1、思考與練習 5-11. 函數在點取得極大(小)值的定義是什么?函數在區間上的最大(小)值的定義是什么?答：設函數在區間內有定義,若存在,對任意的有, 則稱函數在點取得極小(大)值,稱點是函數的極小(大)值點,而函數值就稱為函數的極小(大)值。設函數在區間內有定義,，若對任意，有，則函數值就稱為函數的最小(大)值。2. 最大(小)值是否一定是極大(小)值?反之如何?答：最大(小)值不一定是極大(小)值，極大(小)值不一定是最大(小)值。例如在閉區間上能取到最大值，但不是函數在區間中的極大值，也不是函數的極大值點。3. 若函數在閉區間的端點取得最大值,且存在,則是否有,為什么?答：若函數在閉區間的

2、端點取得最大值,且存在,但不一定有。例如，在閉區間上能取到最大值，但。4. 穩定點一定是極值點嗎?穩定點的幾何意義是什么?極值點一定是穩定點嗎?答：穩定點不一定是極值點。函數在穩定點處對應的曲線上的點的切線平行于軸。極值點不一定是穩定點。5. 費馬定理說明了穩定點和極值點的什么關系?答：費馬定理說明了若點是函數可導的極值點，則點一定是函數的穩定點。6. 洛爾中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理之間有什么關系?答：拉格朗日中值定理是洛爾中值定理的推廣，如果函數在閉區間上滿足,由拉格朗日中值定理立即可得洛爾中值定理。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，取,由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定

3、理。7. 證明拉格朗日中值定理所用的輔助函數是怎樣構造的?還有其它的構造方法嗎?答：教材中的輔助函數，即為函數與過原點的直線函數的差。還可令，即為函數與過點的直線函數的差。8. 設,則柯西中值定理對于函數和在區間上是否成立.為什么?答: 不能.,對任意的,所以對任意的,都沒有.這是因為不滿足柯西中值定理的條件().9. 給定函數,是否一定存在函數使得?答：不一定。例如，不存在函數滿足（其中是Dirichlet函數）。當在給定區間上連續時，才一定存在函數使得。10. 求下列函數的穩定點:；.解：由，得穩定點為由，得穩定點為：。11. 試討論下列函數在指定區間內是否存在一點,使。; ,.解在閉區間

4、,在閉區間上連續,且在兩端點處,.在內,，即在內可導，根據羅爾定理:,使.所以，當時，當時，在點不可導，故在內不存在，使的點.12. 證明:方程(這里為常數)在區間內無相異的實根;方程(為正整數這里為實數)當為偶數時至多有兩個實根;當為奇數時至多有三個實根;證用反證法: 設.若存在,使得.因為在上連續,在內可導,由羅爾中值定理,應,使得,而這兩點均不可能在區間內,此為矛盾.() 當為偶數時,用反證法:若存在為方程的三個根,令.因為在和上連續,在上可導,由羅爾中值定理可得:,使,所以得,因為是奇數,所以,此為矛盾.所以方程當為偶數時至多有兩個實根.()當為奇數時,用反證法:若存在為方程的四個根,

5、令.依()相同的理由,.使,即,有三個實根.由于是偶數,這與()矛盾.所以方程當為奇數時至多有三個實根.13. 應用拉格朗日中值定理證明下列不等式:,其中;,其中;對任意實數,都有;.證： 設,函數滿足拉格朗日中值定理的條件,所以存在,使. 設,則對任意的,在區間上連續且可導,函數滿足拉格朗日中值定理的條件,所以,使.令,則對任意的實數在(或上可導,且.所以。令,則在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件,故,使得,又 ,故 14. 若在區間上存在有界導數,試證:在上滿足Lipschitz條件.(參看第三章第2節20題).證明：由于在區間上有界，所以存在常數，對任意的，有。利用拉格朗日中值定理，對任

