沒有考慮空氣浮力的影響，測微小長度時(shí)沒有考慮溫度變化使尺長的改變，量熱時(shí)沒有考慮熱量的散失，測量電壓時(shí)未考慮電壓表內(nèi)阻對電壓的影響，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢未作溫度校正等。3）由于實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)、缺乏經(jīng)驗(yàn)等而產(chǎn)生誤差。例如有些人習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，使測量值偏大或偏小。減小系統(tǒng)誤差是實(shí)驗(yàn)技能問題，應(yīng)盡可能采取各種措施將它減小到最低程度。例如將儀器進(jìn)行校正，改變實(shí)驗(yàn)方法或者在計(jì)算公式中列入一些修正項(xiàng)以消除某些因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)

5、果的影響，糾正不良習(xí)慣等。能否識別或降低系統(tǒng)誤差與實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際知識有密切的關(guān)系。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中要逐步積累這方面的感性知識，結(jié)合實(shí)驗(yàn)的具體情況對系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析和討論。因在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)原理時(shí)，系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課中不要求學(xué)生對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行修正。（2）隨機(jī)誤差（又稱偶然誤差）在相同條件下，對同一物理量進(jìn)行重復(fù)多次測量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機(jī)地變化著。這種誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸角等感覺能力的限制以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源

6、電壓的起伏、氣流波動以及振動等因素的影響。從個(gè)別測量值來看，它的數(shù)值帶有隨機(jī)性，似乎雜亂無章。但是，如果測量次數(shù)足夠多的話，就會發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用概率理論估算它。（3）過失誤差在測量中還可能出現(xiàn)錯誤，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、估算錯誤、操作錯誤等因素引起的誤差，稱為過失誤差。過失誤差已不屬于正常的測量工作范疇，應(yīng)當(dāng)盡量避免?？朔e誤的方法，除端正工作態(tài)度，嚴(yán)格工作方法外，可用與另一次測量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)糾正，或者運(yùn)用異常數(shù)據(jù)剔除準(zhǔn)則來判別因過失而引入的異常數(shù)據(jù)，并加以剔除。3、正確度、精密度和準(zhǔn)確度正確度、精密度和準(zhǔn)確度是評價(jià)測量結(jié)果優(yōu)劣的三個(gè)述語。測量結(jié)果的正確度是指測量

7、值與真值的接近程度。正確度高，說明測量值接近真值程度好，即系統(tǒng)誤差小?？梢?，正確度是反映測量結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的述語。測量結(jié)果的精密度是指重復(fù)測量所得結(jié)果相互接近的程度。精密度高，說明重復(fù)性好，各個(gè)測量誤差的分布密集，即隨機(jī)誤差小?？梢?，精密度是反映測量結(jié)果隨機(jī)誤差大小的術(shù)語。測量結(jié)果的準(zhǔn)確度是指綜合評定測量結(jié)果重復(fù)性與接近真值的程度。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高?？梢姡瑴?zhǔn)確度反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的綜合效果。在實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以，誤差計(jì)算主要是估算隨機(jī)誤差，因此往往不再嚴(yán)格區(qū)分精密度和準(zhǔn)確度，而泛稱精度。4、絕對誤差、相對誤差和百分差誤差的表示形式，有絕對誤差和相對誤差

8、之分。絕對誤差±x表示測量結(jié)果x與真值之間的差值以一定的可能性（概率）出現(xiàn)的范圍，即真值以一定可能性（概率）出現(xiàn)在至區(qū)間內(nèi)。僅僅根據(jù)絕對誤差的大小還難以評價(jià)一個(gè)測量結(jié)果的可靠程度，還需要看測量值本身的大小，為此引入相對誤差的概念。相對誤差 表示絕對誤差在整個(gè)物理量中所占的比重，一般用百分比表示。例如，一長度測量值是1000米，而絕對誤差為1米。另一長度測量值為100厘米，而絕對誤差為1厘米。后者的相對誤差為1%，前者的相對誤差為0.1%，所以，前者較后者更可靠。如果待測量有理論值或公認(rèn)值，也可用百分差表示測量的好壞。即 百分差絕對誤差、相對誤差和百分差通常只取12位數(shù)字來表示。2.2

9、 隨機(jī)誤差的高斯分布與標(biāo)準(zhǔn)誤差隨機(jī)性是隨機(jī)誤差的特點(diǎn)。也就是說，在相同條件下，對同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量，每次測量值的誤差時(shí)大時(shí)小，對某一次測量值來說，其誤差的大小與正負(fù)都無法預(yù)先知道，純屬偶然。但是，如果測量次數(shù)相當(dāng)多的話，隨機(jī)誤差的出現(xiàn)仍服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況的不同，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的分布規(guī)律有高斯分布（即正態(tài)分布）、t分布、均勻分布以及反正弦分布等等。按大綱要求，僅介紹隨機(jī)誤差的高斯分布。1高斯分布的特征和數(shù)學(xué)表述遵從高斯分布規(guī)律的隨機(jī)誤差具有下列四大特征：（1）單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）大，大誤差出現(xiàn)的可能性小。（2）對稱性 大小相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會均

10、等，對稱分布于真值的兩側(cè)。（3）有界性 非常大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性幾乎為零。（4）抵償性 當(dāng)測量次數(shù)非常多時(shí)，正誤差和負(fù)誤差相互抵消，于是，誤差的代數(shù)和趨向于零。高斯分布的特征可以用高斯分布曲線形象地表示出來，見圖2-2-1（a）。橫坐標(biāo)為誤差，縱坐標(biāo)為誤差的概率密度分布函數(shù)。根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學(xué)表述式為： （2-2-1）測量值的隨機(jī)誤差出現(xiàn)在到+d區(qū)間內(nèi)的可能性(概率)為f()d,即圖2-2-1(a)中陰影線所包含的面積元。上式中的是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差。其量值為 式中，n為測量次數(shù)，各次測量值的隨機(jī)誤差為，,2,3,n。可見標(biāo)準(zhǔn)誤差是將各個(gè)誤差的平方取平

