1、第六章 向量空間一 綜述向量空間是高等代數(shù)最基本的概念之一,它用公理化方法首次引進(jìn)了一個(gè)代數(shù)系,而這種公理化方法在高等代數(shù)以后各章以及在近世代數(shù)中將屢次遇到,它是近代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方法.本書(shū)以后各章如線性變換、歐幾里德空間等概念都是直接建立在向量空間定義的基礎(chǔ)上的.因此本章內(nèi)容又是以后各章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).二 教學(xué)目的 使學(xué)生在集合、映射概念的基礎(chǔ)上,理解并掌握向量空間的定義、性質(zhì)和構(gòu)造,并培養(yǎng)學(xué)生用公理化方法研究代數(shù)系的能力.三 重點(diǎn)、難點(diǎn)教材重點(diǎn)：向量空間的定義、性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：向量空間的定義6.1 定義和例子一 教學(xué)思考向量空間的定義是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn),是學(xué)生首次接觸的一個(gè)用公理化方法引進(jìn)的

2、代數(shù)系.這一節(jié)的教學(xué)目的,不僅使學(xué)生正確理解和掌握向量空間的概念,而且應(yīng)該使學(xué)生初步了解以集合論為基礎(chǔ)運(yùn)用公理化方法從具體的代數(shù)系抽象出一般的代數(shù)系的方法和意義,對(duì)此要心中有數(shù),以便在教學(xué)中把傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力結(jié)合起來(lái).二 內(nèi)容和要求1內(nèi)容：定義、例子及簡(jiǎn)單性質(zhì)2要求：掌握向量空間的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì),初步了解公理化的思想方法.三 教學(xué)過(guò)程1 引例 三維幾何空間的實(shí)質(zhì)及更多的類(lèi)似結(jié)構(gòu)的代數(shù)對(duì)象（略）.2 定義及例子定義1 令是一個(gè)數(shù)域,中的元素用小寫(xiě)拉丁字母表示；令是一個(gè)非空集合,中元素用小寫(xiě)希臘字母表示.我們把中的元素叫做向量,中的元素叫做純量.若下列條件滿足,就稱是上的一個(gè)向量空間. 1）在

3、中定義了一個(gè)叫加法,對(duì)中任意兩個(gè)向量都有中唯一確定的向量與它們對(duì)應(yīng),這個(gè)向量叫做與的和,記為.2）有一個(gè)純量乘法,對(duì)于中的每一個(gè)數(shù)和中每一個(gè)向量,有中唯一確定的向量與它們對(duì)應(yīng),這個(gè)向量叫做與的積,記為.3）向量的加法和純量乘法滿足下列算律：有（1）； （2）；（3）在中存在一個(gè)向量叫零向量,積作；它滿足對(duì) 有；（4）對(duì),使得；這樣的叫做的負(fù)向量；（負(fù)向量的定義）（5）； （6）；（7）； （8）.3 向量空間的簡(jiǎn)單性質(zhì) 1）由于向量的加法滿足結(jié)合律,所以任意個(gè)向量相加有唯一確定的含義且可寫(xiě)為不加括號(hào)的和的形式；再者由于加法滿足結(jié)合律和交換律,所以在求任意個(gè)向量的和時(shí)可以任意交換被加項(xiàng)的次序.2

4、）命題（零向量、負(fù)向量的唯一性）在一個(gè)向量空間中,零向量是唯一的；對(duì),的負(fù)向量是由唯一確定的.（同一法,略）3）命題 對(duì),有,； ；或.4 介紹一種寫(xiě)法-（向量矩陣的記法）設(shè),把它們排成一行寫(xiě)成一個(gè)以向量為元素的矩陣（）,設(shè)；定義（）,其中.即按照數(shù)域上矩陣的乘法定義（）右乘以（這里約定對(duì),有）.并且設(shè),由向量與純量乘法所滿足的算律有：（） ,即結(jié)合律成立.6.2 子空間一 教學(xué)思考 1向量空間一章主要討論向量空間的運(yùn)算、性質(zhì)和結(jié)構(gòu),一般是通過(guò)向量空間自身（基、維數(shù)等）或其子結(jié)構(gòu)（子空間）來(lái)討論的,這正是代數(shù)學(xué)的基本方法.因而本節(jié)的概念（子空間）和結(jié)論在理論上與方法上是重要的.2由于本章與以后