6、意，有，其中。15. 設函數在上可導,證明:存在,使得=.證 () 若,則取,結論成立.()若且,則同樣取,結論成立.() 若,但.（）若,且.則取,在區間上滿足柯西中值定理的條件,所以,使。16. 設函數在點處具有二階導數,證明:.證 設,因為函數在點處具有連續的二階導數,所以在的某空心鄰域內具有二階連續導數,且,根據定理5.6得16*. 設函數在點處具有二階導數,且，.由拉格朗日中值定理知,存在,使得.證明：.證17. 設.證明存在,使得.證 設,則在上滿足: (1) 連續; (2) 可導.(3) 對任意的，（4）對任意的，.由柯西中值定理得，,使。思考與練習 5-21. 不定式有哪幾種形

7、式?答：不定式存在的形式有：，。2. 若存在,求證:.證 由洛比達法則可得.上述證明正確嗎?如果不正確,請說明理由,并給出正確的證明方法.答：不正確。因為題目條件只是存在，即題目沒有條件“在點的某個鄰域內二階可導”，因而，對極限就不能使用洛比達法則；而且，題目也沒有“在點連續”的條件，所以，極限和不一定存在，當然，也就沒有這樣的運算結論。正確的證明方法是：3. 用洛比達法則求極限對嗎?為什么?怎樣的計算方法才是正確的?解：不對，這個極限不是型，即不滿足洛比達法則的第一個條件。應直接用“商的極限等于極限的商”求極限，即。4. 能否用洛比達法則求極限?為什么?答：不能，因為不存在，故不滿足洛比達法

8、則的第二個條件。5. 用洛比達法則求極限(正確答案是)錯在哪里?為什么?解：。錯誤出在第二次使用洛比達法則時，沒有檢驗極限不滿足洛比達法則的條件。6. 能否借用洛比達法則求數列極限?以數列極限說明具體求法.答：可以。先求函數極限，所以。7. 應用洛比達法則求下面兩個極限 與 能否得到正確結果?能否用初等方法求出?這些都說明了什么?答：不能，因為極限雖然是“”型，但使用一次洛比達法則之后得到的極限不存在，故不滿足洛比達法則的第三個條件；極限也是“”型，但無論用多少次洛比達法則，所得到的極限仍是“”型，因而永遠也不可能達到洛比達法則的第三個條件的要求。可以用第二章的方法求出極限，即；。8. 求下列

9、不定式極限; ;. 解：；令，則，又,所以;令，則,而,所以;.9. 設函數在點處二階可導.證明:.證 設,因為函數在點處二階可導,所以在的某空心鄰域內有一階導數,故在連續，且。10. 由拉格朗日中值定理知,存在,使,求極限. 由柯西中值定理知,存在,使,求極限.解 解法1 因為,又所以解法2（要用本章第3節的結論）解法1，由（1）得，所以解法2 對使用泰勒公式。11 設是以為周期的連續、可導函數,則對任意的有理數,至少存在一點,使.證明：令，則，其中又是以為周期的函數，所以有，所以，故。思考與練習 5-31. 求下列函數帶佩亞諾型的麥克勞林公式:;到含的項.解所以,從而有。則所以。2. 按例

10、9的方法求下列極限:; ;.解：因為,所以, 原式；因為所以；因為 ,由泰勒公式得到,所以因此.3. 求下列函數在指定點處帶拉格朗日余項的泰勒公式:在處;,在處.解,所以,從而有.,.從而有另解其中.4. 用間接法，按指定的次數寫出函數在的帶佩亞諾型余項的麥克勞林公式:,5次; ,6次;,6次; ,4次.解：解法1 因為,所以,所以解法2而 因為,所以因為,所以5. 證明：若在開區間內滿足,則是次多項式.證明：因為,所以,取定,由泰勒公式得其中，所以是次多項式。6. 利用泰勒公式證明:對任意的,有.證明：因為,所以,當時,而，,所以。思考與練習 5-41. 怎樣從幾何上解釋單調函數的判別法則(

11、定理5.10與定理5.11)?答：表示的導數，當時，表明函數圖像的切線斜率非負（正），則函數的圖形是沿軸正向上升（下降）的曲線，所以函數是單調函數。2. 怎樣用函數的單調性證明某些不等式?答：證明函數不等式的方法,要證,就是要證不等式,如果差函數在區間滿足(1)單調遞增,也就是要證:對任意的,有;(2)在區間的左端點的值,則要證的函數不等式當然成立.3. 判別函數在點取極值有哪些判別法?答：判別方法有：設函數定義在區間上,為的連續點.(i)如果存在,使得則函數在點處取得極大值;(ii)如果存在,使得則函數在點處取得極小值;()當時,恒正或恒負,則函數在處沒有極值.設函數在點處具有二階導數且,則