11、均值，再開方得到，所以，標(biāo)準(zhǔn)誤差又稱為均方根誤差。2標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義由式（2-2-1）可知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線的形狀取決于值的大小，如圖（2-2-1）b所示。值愈小，分布曲線愈陡峭，峰值愈高，說明絕對值小的誤差占多數(shù)，且測量值的重復(fù)性好，分散?。环粗涤螅€愈平坦峰值愈低，說明測量值的重復(fù)性差，分散性大。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測量值的離散程度。由于f()d是測量值隨機(jī)誤差出現(xiàn)在小區(qū)間（，+d）的可能性（概率），那么，測量值誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-，）內(nèi)的可能性（概率）就是 這說明對任意一次測量，其測量值誤差出現(xiàn)在到區(qū)間內(nèi)的可能性（概率）為68.3%。也就是說，假如我們對某一物理量在相同條件下進(jìn)行了

12、1000次測量，那么，測量值誤差可能有683次落在到區(qū)間內(nèi)。注意標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義，它并不表示任一次測量值的誤差就是±，也不表示誤差不會超出±的界限。標(biāo)準(zhǔn)誤差只是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的特征量，用以表征測量值離散程度的一個(gè)特征量。3極限誤差與上述相仿，同樣可以計(jì)算，在相同條件下對某一物理學(xué)量進(jìn)行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3到3區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為 也就是說，在1000次測量 中，可能有3次測量值的誤差絕對值會超過3。在通常的有限次測量情況下，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此測量值的誤差超出±3范圍的情況幾乎不會出現(xiàn)，所以把3稱為極限誤差。在測量次數(shù)相

13、當(dāng)多的情況下，如出現(xiàn)測量值的誤差的絕對值大于3的數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這是由于過失而引起的異常數(shù)據(jù)而加以剔除。但是，對于測量次數(shù)較少的情況，這種判別方法就不可靠，而需要采用另外的判別準(zhǔn)則。23 近真值算術(shù)平均值盡管一個(gè)物理量的真值是客觀存在的，然而，即使對測量值已進(jìn)行了系統(tǒng)誤差的修正，也會由于隨機(jī)誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍不能實(shí)現(xiàn)。那么，是否能夠得到一個(gè)測量結(jié)果的最佳值，或者說得到一個(gè)最接近真值的數(shù)值（近真值）呢？這個(gè)近真值又如何來求得？根據(jù)隨機(jī)誤差具有抵償性的特點(diǎn)，誤差理論可以證明，如果對一個(gè)物理量測量了相當(dāng)多次，那么算術(shù)平均值就是接近真值的最佳值。設(shè)在相同條件下對一個(gè)物理量進(jìn)行了多次測量，測

14、量值分別為，各次測量值的隨機(jī)誤差分別為，并用Tx表示該物理量的真值。根據(jù)誤差的定義有=-Tx ， =-Tx ，=-Tx ，=-Tx 將以上各式相加，得 或 (2-3-1)用代表算術(shù)平均值,即 (2-3-2)式(2-3-1)可改寫為 (2-3-3)根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償性特征,當(dāng)測量次數(shù)n相當(dāng)多時(shí),由于正、負(fù)誤差相互抵消，各個(gè)誤差的代數(shù)和趨近于零，即 于是有 由此可見，測量次數(shù)愈多，算術(shù)平均值接近真值的可能性愈大。當(dāng)測量次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，算術(shù)平均值是真值的最佳值，即近真值。24 標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算標(biāo)準(zhǔn)偏差 1任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差某一次測量值的誤差是測量值與真值Tx的誤差值。由于真值不知道，誤差計(jì)算不出。

15、因而，按照式（2-2-2），標(biāo)準(zhǔn)誤差也無從估算。根據(jù)算術(shù)平均值是近真值的結(jié)論，在實(shí)際估算時(shí)采用算術(shù)平均值代替真值，用各次測量值與算術(shù)平均值的差值 來估算各次的誤差。差值稱為殘差。誤差理論可以證明，當(dāng)測量次數(shù)n有限，用殘差來估算標(biāo)準(zhǔn)誤差時(shí)，其計(jì)算式為 稱之為任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是測量次數(shù)有限多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個(gè)估計(jì)值。其代表的物理意義是，如果多次測量的隨機(jī)誤差遵從高斯分布，那么，任意一次測量，測量值誤差落在到區(qū)域之間的可能性（概率）為68.3%?；蛘哒f，它表示這組數(shù)據(jù)的誤差有68.3%的概率出現(xiàn)在到區(qū)間內(nèi)。2平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差誤差理論證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 上式說明,平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是n

16、次測量中任意一次測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍。小于，這個(gè)結(jié)果的合理性是顯而易見的。因?yàn)樗阈g(shù)平均值是測量結(jié)果的最佳值，它比任意一次測量值更接近真值，誤差要小。的物理意義是，在多次測量的隨機(jī)誤差遵從高斯分布的條件下，真值處于區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%。值得注意，用和來估算隨機(jī)誤差，理論上都要求測量次數(shù)相當(dāng)多。但實(shí)際上，往往受到教學(xué)時(shí)間的限制，重復(fù)測量的次數(shù)不可能很多，所以，用它們來估算的隨機(jī)誤差帶有相當(dāng)程度的近似性。另外，在測量次數(shù)較少時(shí)（n<10），隨著測量次數(shù)n的增加而明顯地減小，以后，隨著測量次數(shù)n的繼續(xù)增加，的減小愈來愈不明顯而趨近于恒定值。由此可見，過多地增加測量次數(shù)，其價(jià)值并不太大。根據(jù)實(shí)際