5、內(nèi)容的（抽象）特點(diǎn),需重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯論證能力,除了在教學(xué)中經(jīng)常結(jié)合問(wèn)題講解分析解決問(wèn)題的一般思想方法外,還需對(duì)以后教學(xué)有重要影響的幾類(lèi)具體問(wèn)題的論證思路作出明確的交代.本章主要是“子空間的判定”.3內(nèi)容作如下調(diào)整,即先定義子空間,再介紹為何稱為子空間,然后介紹子空間的判定和運(yùn)算.二 內(nèi)容要求1內(nèi)容：子空間的定義、子空間的交與和.2要求：理解和掌握向量空間的子空間的概念和判定方法、子空間的交與和的概念.三 教學(xué)過(guò)程1子空間的概念及判定（1）定義定義1 設(shè)是數(shù)域上的向量空間,是的非空子集,若對(duì)都有,則稱對(duì)的加法封閉.若對(duì)都有,則稱對(duì)純量乘法封閉.定義2 令是數(shù)域上的向量空間的一個(gè)非空子集,若對(duì)的

6、加法和純量乘法封閉,則稱是的一個(gè)子空間.TH設(shè)是數(shù)域上的向量空間的一個(gè)非空子集,若對(duì)的加法和純量乘法封閉,則本身也作成上一個(gè)向量空間.（2）子空間的判定TH向量空間的一個(gè)非空子集是的一個(gè)子空間的充要條件是對(duì)都有.2子空間的交與和定義3 設(shè)都是的子空間,則稱為兩個(gè)子空間的交.命題 也是的子空間.定義4 設(shè)都是的子空間,由所有能表示為的向量組成的集合成為與的和,記為；即=.命題 也是的子空間.6.3 向量的線性相關(guān)性一 教學(xué)思考 1向量的線性相關(guān)性在研究向量空間的結(jié)構(gòu)時(shí)極為重要,并且學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感到困難的多是由于邏輯思維混亂以及推理不嚴(yán)謹(jǐn)造成的.2本節(jié)重要的在于講清諸概念,理清它們之間的關(guān)系,介紹

7、一般方法和特殊方法,補(bǔ)充一些容易混淆的問(wèn)題及一些錯(cuò)誤做法或判斷.二 內(nèi)容要求內(nèi)容：向量的線性相關(guān)性定義、性質(zhì)；替換定理；極大無(wú)關(guān)組.要求：正確理解和掌握向量組的線性相關(guān)性的概念及性質(zhì),掌握判斷向量組線性關(guān)系的一般方法和特殊方法.三教學(xué)過(guò)程 1線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) （1）線性組合、線性表示及其性質(zhì)定義1 設(shè)是向量空間的個(gè)向量,是數(shù)域中任意個(gè)數(shù),我們把和叫做向量的一個(gè)線性組合.定義2 若中向量可以表示成的線性組合,即使得,則稱可以由線性表示.（例略）性質(zhì) 命題向量組中每一向量都可以由這一組向量線性表示.命題若向量可以由線性表示,而每個(gè)可由線性表示,則可以由線性表示.（2）線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)及有關(guān)性質(zhì)

8、定義3 設(shè)是向量空間的個(gè)向量,若存在數(shù)域中個(gè)不全為0的數(shù)使得,則稱線性相關(guān),否則稱線性無(wú)關(guān).例1 若中有一個(gè)零向量,則一定線性相關(guān).例2 判斷中向量是否線性相關(guān)例3 在中對(duì)任意非負(fù)整數(shù),證明線性無(wú)關(guān).（解略）性質(zhì)命題 若向量組線性無(wú)關(guān),則它的任一部分向量組也線性無(wú)關(guān)；等價(jià)地：若有一部分組線性相關(guān),則整個(gè)向量組也線性相關(guān).（證略）命題 設(shè)線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則一定可以由線性表示,且表示法唯一.命題 向量（）線性相關(guān)的充要條件是其中某個(gè)向量是其余向量的線性組合.（證略）2向量組的等價(jià)、替換定理定義4 設(shè)和是中的兩個(gè)向量組,若每個(gè)都可以由線性表示,而每個(gè)也可以由線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).定理