12、(i) 當時,函數在點處取得極大值;(ii) 當時,函數在點處取得極小值.設在點的某鄰域內存在直到階導數,在處階可導,且,則() 當為偶數時,在點處取得極值,且當時取極大值,時取極小值.()當為奇數時,在點處不取極值.4. 極值第一判別法的幾何意義如何?能否說,判斷不可導點是否為極值點只能用第一判別法?答:極值第一判別法是利用函數的導數的符號來討論函數的單調性,因而,幾何意義與函數的單調性相同.不能.因為除了第一判別法之外,極值的定義也是判別法之一.5. 函數在穩定點是否一定取極值?答：不一定.6. 函數,且在閉區間中只有一個極值,那么為什么極大值就是最大值?極小值就是最小值?證 若是在上的唯

13、一極大值點,則存在某,使對,有.若在上另外存在一個最大值點,使.不失一般性設.由條件可得在閉區間上連續,所以在上可取得最小值,因為且是的極大值點,故存在,使對任意的,有,因而是在區間上的一個極小值點,此與條件矛盾.同理,若是上函數的唯一極小值點,則必是最小值點.7. 面積一定的矩形中,哪個矩形周長最小?周長一定的矩形中,哪個矩形面積最大?你能否再提出類似的問題?答：面積一定時，當一邊長為面積的平方根時，矩形的周長最小。周長一定時，當一邊長為周長的四分之一時，矩形的面積最大。如圓柱體的體積與表面積的關系等.8. 確定下列函數的單調區間和極值:; ; ; ; .解：在區間上嚴格遞減; 在上嚴格遞增

14、.所以極小值為.在區間和內均為嚴格遞增。無極值因為,又令,則.當時,故嚴格單調減,且,所以,當時,所以在內嚴格單調增.無極值.，所以在上單調遞增，在上單調遞減。所以極大值為，極小值為。，在內，所以在上為嚴格遞增，無極值。，所以在內單調遞增，在內單調遞減，所以極大值為。9. 應用函數的單調性證明下列不等式:;, ;, ;, .解：設,則.所以,當時,有所以。設,有.又,.所以在區間上嚴格遞增,故得,有,即。設則,.(注:由教材78頁的不等式(2)知,當時,.由于,而在上嚴格遞增,在上嚴格遞減,所以,對任意的,有,所以。的另一證法：設，則，所以是凹函數，又，因此（該證法要用到函數的凹凸性結論）。設

15、,則.,則.所以,當時,有,所以。10. 求下列函數在指定區間上的最大值和最小值:; ; ; .解：由，得駐點，所以最大值為，最小值為.由，得駐點，而，所以最大值為，最小值為。由得駐點，而，所以最大值為，最小值為.，所以，所以在處不可導,，所以在處不可導,而所以最大值為，最小值為.11. 中哪項最大?解 令,則又,所以.12. 從半徑為的圓紙片上剪去一個扇形,做成一個圓錐形的漏斗:如何選取扇形的頂角,可使漏斗的容積最大?解：設漏斗的底面半徑是，則漏斗的容積為。令，最大時容積就最大由，得所以，而，所以時，漏斗的容積最大。13. 有一個無蓋的圓柱形容器,當給定體積為時,要使容器的表面積為最小,問底

16、的半徑與容器高的比例為多大?解 設容器的底半徑為,高為,側面積與底面積之和為,由題設 及 ,令,得穩定點,所以是在內唯一的極小值點,由本節6題的結論知,它是在內的最小值點,此時,即當時,容器的表面積最小14. 重量為的物體放在一粗糙的平面上,施加一力克服摩擦,使之在平面上滑動,其摩擦系數為,問該力應與水平成何角度,方可使用力最小?解：設作用力對水平面的傾角為，則，即。令，為使最小，只要使最大。由，得，此時，即當時，為最大，從而為最小值，也即此時用力最省。15. 設在處都取得極值,試求與;并問此時在與是取得極大值還是極小值?解:,因為,解此方程組得:;又.所以為極小值,為極大值.16. 設,則當

