1、讓直線和平面動起來 線面平行有關問題江陰市第二中學 劉桂饒直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（以下簡稱線面平行的判定）。用符號表示為：若a，b，a b，則a。利用線面平行的判定判定線面平行時，在面內尋找與a平行的直線b是難點。由兩個平面平行定義得：如果兩個平面平行，那么一個平面內的直線平行于另一個平面（以下簡稱面面平行的性質）。用符號表示為：若，a，則a。利用面面平行的性質判定線面平行時，找過直線a且與平面平行的平面是難點。PDACBMN圖1如何突破這些難點，迅速解決相關問題。，請看下列幾個案例。案例1 如圖1在四棱錐P-ABCD中，

2、M，N分別是AB，PC的中點，若ABCD是平行四邊形，求證：MN平面PAD。（江蘇出版社«普通高中課程標準實驗教科書»必修2，第38頁）方法（1） 分析：1、利用線面平行的判定證明MN平面PAD，就是在平面PAD內找到一條直線a與MN平行。2、猜想直線PA、PD、AD與MN平行？但它們與MN都異面。PDACBMN圖1-1E3、平面PAD內哪條直線與MN平行？4、如圖1-1嘗試用三角尺平移MN到面PAD內：點M到點A；點N到PD上，設為E（由圖可知E為線段PD的中點）。5、由此本題可以取PD的中點E，通過證明AE MN，從而證明MN平面PAD（證明略）。方法（2） 1、分析：

3、利用面面平行的性質證明MN平面PAD，就是要找到過直線MN且與平面PAD平行的平面。2、過直線MN且與平面PAD平行的平面是哪個平面？PDACBMN圖1-2F3、嘗試平移平面PAD到過直線MN。我們可以通過平移直線來實現。4、如圖1-2平移直線AD到過點M，交CD于F（由圖可知F即為線段PD的中點）。相交直線MN、MF所確定的平面NMF即為所找平面。5、由此本題可以取CD的中點F，通過證明平面NMF平面PAD，從而證明MN平面PAD（證明略）。ABCDE圖2案例2 如圖2 在直四棱柱ABCD中，已知DC= =2AD=2AB，ADDC, ABDC。（1）求證：（2）試在棱DC上確定一點E，使E平

4、面BD，并說明理由。（2008年江蘇省高考考試說明，典型題示例第51頁）分析：1、利用線面平行的判定解本題時，發現無法平移E到平面BD內，因為E不確定的，點E未知。如何解決？ABCD圖2-2ABCDE圖2-3ABCD圖2-12、逆向思維，平面BD內哪條直線與E平行？D ?B? BD?分別平移D ，B， BD到過點（E雖不確定的，但其中點是已知的）。3、如圖2-1，平移D到過點時，與DC不相交；如圖2-2平移BD到過點時，與DC也不相交；如圖2-3平移B到過點時，與DC相交，其交點設為E。4、由作法知：AD，平面ABCD，所以平行于平面ABCD與平面EB的交線BE。從而四邊形ABED為平行四邊形

5、，所以E為棱DC中點。所以當點E為棱DC中點時，E平面BD。FDACQPEB圖35、由此本題可以取棱DC的中點E，通過證明E B，從而證明MN平面PAD（證明略）。 案例3 如圖3 已知有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的動點，當滿足什么條件時，PQ平面CBE？（江蘇出版社«普通高中課程標準實驗教科書»必修2，第38頁）方法（一） 分析：1、利用線面平行的判定來確定P，Q兩點。FDACQPB圖3-1E2、顯然EB、BC與PQ不平行， CE呢？（EB、BC均與PQ異面，三條直線中只可能是CE。）3、如圖3-1 沿線段EA

6、平移CE（AE與CE有交點）到與EA、 BD分別相交于P、Q。4、由作法知：A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共點，所以A，Q，C三點共線。Q為AC，BD的交點，為BD的中點，此時P是AE的中點。所以當P、Q分別是AE，BD的中點時，PQ平面CBE。（證明略）FDACQPEB圖3-2N方法（二） 分析：1、利用面面平行的性質來確定P，Q兩點：平移平面CBE。2、如圖3-2 在平面ABEF內平移BE交AE于P，交AB于N；在平面ABCD內平移BC到過N交BD于Q。FDACQPEBM圖3-33、由作法知：平面ABEF內，有；平面ABCD內，。又EA=BD，所以P，Q滿足EP=BQ時，PQ平面

7、CBE。（證明略）回顧與反思：方法（一），方法（二）中結論不同，方法（一）的結論僅是方法（二）中的一種特殊情況。方法（一）是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法（一）中接著分析：5、CE是面CBE內很特殊的與PQ平行的直線，面CBE內會不會還有其余直線與PQ平行呢?怎樣的直線？FDACQPEBM圖3-46、讓我們平移PQ到平面CBE內看看：點P到點E；點Q到直線BC上（不一定是點C）。7、如圖3-3取線段BC除端點外任意一點M ，連接EM。沿線段AE平移EM（AE與EM有交點）到分別與AE、 BD相交于點P、Q。MPFDACEB圖3-58、由作法知：A， Q，M是平面EAM

8、和平面ABCD的公共點，所以A，Q，M三點共線。平面EAM內，平面ABCD內， ，所以即EP=BQ。此時PQ平面CBE（證明略）9、如圖3-4 M為線段BC延長線上任意一點，連接EM。沿線段AE平移EM到分別與AE、 BD相交于點P、Q。同樣當點P、Q滿足EP=BQ時，PQ平面CBE。10、如圖3-5當M為線段BC反向延長線上任意一點時，連接EM，沿線段AE平移EM，發現EM與BD不相交，（此時線段EA、線段EM，均在線段BD同側，沿線段AE平移線段EM時，是遠離線段BD而去，故與線段BD不相交）。綜合以上分析方法（一）可以得到與方法（二）同樣的結論：當P，Q滿足EP=BQ時，PQ平面CBE。（證明略）線面平行有關問題都可以通過平移直線或平面來尋找相應的線或面，從而解決問題。數學課堂主要表