9、（替換定理）設(shè)向量組（1）線性無(wú)關(guān),且每個(gè)都可以由（2）線性表示.則A）；B）必要時(shí)對(duì)（2）中向量重新編號(hào),使得用替換后得向量組（3）與（2）等價(jià).推論兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.3極大無(wú)關(guān)組（討論一個(gè)非零向量組的一種部分組）定義5 向量組是向量組的一個(gè)部分組（）,若滿足：1）線性無(wú)關(guān)；2）每個(gè)都可由線性表示.則稱是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組（簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組）.極大無(wú)關(guān)組的求法：1）一般方法設(shè)給定,求其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.先從考慮,若,保留；考慮看其是否線性無(wú)關(guān).無(wú)關(guān),保留；相關(guān)舍去,考慮看其是否線性無(wú)關(guān).依次類(lèi)推直至,便得.（由于考慮次序不同可得不同的極大無(wú)關(guān)組）例4 求向量

10、組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.（解略）2）特殊方法對(duì)中向量組,求極大無(wú)關(guān)組.首先：可以證明“命題”：“設(shè)的矩陣經(jīng)過(guò)行的初等變換得到的矩陣,則與的列向量有相同的線性關(guān)系.”（證略）這樣可得：A）求的線性關(guān)系,可以以列作矩陣,通過(guò)對(duì)作行初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,由的列向量的線性關(guān)系可得的列向量的線性關(guān)系.進(jìn)而B(niǎo)）用上述方法可求中向量組的極大無(wú)關(guān)組.例5 求中向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解：以為列作矩陣.設(shè)的列向量為,這樣與有相同的線性關(guān)系.容易看出線性無(wú)關(guān),且；因此線性無(wú)關(guān)且.于是是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.6.4 基與維數(shù)一 教學(xué)思考1向量空間的結(jié)構(gòu)中基起著重要作用,那么基概念的引入及作用為重點(diǎn).2從內(nèi)容上本節(jié)在于給出了基

11、與維數(shù)的概念后,解決基的存在性、個(gè)數(shù)及求法,要注意方法的總結(jié)歸納,特別是生成子空間.3從定義上維數(shù)依賴于基,即要求一個(gè)向量空間的維數(shù)須求一個(gè)基；但反過(guò)來(lái)從結(jié)果上看,若已知維數(shù)求基的話,即求一組個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.4本節(jié)及以后主要討論有限維向量空間,有所謂的維數(shù)公式,其反映有限維向量空間的兩個(gè)子空間與它們的和與交空間的維數(shù)之間的關(guān)系.在證明中,從“最小”的子空間的基出發(fā)逐步擴(kuò)充為所出現(xiàn)的子空間的基的方法是重要的.5基的存在性、個(gè)數(shù)、求法（生成子空間的基的求法）、余子空間等方法,注意總結(jié)歸納.二 內(nèi)容要求內(nèi)容：向量空間的基與維數(shù),有限維向量空間的維數(shù)公式,余子空間要求：正確理解和掌握向量空間的基與維

12、數(shù)的概念,余子空間的定義,了解基在向量空間的結(jié)構(gòu)中的重要作用,掌握求基、余子空間的一般方法和特殊方法.三 教學(xué)過(guò)程1引言我們知道當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多向量,那么它們之間的結(jié)構(gòu)如何？具體地,我們能否用中有限個(gè)向量表示所有向量.下面討論這個(gè)問(wèn)題.2一類(lèi)特殊子空間由一組向量生成的子空間定義1設(shè),那么由的線性組合組成的集合稱為由這一組向量生成的子空間.記為（）,其中叫做生成元.例1 中,則.例2 中,則.關(guān)于生成子空間有：定理設(shè),且不全為零向量,為其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,則（）=（）.3基與維數(shù)1）定義2 設(shè),若1）線性無(wú)關(guān)；2）都可由線性表示.則稱為的一個(gè)基.定義3 一個(gè)向量空間的一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)叫做的維數(shù)；

13、記為.規(guī)定零空間的維數(shù)為0.2）定理定理（基的作用）設(shè)為的一個(gè)基,則都可唯一地由線性表示.定理維向量空間任意多于個(gè)向量的向量組一定線性相關(guān).定理設(shè),線性無(wú)關(guān)（易知）,則總可以添加個(gè)向量,使得作為的一個(gè)基.特別的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)向量都可以取作基.例3 將擴(kuò)充為的一個(gè)基.解：（法一）思想方法：由定理的證明過(guò)程,取的一個(gè)基（如標(biāo)準(zhǔn)基）,然后用代替其中某兩個(gè)如,使得,線性無(wú)關(guān)；而代替哪兩個(gè),可用逐步添加法使添在上后線性無(wú)關(guān).（法二）思想方法：可以從出發(fā),利用為列再添上兩個(gè)作成一個(gè)4階方陣,使得,如,取,則為的一個(gè)基.定理設(shè)是上向量空間的兩個(gè)有限維子空間,則也是的一個(gè)有限維子空間,且：.推論 對(duì)維向量空間