17、情況，如果需要多次重復(fù)測量，一般測量次數(shù)取510次為宜。25 誤差傳遞公式直接測量值不可避免地存在誤差，顯然由直接測量值根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過運(yùn)算而得到的間接測量值也必然有誤差存在。怎樣來估算間接測量值的誤差，實(shí)質(zhì)上是要解決一個(gè)誤差傳遞的問題，即求得估算間接測量值誤差的公式。這種公式稱之為誤差傳遞公式。1誤差的一般傳遞公式設(shè)待測量N是n個(gè)獨(dú)立的直接測量量A，B，C，H的函數(shù)，即 N= f (A,B,C,H) （2-5-1） 若各直接測量值的絕對誤差分別為A，B，C，H，則間接測量值N的絕對誤差為N。下面介紹具體計(jì)算方法。將（2-5-1）求全微分，得 （2-5-2）由于A，B，C，H分別相對于

18、A，B，C，H是一個(gè)很小的量，將式（2-5-2）中的dA，dB，dC，dH用A，B，C，H代替，則 （2-5-3）由于上式右端各項(xiàng)分誤差的符號正負(fù)不定，為謹(jǐn)慎起見，作最不利情況考慮，認(rèn)為各項(xiàng)分誤差將累加，因此，將上式右端各項(xiàng)分別取絕對值相加，即 （2-5-4）很明顯，這樣做會導(dǎo)致測量結(jié)果誤差偏大。但在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中常常必須這樣處理。相對誤差為 （2-5-5）式（2-5-4）和式（2-5-5）稱為誤差的一般傳遞公式，或稱為誤差的算術(shù)合成。根據(jù)以上兩式計(jì)算出的常用誤差公式列在表2-5-1中，以供參考。表2-5-1 幾種常用的誤差傳遞公式函數(shù)關(guān)系誤差的一般傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式N=A+B或 N=A

19、-BN=A·B或N=A/BN=K·AN=sinA 2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式 若各個(gè)獨(dú)立的直接測量值的絕對誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)偏差，等，則間接測量值N的誤差估算需要用誤差的方和根合成，即絕對誤差為 （2-5-6）和相對誤差為 （2-5-7）以上兩式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式，或稱為誤差的方和根合成。幾種常用的標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式列于表（2-5-1）中，供需要時(shí)查用。從表（2-5-1）中可見：1）對于和或差函數(shù)關(guān)系，函數(shù)N的絕對誤差都是直接測量值標(biāo)準(zhǔn)誤差的“方和根”。所以，應(yīng)先計(jì)算出N的絕對誤差，即，然后再按計(jì)算N的相對誤差EN。2）對于乘或除函數(shù)關(guān)系，函數(shù)N的相對誤差EN都是各直接測量值相

20、對誤差的“方和根”。所以，應(yīng)先計(jì)算出N的相對誤差EN，再按計(jì)算函數(shù)N的絕對誤差，即。誤差傳遞公式除了可以用來估算間接測量值N的誤差之外，還有一個(gè)重要的功能，就是用它來分析各直接測量值的誤差對最后結(jié)果誤差影響的大小。對于那些影響大的直接測量值，預(yù)先考慮措施，以減小它們的影響，為合理選用儀器和實(shí)驗(yàn)方法提供依據(jù)。26 不確定度與測量結(jié)果表述用標(biāo)準(zhǔn)誤差來評估測量結(jié)果的可靠程度，這種做法不盡完善，往往有可能遺漏影響測量結(jié)果準(zhǔn)確性的因素，例如未定的系統(tǒng)誤差、儀器誤差等。鑒于上述原因，為了更準(zhǔn)確地表述測量結(jié)果的可靠程度，提出了采用不確定度的概念。1不確定度概念一個(gè)完整的測量結(jié)果不僅要給出該測量值的大小（即數(shù)

21、值和單位），同時(shí)還應(yīng)給出它的不確定度。用不確定度來表征測量結(jié)果的可信懶程度。于是測量結(jié)果應(yīng)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)形式：（單位）， （2-6-1）式中為測量值，對等精度多次測量而言，為測量的算術(shù)平均值；U為不確定度，Ur 為相對不確定度。“不確定度”（Uncertainty）一詞是指可疑、不能肯定、或測不準(zhǔn)的意思。不確定度是測量結(jié)果所攜帶的一個(gè)必要參數(shù)，以表征測量值的分散性、準(zhǔn)確性和可靠程度。嚴(yán)格的測試報(bào)告在給出測量結(jié)果的同時(shí)，應(yīng)有詳盡的測試參數(shù)，并給出相應(yīng)的不確定度。不確定度越小，表示對測量對象屬性的了解越透徹，測量結(jié)果的可信度越高，使用價(jià)值也越高。測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)形式示例：普朗克常數(shù) h=(6.62607

22、75±0.0000004)×10-34J·s Ur=±0.60×106 基本電荷 e=(1.60217733±0.00000033)×10-19C Ur=±0.30×10-6 2、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量不確定度的表達(dá)通常，測量不確定度由幾個(gè)分量構(gòu)成。按數(shù)值的估算方法不同可將分量分為兩類：A類：在一系列重復(fù)測量中，用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的分量，它的表征值用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示，即 （2-6-2）需要指出，另外還有一個(gè)表征值，稱為自由度，在此簡略。B類：用其它方法計(jì)算的分量。在僅考慮儀器誤差的情況下，B類分量的表征值為 u= （

