1、 第三章 直線與方程3.1 直線的傾斜角與斜率教案 A第1課時教學內容：3.1.1 傾斜角與斜率教學目標一、知識與技能 1. 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念；2. 斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.二、過程與方法經歷將直線的位置問題（幾何問題）轉化為傾斜角問題的過程，進而轉化為傾斜角的正切即斜率問題（代數問題）進行解決，不斷體會“數形結合”的思想方法.三、情感、態度與價值觀1. 通過把直線傾斜角的概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系，提高觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力；2. 通過建立斜率概念和推導斜率公式，進一步理解數形結合的思想，樹立辯證統一的觀點，

2、形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.教學重點、難點教學重點：直線的傾斜角、斜率的概念和公式.教學難點：斜率的計算方法.教學關鍵：直線斜率的兩種計算方法.教學突破方法：結合圖形，使學生理解直線傾斜角的概念，抓住直線的傾斜角與斜率的聯系，引導學生掌握直線斜率的計算方法.教法與學法導航教學方法：啟發、引導、討論.學習方法：探究、思考、討論、練習.教學準備教師準備：多媒體課件（用于展示問題、引導討論、出示答案）.學生準備：一次函數與直線的關系、特殊角的正切值.教學過程 詳見下頁表格.教學環節教學內容師生互動設計意圖創設情景導入新課我們知道，經過兩點有且只有（確定）一條直線，那么，經過一點P的直線l的位

3、置能確定嗎？如圖，過一點P可作無數多條直線a，b，c，易見，答案是否定的，這些直線有什么聯系呢？ 學生回答（不能確定）（1）它們都經過點P.（2）它們的傾斜程度不同.接著教師提出：怎樣描述這種傾斜程度的不同？由此引入課題.設疑激趣導入課題概念形成1直線傾斜角的概念當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規定.教師提問：傾斜角的取值范圍是什么？0°180°當直線l與x軸垂直時（由學生結合圖形回答）概念深化因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度，引入直線的傾斜角之后，我們就可以

4、用傾斜角來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.yabcxO確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素：一個點P和一個傾斜角.教師提問：如左圖，直線abc，那么它們的傾斜角相等嗎？學生回答后作出結論.一個傾斜角不能確定一條直線，進而得出確定一條直線位置的幾何要素.通過這種師生互動引導學生明確確定一條直線位置的兩個幾何要素概念形成2直線的斜率一條直線的傾斜角（90°）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即.由此可知，一條直線l的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°時，k = tan45°= 1；= 135°時， k

5、 = tan135°= 1 .教師提問：（由學生討論后回答）（1）當直線l與x軸平行或重合時，k為多少？k = tan0°= 0.（2）當直線l與x軸垂直時，k還存在嗎？= 90°，k不存在.設疑激發學生思考得出結論續上表概念形成3直線的斜率公式對于上面的斜率公式要注意下面四點：（1）當x1 = x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角= 90°，直線與x軸垂直；（2）k與P1、P2的順序無關，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；（4）當y1 =

6、y2時，斜率k = 0，直線的傾斜角= 0°，直線與x軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到.教師提出問題：給定兩點P1 （x1，y1），P2 （x2，y2），x1x2，如何用兩點的坐標來表示直線P1、P2的斜率？可用計算機作動畫演示：直線P1P2的四種情況，并引導學生如何作輔助線，共同完成斜率公式的推導.借助多媒體演示讓學生親自體會斜率公式的推導過程.應用舉例例1 已知A （3，2），B （4，1），C （0，1），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.（用計算機作直線，圖略）【分析】已知兩點坐標，而且x1 x-2，由斜率公

7、式代入即可求得k的值；而當時，傾斜角是鈍角；而當時，傾斜角是銳角；而當時，傾斜角是0°.學生分析求解 ，教師板書例1 略解：直線AB的斜率k1 = 1/70，所以它的傾斜角是銳角.直線BC的斜率k2 = 0.50，所以它的傾斜角是鈍角. 通過應用進一步理解傾斜角，斜率的有關定義 續上表例2 在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，1，2及3的直線a，b，c，1.【分析】要畫出經過原點的直線a，只要再找出a上的另個一點M.而M的坐標可以根據直線a的斜率確定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原點為角的頂點，x軸的正半軸為角的一邊，在x軸的上方作45°的角，再