14、的子空間有：.4余子空間（1） 定義：設(shè)是的子空間,若存在的子空間滿足：1）,2）；則稱是的一個(gè)余子空間,且稱是與的直和,記為. （2）定理定理設(shè),則對(duì)有可以唯一地表示成,其中.定理維向量空間的任一子空間都有余子空間.若是的一個(gè)余子空間,則.（3）上述概念及結(jié)論可擴(kuò)充至有限設(shè)是的子空間,若1）；2）,則稱是的直和,記為.且有類(lèi)似于定理6、7的結(jié)論. 6.5 坐標(biāo)一 教學(xué)思考 1對(duì)維向量空間取定基后,任意向量引入了坐標(biāo)的概念后,可將抽象的對(duì)象用具體的形式（中的向量）表示出來(lái),為我們研究抽象的向量空間提供了方便,如由此可建立與的同構(gòu),所以本節(jié)概念及結(jié)論在空間的討論中有重要的作用.2注意坐標(biāo)的概念依

15、賴于基的選擇,坐標(biāo)變換依賴于相應(yīng)的基變換；注意過(guò)渡矩陣的概念與性質(zhì)以及結(jié)論,其是下節(jié)建立與的同構(gòu)的基礎(chǔ).3具體方法有：1）坐標(biāo)的求法（定義法、坐標(biāo)變換法）；2）過(guò)渡矩陣的求法；3）過(guò)渡矩陣的性質(zhì)及由此反映的矩陣的運(yùn)算的意義.二 內(nèi)容要求1 內(nèi)容：坐標(biāo)、基變換、坐標(biāo)變換、過(guò)渡矩陣；2 要求：掌握坐標(biāo)的概念及其意義,基變換與坐標(biāo)變換公式,過(guò)渡矩陣的概念和性質(zhì).三 教學(xué)過(guò)程（一） 坐標(biāo)的概念 1定義 設(shè)是的一個(gè)基,對(duì)有,則稱元有序數(shù)組為向量關(guān)于基的坐標(biāo)；其中叫做向量關(guān)于基的第個(gè)坐標(biāo).2定理設(shè)是的一個(gè)基,關(guān)于此基的坐標(biāo)分別為和,則關(guān)于此基的坐標(biāo)分別為: ,.（二）坐標(biāo)變換1基變換設(shè)和是的兩個(gè)基,則每個(gè)

16、可由線性表示,設(shè) （1）,以關(guān)于基的坐標(biāo)為列構(gòu)成的矩陣稱為由基到基的過(guò)渡矩陣.（1）式可以寫(xiě)成矩陣等式= （2）；稱（1）或（2）為（由基到基的）基變換.設(shè)關(guān)于基的坐標(biāo)為,關(guān)于基的坐標(biāo)為,則一方面 （3）；另一方面 （4）；（2）代入（4）得= （5）,比較（3）和（5）由坐標(biāo)的唯一性得= （6）；于是得定理設(shè)由基到基的過(guò)渡矩陣,則關(guān)于基的坐標(biāo)與關(guān)于基的坐標(biāo)為由等式（6）=聯(lián)系著.3過(guò)渡矩陣的性質(zhì)（1）基變換的傳遞性設(shè)、都是的基,且由基到基的過(guò)渡矩陣為,基到基的過(guò)渡矩陣為,即=、=,則=,即由基到基的過(guò)渡矩陣為.（2）定理設(shè)由基到基的過(guò)渡矩陣為,那么是一個(gè)可逆矩陣.反過(guò)來(lái),任意一個(gè)階可逆矩陣都