23、2-6-3）式中是指計(jì)量器具的示值誤差；C是一個(gè)大于1的，且與誤差分布特性有關(guān)的系數(shù)。若儀器誤差的概率密度函數(shù)是遵循均勻分布規(guī)律的，。本課程所用計(jì)量器具和儀表多數(shù)屬于這種情況。實(shí)際上，B類分量考慮的因素很多，很復(fù)雜。如用統(tǒng)計(jì)方法無法發(fā)現(xiàn)的固有系統(tǒng)誤差。這要通過對測量過程的仔細(xì)分析、根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)信息來估算。有關(guān)信息包括過去測量的數(shù)據(jù)、對儀器性能的了解、儀表的技術(shù)指標(biāo)、儀器調(diào)整不垂直、不水平或不對準(zhǔn)等因素引入的附加誤差，檢定書提供的數(shù)據(jù)以及技術(shù)手冊查到的的參考數(shù)據(jù)的不確定度等。（2-6-3）只是一種簡化處理。A類和B類分量采用方和根合成，得到合成的不確定度為 （2-6-4）若A類分量Si有n個(gè)；

24、B類分量uj有m個(gè)，那么用方和根合成所得到的合成的不確定度為 （2-6-5）3間接測量的不確定度不確定度的傳遞公式與標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式形式上完全相同,它們同樣是方和根合成,只要將(2-5-6)和(2-5-7)中的標(biāo)準(zhǔn)誤差改寫成不確定度,即可得到間接測量量N不確度的計(jì)算式 (2-6-6)和相對不確定度計(jì)算式 · (2-6-7)式中N=f（A，B，C，H），N是幾個(gè)相互獨(dú)立的直接測量量A，B，C，H的函數(shù)，它們的不確定度分別為UA，UB，UC，UH等。，稱之為各直接測量量的不確定度傳遞系數(shù)。4單次直接測量量的不確定度估計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)，常常由于條件不許可，或者某一量的不確定度對整個(gè)測量的總不確度

25、影響甚微，因而測量只進(jìn)行了一次。這時(shí)，對于此量的不確定度只能根據(jù)儀器誤差、測量方法、實(shí)驗(yàn)條件以及實(shí)驗(yàn)者技術(shù)水平等實(shí)際情況，進(jìn)行合理估計(jì)，不能一概而論。一般情況下的簡單做法是采用儀器誤差或其倍數(shù)的大小作為單次測量量的不確定度的估計(jì)值。5計(jì)算示例例1、在室溫230C下，用共振干涉法測量超聲波在空氣中傳播時(shí)的波長，數(shù)據(jù)見表2-6-1。下面用列表法計(jì)算超聲波波長的平均值和不確定度。表2-6-1（cm）(×10-4cm)(×10-4cm)210.68721010020.6854-86430.6840-2248440.68801832450.6820-42176460.68801832

26、470.6852-1010080.686863690.688018324100.687014196=0.6862=3716解：波長平均值為 =0.6862cm任意一次波長測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0020cm實(shí)驗(yàn)裝置的游標(biāo)精度值=0.0020cm波長不確定度的A類分量=0.0020cm,B類分量=0.0012cm。于是波長的不確定度為=0.0023cm和相對不確定度為結(jié)果：在室溫230C下，用共振干涉法測量超聲波在空氣中傳播時(shí)的波長=（0.6862±0.0023）cm， 例2、上題中，如果已測得超聲波頻率為 試計(jì)算超聲波在23空氣中的傳播速度及其不確定度。解：超聲波在23空氣中的傳播速度為

27、 根據(jù)不確定度傳遞公式（2-6-7）可以得到超聲波傳播速度的相對不確定度 結(jié)果：超聲波在23空氣中的傳播速度為v=(348.0±1.2)m/s， Urv=±0.34%說明：（1）不確度只能在數(shù)量級上對測量結(jié)果的可靠程度作出一個(gè)恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)，因此它的數(shù)值沒有必要計(jì)算得過于精確。通常約定不確度和誤差最多用兩位數(shù)字表示，而且，在運(yùn)算過程中只需取兩位（或最多取三位）數(shù)字計(jì)算即可滿足要求。（2）不確定度的歷史發(fā)展。長期以來，全世界對不確定度的表述，方法頗多，存在分歧與混亂。為尋求統(tǒng)一，有利國際交流，1978年國際計(jì)量大會（CIPM）委托國際計(jì)量局（BIPM）聯(lián)合各國國家計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室一

28、起共同研究，并制定一個(gè)表述不確度的指導(dǎo)性文件。國際計(jì)量局在調(diào)查和征求意見的基礎(chǔ)上，1998年召集專家會議，制定出實(shí)驗(yàn)不確定度的規(guī)定建議書INC-1（1980），簡單扼要地?cái)⑹?，?shí)驗(yàn)不確定度的表述，以此作為各國計(jì)算不確定度的共同依據(jù)。這建議書1981年被（CIPM）采納，并于1986年再次被肯定與充實(shí)。在此基礎(chǔ)上，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）牽頭，國際法制計(jì)量組織（OIML）、國際電工委員會（IEC）和國際計(jì)量局等一起參與，制定出一個(gè)更詳細(xì)、更實(shí)用、具有國際指導(dǎo)性的文件測量不確定度表達(dá)指南19922。1993年除上述四個(gè)組織外，還有國際理論與應(yīng)用物理聯(lián)合會（IUPAP）、國際理論與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會（I

29、UPAC）等一些國際組織批準(zhǔn)實(shí)行此指南，作為制定檢定規(guī)程和技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)必須遵循的文件。測量不確定度表達(dá)指南1992對一些基本概念和不確定度表達(dá)給予了新的、具有發(fā)展性的定義與計(jì)算方法，是國際和國內(nèi)各行各業(yè)表述不確定度最具權(quán)威的依據(jù)。1986年我國計(jì)量科學(xué)院發(fā)出了采用不確定度作為誤差數(shù)字指標(biāo)名稱的通知。1992年10月1日我國開始執(zhí)行國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJG1027-91測量誤差及數(shù)據(jù)處理（試行），規(guī)定測量結(jié)果的最終表示形式用總不確定度或相對不確定度表達(dá)。需要指出的是，有關(guān)不確定度的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，在本課程教學(xué)中要準(zhǔn)確地用不確定度來評定測量結(jié)果目前尚有困難，但是，為了執(zhí)行