17、時,有(提示:求出函數在區間上的最大值).解：設,則,令，得,又當時,故單調增,當時,故單調減,所以為在區間上的最大值，所以當時,有.思考與練習 5-51. 在不同條件下函數在區間上是凸(凹)函數的定義是什么?解：設函數在區間上可導如果對任意給定的,都有() ,則稱函數在區間上是凹函數,對應的曲線稱為凹的;() ,則稱函數在區間上是凸函數,對應的曲線稱為凸的.設為區間上的連續函數,若對任意的和任意的,總有, (1)則稱為上的凸函數,對應的曲線稱為凸的.反之,如果對任意的和任意的,總有, (2)則稱為上的凹函數,對應的曲線稱為凹的.2.通過判別函數的單調性、凸凹性、和極值等,你看到拉格朗日中值定

18、理(包括泰勒定理)起到了什么作用?答：拉格朗日中值定理是連結函數與導數的橋梁:事實上,對于,我們在區間上考慮拉格朗日中值定理得,也就是.函數用在一點處的導數值表示出來了,所以我們說拉格朗日中值定理是利用導數的局部性態研究函數在閉區間上的整體性態的重要工具.3.導函數有穩定點時,是否一定是拐點?為什么?答：不一定，還要通過判斷在左右兩邊的符號相反，則才是拐點。4. 函數的凸性與函數的可導性有什么關系?答：設為區間上的可導函數,則為上的凸函數的充要條件是為上的增函數；設為區間上的二階可導函數,則在上為凸函數的充要條件是.5. 判別下列函數的凸性:,其中; ,其中; .解：因為，所以，所以為凸函數。

19、所以為凸函數。，所以為凸函數，所以是凸函數。6. 確定下列函數的凸性區間與拐點:; ;.解：,當時,是凹區間;當時,是凸區間;,故點是曲線的拐點.,當時,是凸區間;當時,是凹區間;曲線的兩個拐點.曲線無拐點;當時,是凹區間;當時,是凸區間;,當時,是凸區間;當時,是凹區間;當時,是凸區間;是曲線的兩個拐點.7. 問和為何值時，點為曲線的拐點？解,.易驗證當時,點為曲線的拐點.8. 證明:(1)若為凸函數,為非負實數,則為凸函數;(2)若f均為凸函數,則為凸函數;(3)若為區間上凸函數,為上凸增函數,則為上凸函數.證 (1) 因為為凸函數,所以對和,有,又,所以.所以為凸函數.(2) 對和,有所

20、以為凸函數;(3) 因為為上的凸函數,所以對和,有.若,若綜上可得.由于為上凸增函數,所以,所以為上凸函數.注: 若為上的凸函數,只是上凸函數,則得不到為上凸函數,例如,易證,都是上的凸函數,且,但是上的凹函數.9. 設在區間上為凸函數,如果存在使得.求證:在區間上是常值函數.證反證法 若在區間上不是常值函數,則存在,使得.不失一般性,設.由定理5.19,可得;又因為,即一個負數大于一個正數,此為矛盾.10. 應用凸函數概念證明如下不等式:對任何非負實數,有;對任意的實數,有.證：若,則等號成立;若,不妨設,取函數,顯然是上的嚴格凹函數.令,則,故有若,則等號成立;若,不妨設,取函數,顯然是上的嚴格凸函數.令,則,故有11* 設為區間上的凸函數,則在上滿足李普希茲條件,即存在常數,使得.由此可知在內連續.(注意:在中未必連續)證 任取,使得,對任意的,不妨設.因為為凸函數,所以有,所以,即.由于在上滿足李普希茲條件,故在上連續(而且是一致連續),由的任意性可得在內連續.但是在上未必連續.事實上,設在上是凸函數,當在端點處不連續.12* 設在區間上為凸函數.證明: 在內有單調增的左右導函數,并且; 設,如果在左連續(或在右連續),則在可導.證 對任意的,由的凸性條件,可得,由此可知函數當時單調增,且有上界,從而當時,存在有限極限,且.同理可證函數當時單調減,且有下界,從而當時,存