8、把所作的這一邊反向延長成直線即可.例2 略解：設直線a上的另一個點M的坐標為（x，y），根據斜率公式有1 = （y 0）/（x 0），所以 x = y.可令x = 1，則y = 1，于是點M的坐標為（1，1）.此時過原點和點M（1，1），可作直線a.同理，可作直線b，c，1.（用計算機作動畫演示畫直線過程）小結（1）直線的傾斜角和斜率的概念.（2）直線的斜率公式.師生共同總結交流完善.引導學生學會自己總結.課堂作業1. 求下列兩點直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.（1）（1，1），（2，4）； （2）（3，5），（0，2）； （3）（2，3），（2，5）； （4）（3，2），（6，2）

9、 【解析】（1），所以傾斜角是銳角；（2），所以傾斜角是鈍角；（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，傾斜角是90°；（4），所以傾斜角為0°.2. 已知點P，點Q在y軸上，直線PQ的傾斜角為120°，則Q點的坐標為.【解析】因為點Q在y軸上，則可設其坐標為（0，b）直線PQ的斜率k = tan120°= ， ， b = 2，即Q點坐標為. 第2課時教學內容： 3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定教學目標 一、知識與技能 1. 理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件；2. 會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.二、過程與方法 通過探究兩直線平行或垂直的條件

10、，提高運用已有知識解決新問題的能力， 以及數形結合能力三、情感、態度與價值觀 通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，獲得成功感覺；同學合作交流的學習方式，激發學生的學習興趣教學重點、難點 教學重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學生能熟練掌握，并靈活運用教學難點：啟發學生， 把研究兩條直線的平行或垂直問題， 轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題教學關鍵：理解并掌握判斷兩直線平行和垂直的方法.教學突破方法：結合圖形探究兩直線平行和垂直時二者斜率的關系，并從這種關系的內涵和外延兩個方面強化學生對此結論的理解.對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況，在課堂上老師應提醒學生注意解決好這個問題教

11、法與學法導航教學方法：以實驗探究的教學方法為主，具體以實例展示法、多媒體演示法、分析討論法、問題教學法和練習鞏固法展開教學活動.學習方法：以探究理解學習方法為主，自主學習，自我反饋，漸進式提高.教學準備教師準備：多媒體課件（用于展示問題、引導討論、出示答案），資料圖片.學生準備：直線的傾斜角與斜率的概念及聯系.教學過程教學環節教學內容師生互動設計意圖創設情景導入新課我們已經學習了直線的傾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度，并推導出了斜率的計算公式. 現在，我們來研究通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直師：解析幾何的本質是什么？生：用代數的方法研

12、究幾何圖形的位置關系.設疑激趣導入課題續上表師生互動探究新知1. 先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率（1）當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；（2）當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直師生互動探究新知2. 兩條直線的斜率都存在時， 兩直線的平行.設直線 l1和l2的斜率分別為k1和k2. 我們知道， 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的， 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 問題: 兩條互相平行或垂直的直線， 它們的

13、斜率有什么關系?結論1: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即l1l2Ûk1=k2.注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立即如果k1=k2， 那么一定有l1l2; 反之則不一定.首先研究兩條直線互相平行（不重合）的情形如果l1l2（如下圖），那么它們的傾斜角相等：1=2（借助多媒體， 讓學生通過觀察度量， 感知1， 2的關系）因為tan1=tan2 即k1=k2 反過來，如果兩條直線的斜率相等：即k1=k2，那么tan1=tan2由于0°1180°

14、;，0°2180°，所以1=2又因為兩條直線不重合，兩條直線平行l1l2通過這種師生互動引導學生明確兩條直線平行的判定方法續上表師生互動探究新知3. 下面我們研究兩條直線的斜率都存在時， 兩直線的垂直的情形如果l1l2，這時12，否則兩直線平行結論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即注意: 結論成立的條件，即如果k1·k2=-1， 那么一定有；反之則不一定.設21（如下圖），甲圖的特征是l1與l2的交點在x軸上方；乙圖的特征是l1與l2的交點在x軸下方；丙圖的特征是l1與l2的交點在