30、國家技術(shù)規(guī)范又易于初學(xué)者接受，我們在保證科學(xué)性的前提下，對不確定度的計(jì)算方法作了適當(dāng)?shù)暮喕幚?，把教學(xué)重點(diǎn)放在建立必要的概念上，使學(xué)生對不確定度概念有一個(gè)初步的基礎(chǔ)。以后工作需要時(shí)，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)3，繼續(xù)深入與提高。參考文獻(xiàn)2 International Organization for Standardization. GUIDE OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENT. First edition 1992國際標(biāo)準(zhǔn)化組織 . 測量不確定度表達(dá)指南. 肖明耀等譯 . 北京：中國計(jì)量出版社，19943 劉智敏等編著· 測量不確定度手冊 . 北京：中國計(jì)量出版社，

31、199727 有效數(shù)字實(shí)驗(yàn)所處理的數(shù)值有兩種。一種是不確定度為零的準(zhǔn)確值（如測量的次數(shù)，公式中的純數(shù)等）；另一種是測量值。測量值總有不確定度，因此它的數(shù)字就不應(yīng)無止境地寫下去。例如，測量值=1.19423g·cm-3，其不確定度?？梢姕y量值小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字已是可疑，我們認(rèn)為這位數(shù)字“4”是不可靠的，在它后面的數(shù)字就沒有再表示出來的必要。上面的結(jié)果 應(yīng)寫成，我們把這個(gè)測量值中前面的三位數(shù)字“1”、“1”和“9”稱為可靠數(shù)字，而最后一位與不確定度對齊的數(shù)字“4”稱為可疑數(shù)字。又例如在直接測量中，如圖2-7-1所示，用最小刻度為1mm的米尺去測量一塊鋁板的厚度，其值為26.3mm。這三位

32、數(shù)字中，前兩位“26”是準(zhǔn)確讀出來的，是“可靠數(shù)字”，最后一位“3”是估讀出來的，換一個(gè)人也可能估讀為“2”或“4”，這類估讀出來的數(shù)字就稱為“可疑數(shù)字”。通常規(guī)定數(shù)值中的可靠數(shù)字與所保留的一位可疑數(shù)字，統(tǒng)稱為有效數(shù)字。上述的第一個(gè)例子中，測量值為四位有效數(shù)字，第二個(gè)例子為三位有效數(shù)字。如果用游標(biāo)尺（游標(biāo)精度值為0.02mm）去測量上述鋁板的寬度，得到的測量值為26.30mm。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，26.30和26.3是相等的數(shù)值，似乎前者小數(shù)點(diǎn)最后的“0”沒有保留的必要。然而從測量誤差的觀點(diǎn)看，它表示測量可以進(jìn)行到×10-2mm級，只不過它的讀數(shù)剛好是零而已。同樣一個(gè)測量對象，用米尺測量

33、其寬度為26.3mm，為三位有效數(shù)字；而用游標(biāo)尺測量，其寬度為26.30mm，為四位有效數(shù)字。所以，決不能把測量值26.30mm和26.3mm等同，前者比后者準(zhǔn)確。由此可見，在直接測量中，測量儀器的最小刻度（或儀器精度）與測量值的有效數(shù)字位數(shù)有著密切的關(guān)系。對同一測量對象而言，儀器精度越高，測量值的有效數(shù)字越多。切記，在記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)候，小數(shù)點(diǎn)后面的零是有效數(shù)字，不能任意刪除或添加。必需注意，十進(jìn)制單位變換只涉及小數(shù)點(diǎn)位置改變，而不允許改變有效數(shù)字的位數(shù)。例如，1.3m為兩位有效數(shù)字，在換算成km或mm時(shí)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法（用10的不同次冪表示）寫成為1.3m=1.3×10-3km

34、=1.3×103mm如把1.3m寫成0.0013km，它仍然是兩位有效數(shù)字，所以，表示小數(shù)點(diǎn)位置的“0”不是有效數(shù)字。但是，1.3m決不能寫成1300mm，因?yàn)楹笳呤撬奈挥行?shù)字。由于不確定度是根據(jù)概率理論估算得到的，它只是在數(shù)量級上對實(shí)驗(yàn)結(jié)果恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)。因此，把它們的結(jié)果計(jì)算得十分精確是沒有意義的?；谶@一點(diǎn)，我們規(guī)定不確定度和誤差只用一位（最多兩位）數(shù)字表示。當(dāng)不確定度算出來以后，根據(jù)測量值的最后一位（或兩位）數(shù)字應(yīng)與不確定度對齊的原則，決定測量值的有效數(shù)字，寫出測量結(jié)果。示例見上節(jié)。28 簡算方法和數(shù)字取舍規(guī)則1、簡算方法在數(shù)據(jù)運(yùn)算中，首先應(yīng)保證結(jié)果的準(zhǔn)確程度，在此前提下，盡可