17、可以作為維向量空間中由一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣.且若由基到基的過(guò)渡矩陣為,則由基到基的過(guò)渡矩陣為.6.6 向量空間的同構(gòu)一 教學(xué)思考 1向量空間的本質(zhì)是一個(gè)帶有加法和數(shù)乘的代數(shù)系,我們研究向量空間著眼點(diǎn)主要在于運(yùn)算,至于元素是什么無(wú)關(guān)緊要.把具有某種關(guān)系的向量空間作為本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別的加以研究,從而取出其代表加以研究討論以達(dá)到目的,本節(jié)正是解決這樣一個(gè)問(wèn)題.2“同構(gòu)”是這種關(guān)系的體現(xiàn),在此關(guān)系下,同構(gòu)的向量空間可以不加區(qū)別,因而維數(shù)就成了數(shù)域上有限維向量空間的唯一本質(zhì)特征.3注意“同構(gòu)”映射的概念,向量空間同構(gòu)的概念及各自的性質(zhì),以及有限維向量空間同構(gòu)的判定.二 內(nèi)容要求1、內(nèi)容：同構(gòu)映射、向

18、量空間同構(gòu)的概念及各自的性質(zhì),有限維向量空間同構(gòu)的判定.2、要求：理解向量空間同構(gòu)的概念及性質(zhì),有限維向量空間同構(gòu)的判定.三 教學(xué)過(guò)程1同構(gòu)的概念和性質(zhì)（1）概念1）同構(gòu)映射 設(shè)和是數(shù)域上兩個(gè)向量空間,到的一個(gè)映射叫做一個(gè)同構(gòu)映射；若A）是到的一個(gè)雙射；B）對(duì)；C）對(duì).（2）定理數(shù)域上任一維向量空間都與同構(gòu).（3）性質(zhì)1）同構(gòu)映射的性質(zhì)定理設(shè)和是數(shù)域上兩個(gè)向量空間, 是到的一個(gè)同構(gòu)映射,則:A) B)對(duì);C),其中;D)線性相關(guān)線性相關(guān);E) 的逆映射是到的一個(gè)同構(gòu)映射.2）同構(gòu)關(guān)系的性質(zhì)（等價(jià)關(guān)系）A） 反身性：； B） B）對(duì)稱性：若,則；C) 傳遞性：若,則.（由雙射性質(zhì)及定義易證）2有

19、限維向量空間同構(gòu)的充要條件定理數(shù)域上兩個(gè)有限維維向量空間和有： .6.7 矩陣的秩,齊次線性方程組的解空間一 教學(xué)思考 1矩陣的秩與線性方程組解的理論在前面已經(jīng)有過(guò)討論,本節(jié)運(yùn)用向量空間的有關(guān)理論重新認(rèn)識(shí)矩陣的秩的幾何意義,討論線性方程組解的結(jié)構(gòu).2注意：齊次線性方程組（含個(gè)未知量）的解的集合構(gòu)成的子空間,而非齊次線性方程組的解的集合非也.3注意具體方法：1）證矩陣的行空間與列空間的維數(shù)相等；2）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.二 內(nèi)容要求1、內(nèi)容：矩陣的秩的幾何意義,齊次線性方程組的解空間.2、要求：理解掌握矩陣的秩的幾何意義,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法.三 教學(xué)過(guò)程 1矩陣的秩的幾何意義幾

20、個(gè)術(shù)語(yǔ)：設(shè),的每一行看作的一個(gè)元素,叫做的行向量,用表示；由生成的的子空間叫做矩陣的行空間.類(lèi)似地,的每一列看作的一個(gè)元素,叫做的列向量；由的個(gè)列向量生成的的子空間叫做矩陣的列空間.引理設(shè),1）若,是一個(gè)階可逆矩陣,則與有相同的行空間；2）若,是一個(gè)階可逆矩陣,則與有相同的列空間.定理矩陣的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù),等于這個(gè)矩陣的秩.定義 矩陣的行（列）向量組的極大無(wú)關(guān)組所含（行（列）空間的維數(shù)）向量的個(gè)數(shù),叫做矩陣的秩.2線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1）再證線性方程組有解的判定定理：“數(shù)域上線性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同.”2）齊次線性方程組的解空間設(shè) （3）是數(shù)域上一個(gè)齊次線性方程組,令為其系數(shù)矩陣,則（3）可寫(xiě)為 （4）或；（3）的每一個(gè)解都可以看作的一個(gè)向量,叫做（3）的一個(gè)解向量.令表示（3）的全體解向量構(gòu)成的集合；首先：因,所以；其次：,有,