15、x軸上，無論哪種情況下都有1=90°+2因為l1、l2的斜率分別是k1、k2，即190°，所以20，即或.反過來，如果或. 不失一般性，設k1<0， k2>0，那么可以推出: 1=90°+2 即借助多媒體演示讓學生經歷兩條直線垂直的判定結論的推導.續上表應用舉例例1 （1）已知直線經過點M（-3，0）、N（-15，-6），經過點R（-2，）、S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45°，經過點P（-2，-1）、Q（3，-6），問與是否垂直？例2 已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求點D，使直線CDAB，且CBADBACD

16、例1【解析】 （1） =， /（2） ， 例2 【解析】設D（，），則， ，即解得 . D（）.通過實例熟練對兩條直線平行和垂直的判定.小結1. 知識小結（1） 兩條直線平行或垂直的判定方法.（2） 注意特殊情況特殊處理，如有斜率為零或斜率不存在的情況.（3） 應用直線平行的條件， 判定三點共線.2. 思想方法：傾斜角、平行是幾何概念， 坐標、斜率是代數概念，解析幾何的本質是用代數方法來研究幾何問題.師生共同總結交流完善.引導學生學會自己總結.課堂作業1.如果直線l1的斜率為a，且 ，則直線l2的斜率為（ ）. A. B. a C. D. 或不存在答案：選D. 2. 若過點A（2，-2），B（

17、5，0）的直線與過點P（2m，1）Q（-1，-m）的直線平行，則m的值為（ ）A. -1 B. 1 C. 2 D. 答案：選B3.已知點M（2，2）和N（5，-2），點P在x軸上，且ÐMPN為直角，則點P的坐標為（ ）答案：（1，0），（6，0）教案 B第1課時教學內容：3.1.1 傾斜角和斜率教學目標一、知識和技能目標 1. 了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念；2. 理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.二、過程和方法目標掌握由直線上兩點的坐標求直線的傾斜角和斜率的方法，會實現直線方程的各種形式之間的互化.三、情感、態度與價值觀目標發展觀察、探索能力，運用數

18、學語言表達能力；進一步理解數形結合思想，樹立辯證統一的觀點，形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神教學重點直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式.教學難點斜率概念的學習，過兩點的直線的斜率公式.教學過程1創設情景，揭示課題（1）簡述本章研究什么？怎樣研究？（2）問題探究：我們知道， 經過兩點有且只有一條直線. 那么， 在平面直角坐標系中，經過一點P的直線l的位置由哪些條件確定？如圖， 過一點P可以作無數多條直線a，b，c，易見這些直線的共同特點是：都經過同一點P，那么，它們的不同點是什么？學生交流討論，發表見解：它們的傾斜程度不同. 教師提出：怎樣描述這種傾斜程度的不同? 引入直線的傾斜

19、角的概念.2直線的傾斜角的概念當直線l與x軸相交時， 取x軸作為基準， x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.特別地，當直線與x軸平行或重合時， 規定= 0°.觀察下圖直線l1，l2，l3的傾斜角是怎樣的？由此回答直線的傾斜角的取值范圍是什么? 0°180°.當直線與x軸垂直時， = 90°.教師強調：平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度， 引入直線的傾斜角之后， 我們就可以用傾斜角來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.思考1：如上圖， 直線abc， 那么它們的傾斜角相等嗎?答案是肯定的.所以一個傾斜角不能確定一條直線.確

20、定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角.二者缺一不可.思考2：生活中的“傾斜程度”通常用什么量表示？引導學生討論交流，舉例.如道路的坡度等，使學生理解生活中坡度的意義：坡度（比）=升高量/前進量如果我們使用“傾斜角”這個概念，這里的“坡度”實際是“傾斜角的正切值”.3直線的斜率（1）一條直線的傾斜角 （90°）的正切值叫做這條直線的斜率（slope），斜率常用小寫字母k表示，也就是k = tan當直線與x軸平行或重合時， =0°， k = tan0°=0;當直線與x軸垂直時， = 90°， k 不存在.由此可知， 一條直線的傾