35、能節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，免得浪費(fèi)精力。運(yùn)算時(shí)應(yīng)使結(jié)果具有足夠的有效數(shù)字，不要少算，也不要多算。少算會帶來附加誤差，降低結(jié)果的準(zhǔn)確程度；多算是沒有必要的，算得位數(shù)很多，但決不可能減少誤差。有效數(shù)字運(yùn)算取舍的原則是，運(yùn)算結(jié)果保留一位（最多兩位）可疑數(shù)字。（1）加減運(yùn)算 幾個(gè)數(shù)相加減時(shí)，最后結(jié)果的可疑數(shù)字與各數(shù)值中最先出現(xiàn)的可疑數(shù)字對齊。下面示例中數(shù)字下加下劃線的是可疑數(shù)字。例1、 已知Y=A+BC，式中A=（103.3±0.5）cm，B=（13.561±0.012）cm，C=（1.652±0.005）cm。 試問計(jì)算結(jié)果Y值應(yīng)保留幾位有效數(shù)字？解： 先觀察具體的運(yùn)算過程。 1

36、03.3 103.3 + 13.561 可簡化為 + 13.561 116.861 116.9可見各數(shù)相加，和的有效數(shù)字與最先出現(xiàn)的可疑數(shù)字0.3對齊 116.9 116.9 1.652 可簡化為 1.652 115.248 115.2可見，一個(gè)數(shù)字與一個(gè)數(shù)字相加減，其結(jié)果 必然是可疑數(shù)字。本例各數(shù)值中最先出現(xiàn)可疑數(shù)字的位置在小數(shù)點(diǎn)后第一位（即103.3）。按照運(yùn)算結(jié)果只保留一位可疑數(shù)字的原則，上例的簡算方法為 Y=103.3+13.61.7=115.2cm結(jié)果表示為Y=(115.2±0.5)cm， UY/Y=0.4%(2)乘除運(yùn)算 幾個(gè)數(shù)相乘除，計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與各數(shù)值中有效

37、數(shù)字位數(shù)最少的一個(gè)相同（或最多再多保留一位）。例2、1.1111×1.11=? 試問計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位有效數(shù)字？解：用計(jì)算器計(jì)算可得，1.1111×1.11=1.233321。但是此結(jié)果究竟應(yīng)取幾位有效數(shù)字才合理。看一下具體運(yùn)算過程便一目了然。見下式：1.1111× 1.111 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 2 3 3 3 2 1因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)字與一個(gè)可疑數(shù)字相乘，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字。所以，由上面的運(yùn)算過程可見，小數(shù)點(diǎn)后面第二位的“3”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留一位有效數(shù)字的原則，計(jì)算結(jié)果應(yīng)寫成1.23，三位有效數(shù)字。這與上述的乘除

38、簡算法則是一致的。即在此例中，五位有效數(shù)字與三位有效數(shù)字相乘，計(jì)算結(jié)果為三位有效數(shù)字。除法是乘法逆運(yùn)算，因此不再專門說明。對于一個(gè)間接測量量，如果它是由幾個(gè)直接測量值相乘除而計(jì)算得到的，那么，在進(jìn)行測量時(shí)應(yīng)考慮各個(gè)直接測量值的有效數(shù)字位數(shù)要基本相仿，或者說它們的相對不確定度要比較接近。如果相差懸殊，那么，精度過高的測量就失去意義。例3、在長度測量中，用米尺、游標(biāo)卡尺和螺旋測微計(jì)分別測量得一個(gè)長方體的三個(gè)邊長為A =（13.79±0.02）cm，B =（3.635±0.005）cm，C =（0.4915±0.0005）cm。試計(jì)算長方體的體積V。解：根據(jù)簡算方法，長

39、方體體積為 V=A·B·C=13.79×3.635×0.4915=24.64cm3 由誤差傳遞公式算得相對不確定度為 和 UV=25×0.22%=0.0550.06cm2結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，長方體積 V=(24.64 ±0.06)cm3 , 從上例可見，用簡算方法與利用不確定度傳遞公式計(jì)算得到的測量結(jié)果表示是一致的。實(shí)驗(yàn)中測量三個(gè)邊長分別采用不同精度的量具，其目的是為了使三個(gè)邊長測量值有相同的有效數(shù)字位數(shù)，相對不確定度很接近。（3）乘方運(yùn)算乘方運(yùn)算的有效數(shù)字位數(shù)與其底數(shù)相同。（4）對數(shù)、三角函數(shù)和n次方運(yùn)算上面所述的簡算方法已不適用。

40、它們的計(jì)算結(jié)果必須按照不確定度傳遞公式計(jì)算出函數(shù)值的不確定度，然后，根據(jù)測量結(jié)果最后一位有效數(shù)字與不確定度對齊的原則來決定有效數(shù)字。例4、A=3000±2計(jì)算： ，由計(jì)算器計(jì)算得 按照傳遞公式， Uy=UA/A=2/3000=0.0007結(jié)果：=8.0064±0.0007, Uy/y=0.009%計(jì)算： ，由計(jì)算器得 結(jié)果：Z=14.422±0.003 ， UZ/Z=0.021%例5、計(jì)算： ，由計(jì)算器計(jì)算得 按照傳遞公式，結(jié)果：x=(0.86603±0.00026) ，Ux/x=0.03%值得指出，上述的簡算方法不是絕對的。一般說來，為了避免在運(yùn)算過程

41、中數(shù)字的取舍而引入計(jì)算誤差，在運(yùn)算過程中應(yīng)多保留一位為妥，但最后結(jié)果仍應(yīng)刪去，以間接測量值最后一位數(shù)字與不確定度對齊的原則為準(zhǔn)。2、數(shù)字取舍規(guī)則數(shù)字的取舍采用“四舍六入五湊偶”規(guī)則，即：（1）被舍去數(shù)字的最高位為“4”或“4”以下的數(shù)字，則“舍”；若為“6”或“6”以上的數(shù)字，則“入”。（2）欲舍去數(shù)字的最高位為“5”時(shí)，前一位為奇數(shù)，則“入”；為偶數(shù)，則“舍”。即通過這種取舍，總是把前一位數(shù)湊成偶數(shù)。故又稱之為“單進(jìn)雙不進(jìn)”規(guī)則。這樣可以使“入”和“舍”的機(jī)會均等，可避免用“四舍五入”規(guī)則處理較多數(shù)據(jù)時(shí)，因入多舍少而引入計(jì)算誤差。舉例說明如下，將下列數(shù)據(jù)取舍到小數(shù)后第二位： 5.0661 5

