1、第二節(jié) 第二類曲線積分分布圖示 引例 變力沿曲線所作的功 第二類曲線積分的概念 空間曲線弧上的第二類曲線積分 第二類曲線積分的性質(zhì) 第二類曲線積分的計(jì)算 例1 例2 例3 例4 例5 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題112 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、引例：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在面內(nèi)從點(diǎn)沿光滑曲線弧移動(dòng)到點(diǎn),在移動(dòng)過(guò)程中，這質(zhì)點(diǎn)受到力 (2.1)的作用，其中，在上連續(xù). 試計(jì)算在上述移動(dòng)過(guò)程中變力所作的功. 二、 第二類曲線積分的定義與性質(zhì)：平面上的第二類曲線積分在實(shí)際應(yīng)用中常出現(xiàn)的形式是性質(zhì)1 設(shè)L是有向曲線弧, 是與L方向相反的有向曲線弧，則；即第二類曲線積分與積分弧段的方向有關(guān).性質(zhì)2 如設(shè)由和兩段光滑曲線組成，則

2、. 三、第二類曲線積分的計(jì)算： . (2.9)如果曲線的方程為 起點(diǎn)為a, 終點(diǎn)為b，則如果曲線的方程為 起點(diǎn)為c, 終點(diǎn)為d，則例題選講第二類曲線積分的計(jì)算例1（E01）計(jì)算的值, 其中L分別為圖10-2-3中的路徑:(1) 從到的直線;(2) 從到再?gòu)牡降恼劬€;(3) 從沿拋物線到解 連接兩點(diǎn)的直線方程為對(duì)應(yīng)于的方向,從變到所以(2) 從到的直線為從變到且又從到的直線為從變到，且于是(3) 化為對(duì)的定積分, 從變到1，于是注: 本例表明,即使被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但沿不同的積分路徑的積分結(jié)果并不相等.例2（E02）計(jì)算其中L為曲線上從到的一段?。▓D10-2-4）.解 (1) 化為

3、對(duì)的定積分, (2) 化為對(duì)的定積分, 從變到1.注: 易見化為對(duì)的定積分計(jì)算較為簡(jiǎn)單.例3 計(jì)算，其中分別為圖10-2-5中的路線：(1) 直線；(2) 拋物線：；(3) 折線.解 (1) 直線的方程為對(duì)于的方向,參數(shù)從變到1，于是(2) 拋物線的方程為對(duì)于的方向,參數(shù)從1變到2,于是(3) 在折線中，從1變到 2; 從1 變到 3.注: 本例表明,如果被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,沿著不同積分路徑的積分結(jié)果也可能相等.例4（E03）計(jì)算為點(diǎn)至點(diǎn)的空間有向線段.解 直線的方程為改寫為參數(shù)方程為對(duì)應(yīng)著起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著終點(diǎn)于是例5（E04）求質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿著曲線（圖10-2-6） 從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所作的功.解 注意到對(duì)于的方向, 參數(shù)從變到所以課堂練習(xí)1.計(jì)算其中L為與x軸所圍的閉曲