21、斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.例如， =45°時， k = tan45°= 1. 4利用信息技術獲得直線的傾斜角和直線的斜率的關系觀察上圖直線的傾斜角和斜率之間的關系：由于知識的原因，學生不能通過正切值獲得直線的傾斜角和斜率之間的關系，因此教學中通過信息技術演示操作（如幾何畫板）獲得直線的傾斜角和斜率的關系.（如上圖）可以清楚看到：當時，直線的斜率k是正數；當時，直線的斜率k是負數.思考3：兩點確定一條直線，那么給定兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1x2，如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率?5探究并推導直線斜率的兩點式公式可用計算機作動畫演示: 直

22、線P1P2的四種情況（如下圖）， 并引導學生通過作輔助線，共同完成斜率公式的推導. 斜率公式: 對于上面的斜率公式要注意下面四點：（1）當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角= 90°， 直線與x軸垂直；（2）k值的大小與P1、P2的順序無關， 即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同時交換， 但分子與分母不能交換; （3）斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;（4） 當 y1=y2時， 斜率k = 0， 直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合.6應用舉例例1直線過點A（2，0），B（5，3），求直線AB的斜率.【解析】k（30）/

23、（5）（2）1，又0°，180°），135°.因此，這條直線的斜率是1，傾斜角是135°變式：m為何值時，經過兩點A（m，0），B（5，1m）的直線AB的斜率是1？【分析】例2分別在下列條件求直線的傾斜角和斜率.（1）直線l的傾斜角的正弦值是1/2；（2）直線l的方向向量.【分析】由已知條件求出直線的傾斜角，再來求直線的斜率注意到0，），而sin= 1/2，因此求角時，要分為銳角與鈍角來求.抓住直線P1P2的方向向量的坐標是（x2x1，y2y1），其中P1（x1，y1），P2（x2，y2）與過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線的斜率公式的結

24、構關系來求.【解析】0，），又sin= 1/2為銳角時，/6；為鈍角時，5/6.當/6時，斜率ktan/6 ； 當5/6時，斜率ktan5/6 . 直線l的方向向量，直線l的斜率，故傾斜角5/6.6. 課后作業 P86練習：1，2，3，4；P89習題3.1A組：1，2，3，4，5.第2課時教學內容：3.1.2 兩條直線的平行與垂直教學目標一、知識與技能理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.二、過程與方法通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用代數方法來研究幾何問題.三、情感、態度和價值觀通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的

25、學習方式，激發學生的學習興趣，欣賞解析幾何的代數抽象美教學重點、難點 教學重點：熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件教學難點：研究兩條直線的平行或垂直問題的判斷教學方法引導、啟發、討論，練習.教學過程一、創設情景，導入課題復習已經學習的直線的傾斜角和斜率的概念，可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度，并推導出了斜率的坐標計算公式現在，我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直二、師生互動，探究新知1. 先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率，（1）當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；（2）當另一

26、條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直2. 兩條直線的斜率都存在時，兩直線的平行設直線 l1和l2的斜率分別為k1和k2我們知道，兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的，而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線， 它們的斜率有什么關系?首先研究兩條直線互相平行（不重合）的情形如果l1l2（如下圖），那么它們的傾斜角相等：1=2（借助多媒體， 讓學生通過觀察度量， 感知1， 2的關系）因為tan1=tan2 即 k1=k2反過來，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那么tan1=tan2由于0°1180°， 0°2180°，所以1=2又因為兩條直線不重合，兩條直線平行l1l2結論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即l1l2，k1=k2.注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立即如果k1=k2， 那么一定有l1l2; 反之則不一定.3. 兩條直線的斜率都存在時， 兩直線的垂直下面我們研究兩條直線垂直的情形如果，這時12，否則兩直線平行設21（如下圖），甲圖的特征是l1與