42、.07 5.0645 5.06 5.0650 5.06 5.0554 5.06數(shù)據(jù)運(yùn)算是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的一個(gè)中間過程。簡算方法和數(shù)字取舍規(guī)則的采用，目的是保證測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不致因數(shù)字取舍不當(dāng)而受影響。當(dāng)今人們已普遍使用計(jì)算器計(jì)算數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果可以給出8到10位數(shù)字，但是，實(shí)驗(yàn)者必須會正確地判別實(shí)驗(yàn)結(jié)果是幾位有效數(shù)字，怎樣用標(biāo)準(zhǔn)形式來表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。29 數(shù)據(jù)處理方法實(shí)驗(yàn)必然要采集大量數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)者需要對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算與分析，從而尋找出測量對象的內(nèi)在規(guī)律，正確地給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。所以說，數(shù)據(jù)處理是實(shí)驗(yàn)工作不可缺少的一部份。下面介紹處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)常用的四種方法。1、列表法對一個(gè)物理量進(jìn)行多次測

43、量，或者測量幾個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，往往借助于列表法把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列成表格。它的好處是，使大量數(shù)據(jù)表達(dá)清晰醒目，條理化，易于檢查數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)問題，避免差錯，同時(shí)有助于反映出物理量之間的關(guān)系。列表格沒有統(tǒng)一的格式，但在設(shè)計(jì)表格時(shí)要求能充分反映上述優(yōu)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)者要注意以下各點(diǎn)：(1) 表頭必須注明表格名稱和相應(yīng)物理量的單位。（2）表內(nèi)各欄目的順序充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計(jì)算順序，力求簡明、齊全、有條理。（3）反映測量值函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列。2、圖解法圖線能夠明顯地表示出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系，并且通過它可以找出兩個(gè)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。所以圖解法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重要方法之一，它在科

44、學(xué)技術(shù)上很有用處。用圖解法處理數(shù)據(jù)，首先要求畫出合乎規(guī)范的圖線。為此要注意下列幾點(diǎn)：1）作圖紙的選擇 作圖紙有直角坐標(biāo)紙（即毫米方格紙），對數(shù)坐標(biāo)紙，半對數(shù)坐標(biāo)紙和極坐標(biāo)紙等幾種，根據(jù)作圖需要進(jìn)行選擇。在物理實(shí)驗(yàn)中比較常用的毫米方格紙（每厘米為一大格，其中又分成十小格）。由于圖線中直線最易繪畫，而且直線方程的兩個(gè)參數(shù)斜率和截距也較易算得。所以，對于兩變量之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的情況，如它們之間的函數(shù)關(guān)系是已知的或者準(zhǔn)備用某種關(guān)系式去擬合曲線時(shí)，盡可能通過變量變換將非線性的函數(shù)曲線轉(zhuǎn)變線性函數(shù)的直線。下面是幾種常見的變換方法。1）PV=C（C為常數(shù)），令u=1/V，則 P=Cu?？梢奝與u為線性

45、關(guān)系。2）T=。令y=T2 ,則y=。 y與為線性關(guān)系，斜率為。3）y=axb，式中a和b為常數(shù)。等式兩邊取對數(shù)得，log y=log a+blog x。于是log y與log x為線性關(guān)系，b為斜率，log a為截距。（2）坐標(biāo)比例的選取與標(biāo)度 作圖時(shí)通常以自變量作橫坐標(biāo)（X軸），以因變量作縱坐標(biāo)（y軸），并標(biāo)明坐標(biāo)軸所標(biāo)明的物理量（或相應(yīng)的符號）和單位。坐標(biāo)比例的選取，原則上要做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應(yīng)是可靠的。坐標(biāo)比例選得不適當(dāng)時(shí)，若過小會損害數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度；若過大會夸大數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。并且使點(diǎn)子過于分散對確定圖線的位置造成困難。對于直線，其傾斜率最好在40o60o之間，以免圖線偏于一方。

46、坐標(biāo)比例的選取應(yīng)以便于讀數(shù)為原則，常用比例為1：1，1：2，1：5等系列（包括1：0.1，1：10），切勿采用復(fù)雜的比例關(guān)系，如1：3，1：7，1：9，1：11，1：13等。這樣不但繪制不便，而且讀數(shù)困難和易出差錯。縱橫坐標(biāo)的比例可以不同，并且標(biāo)度也不一定從零開始?？梢杂眯∮趯?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標(biāo)軸的起始點(diǎn)，用大于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最高值的某一數(shù)據(jù)作為終點(diǎn)，這樣圖紙就能被充分利用。坐標(biāo)軸上每隔一定間距（如25cm）應(yīng)均勻地標(biāo)出分度值，標(biāo)記所用的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。（3）標(biāo)出數(shù)據(jù)點(diǎn) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)用“+”符號標(biāo)出，符號的交點(diǎn)正是數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置。同一張圖上如有幾條實(shí)驗(yàn)曲線，各條實(shí)驗(yàn)

47、曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)可用不同的符號（如×，8等）標(biāo)出，以示區(qū)別。（4）描繪曲線 由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪出平滑的實(shí)驗(yàn)曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等連接，要盡可能使所描繪的曲線通過較多的測量點(diǎn)。對于那些嚴(yán)重偏離曲線的個(gè)別點(diǎn)，應(yīng)檢查標(biāo)點(diǎn)是否錯誤。若沒有錯誤，在連線時(shí)可舍去不予考慮。其它不在圖線上的點(diǎn)應(yīng)均勻分布在曲線兩旁。對于儀器儀表的校正曲線和定標(biāo)曲線，連接時(shí)應(yīng)將相鄰的兩點(diǎn)連成直線，整個(gè)曲線呈折線形狀。（5）注解和說明 在圖紙上要寫明圖線的名稱、作圖者姓名、日期以及必要的簡單說明（如實(shí)驗(yàn)條件；溫度、壓力等）。直線圖解法首先是求出斜率和截距，進(jìn)而得出完整的線性方程。其步驟如下：1）選點(diǎn)。用兩點(diǎn)法

48、，因?yàn)橹本€不一定通過原點(diǎn)，所以不能采用一點(diǎn)法。在直線上取相距較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2).此兩點(diǎn)不一定是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),并用與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)不同的記號表示,在記號旁注明其坐標(biāo)值。如果所選兩點(diǎn)相距過近，計(jì)算斜率時(shí)會減少有效數(shù)字的位數(shù)。不能在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍以外選點(diǎn)，因?yàn)樗褵o實(shí)驗(yàn)依據(jù)。2）求斜率。 直線方程為 y=+bx，將A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入，便可算出斜率。即 （單位）3）求截距。 若橫坐標(biāo)起點(diǎn)為零，則可將直線用虛線延長得到與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，便可求出截距， （單位）下面介紹用圖解法求兩物理量線性關(guān)系的實(shí)例。例題：用惠斯登電橋測定銅絲在不同溫度下的電阻值，數(shù)據(jù)記錄見表2-9-1。求銅絲的電阻

49、與溫度的關(guān)系。表2-9-1 銅絲的電阻與溫度的關(guān)系溫度t ( )電阻R（）溫度t ( )電阻R（）15.52.80740.33.05924.02.89745.03.10726.52.91949.73.15531.12.96954.93.20735.03.00360.03.261解 以電阻R為縱坐標(biāo)，溫度t為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)選取2mm代表0.010,橫坐標(biāo)2mm代表1.00C，繪制銅絲的電阻與溫度的關(guān)系曲線（見圖2-9-1）。由圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)分布可知，銅絲電阻與溫度為線性關(guān)系，滿足下面的線性方程，即 R=+t在圖線上取兩代表點(diǎn)（t1,R1）和(t2,R2)代入上式，得 R1 =+ t1 R2=+ t2

50、從而可以計(jì)算出線性方程的斜率和截距a，即 =和 =代表點(diǎn)的選取應(yīng)考慮到它們之間的距離盡可能大些。這樣不致于在兩數(shù)相減（R2R1）和（t2t1）時(shí)，有效數(shù)字減少，而使得結(jié)果準(zhǔn)確度降低。為此，取t1=20.0，R1=2.853和t2=60.0，R2=3.255代入得 =0.0101/ =2.652所以，銅絲電阻與溫度的關(guān)系為R=2.652+0.0101t （）3逐差法在兩個(gè)變量間存在多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對應(yīng)項(xiàng)分別相減，然后再求平均值。下面舉例說明。在拉伸法測定鋼

51、絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)中，已知望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)x和所加砝碼質(zhì)量m之間滿足線性關(guān)系，m=kx，式中k 為比例常數(shù)。等差地改變砝碼個(gè)數(shù)（每個(gè)砝碼質(zhì)量為0.500kg），測得下列一組數(shù)據(jù)（見表2-9-2），計(jì)算k的數(shù)值。表2-9-2次數(shù) 砝碼質(zhì)量（）標(biāo)尺讀數(shù)（cm）10×0.50015.9521×0.50016.5532×0.50017.1843×0.50017.8054×0.50018.4065×0.50019.0276×0.50019.6387×0.50020.2298×0.50020.84109×

52、0.50021.47如果逐項(xiàng)相減，然后再計(jì)算每增加0.500砝碼標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值，即 于是比例系數(shù)這樣，中間測量值共7個(gè)數(shù)據(jù)全部未用上，只用了始末兩個(gè)數(shù)據(jù)，它與一次增加9個(gè)砝碼的單次測量等價(jià)。實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度降低了。若改用多項(xiàng)間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成后組（x10,x9,x8,x7,x6）和前組（x5,x4,x3,x2,x1）,然后對應(yīng)項(xiàng)相減求平均值，即 于是，是每增加5個(gè)砝碼，標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值。這樣全部數(shù)據(jù)都用上，相當(dāng)于重復(fù)測量5 次，應(yīng)該說，這個(gè)計(jì)算結(jié)果比前面的計(jì)算結(jié)果要準(zhǔn)確些，它保持了多次測量的優(yōu)點(diǎn)，減少了測量誤差。4最小二乘法（線性回歸）將實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫成圖線，可以形象地表示出物理規(guī)律

53、，但圖線的表示往往不如用函數(shù)表示那樣明確和定量化。另外，用圖解法處理數(shù)據(jù)，由于繪制圖線有一定的主觀隨意性，同一組數(shù)據(jù)用圖解法可能得出不同的結(jié)果。為此，下面介紹一種利用最小二乘法來確定一條最佳直線的方法，從而準(zhǔn)確地求得兩個(gè)測量值之間的線性函數(shù)關(guān)系（即經(jīng)驗(yàn)方程）。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)方程，稱之為方程的回歸?；貧w法首先要確定函數(shù)的形式。函數(shù)形式的確定一般是根據(jù)理論的推斷或者從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢而推測出來。如果推斷物理量x和y之間的線性關(guān)系，則可把函數(shù)形式寫成 y= A + Bx (2-9-1)自變量只有x一個(gè)，故稱為線性回歸。這是方程回歸中最簡單最基本的問題。回歸法可以認(rèn)為就是用實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)來確定方程中的待定系數(shù)。在一元線性回歸中確定