1、 第六章 定積分前一章討論了已知一個函數的導數,如何求原來的函數,這樣一個積分學的基本問題-不定積分。這一章將討論積分學的另一個基本問題定積分.本章的主要問題有: 1.什么是定積分?2.定積分有哪些性質?3.定積分與不定積分有何關系?4.如何計算定積分和應用定積分?6.1+6.3 定積分的概念與基本性質主要教學內容:(1) 引出定積分概念的例子; (2) 定積分的概念;(3) 定積分的幾何意義;（4）定積分的基本性質；教學目的及要求: 使學生理解定積分的定義與基本性質;重點難點及解決措施: 重點、難點: 連續變量的累積，定積分的性質; 解決措施:用具體實例幫助學生理解抽象的概念.教學方法及手段

2、設計:講授法一、引出定積分概念的例子1.曲邊梯形的面積定義；在直角坐標系中,由一條連續曲線y=(x)和三條直線x = a、x = b和y = 0 (x軸) 所圍成的圖形, 稱為曲邊梯形, 如右圖AabBA (與直邊梯形AabB的區別) 。問題：當y = (x) 0 時, 曲邊梯形AabB的面積怎么求呢? 中學里會求直邊多邊形(特別是矩形)的面積, 下面利用矩形的面積來求曲邊梯形AabB的面積.分析:問題的難度在于曲邊梯形AabB的高對整個區間a, b來說是一個變量, 其最大值與最小值之差較大;從區間a, b的一個局部(小區間)來看,它也是一個變量;但因(x)連續, 從而當x 0時, y0,故可

3、將此區間的高近似看為一個常量,從而此區間對應的小窄曲邊梯形CEFH的面積近似等于小窄矩形DEFH的面積. 因而,如果把區間a, b任意地劃分為n個小區間,并在每一個區間上任取一點, 再以該點的高來近似代替該小區間上窄曲邊梯形的高,從而每個窄曲邊梯形就可近似地視為一個小窄矩形, 而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊梯形面積的近似值.要想得精確值, 只需區間a, b的分法無限細密(即每個小區間的長度x 0時, 全部窄矩形的面積之和的極限一定是曲邊梯形面積的精確值.從而可用下述方法和步驟來求曲邊梯形的面積:第一步：分割；用分點=b將區間a,b任意地劃分為n個小區間，每個小區間的長度為，過每個分點作垂

4、直于x軸的直線, 將曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形。 第二步：近似、求和；小矩形面積小曲邊梯形面積 ，。第三步：求極限。記各小區間的最大長度為，當分點數n無限增大且各小區間的最大長度 對上述和式取極限就得曲邊梯形的面積,即2.變速直線運動的路程設物體的運動速度為v=v(t),求物體在時間區間a,b內運動的距離s.第一步：分割；用分點=b將區間a,b任意地劃分為n個小區間，每個小區間的長度為，第二步：近似、求和；在區間上任取一時刻，將物體看成在時間內以作勻速直線運動，即 第三步：求極限。記各小區間的最大長度為，當分點數n無限增大且各小區間的最大長度 對上述和式取極限就得物體在時間區間a,b內運動

5、的距離s.即上述兩個問題都歸結為同一結構的和的極限，我們抽象出它的一般形式進行討論，就得到定積分的概念。二、定積分的概念1.定積分的定義 ：（定義6.1 p232）設(x)在a, b上有定義, 點=b將區間a, b任意地劃分為n個小區間; 每個小區間的長度為,在每個小區間上任取一點作和式,若當時,有確定的極限值 I, 且 I 與區間a, b的分法和的取法無關,則稱函數(x)在區間a, b上可積,并稱此極限值I為(x)在區間a, b上的定積分, 記為, 即。其中(x)為被積函數, (x)d x稱為被積表達式, x 稱為積分變量, a稱為積分下限, b稱為積分上限, a, b稱為積分區間,稱為積分

6、和。2.上述兩個引例的定積分表示（1）曲邊梯形的面積：（2）變速直線運動的路程3.注意（1）.反之不能推出。極限過程 ,既保證了分點個數無限增多(),又保證了區間分割無限細密(即所有小區間的長度都趨于0).（2）定積分的存在性(充分條件)i若(x)在區間a, b 上無界, 則(x)在a, b上必不可積.ii.若(x)在區間a, b上連續, 則(x)在a, b上可積.iii.若(x)在區間a, b上有界且只有有限個間斷點,則(x)在a, b上可積.（3）若(x)在區間a, b上可積,則定積分是一常數,它只與被積函數、積分區間有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即（4）規定 特別地，(5) (x

7、)在區間a, b上可積的充要條件是極限（常數）,且此極限值與a, b的分法和的取法無關,因此,對于可積函數(x),若要用定義來計算，則可選擇較為方便的區間分法（等分區間）和的取法（左（或右）端點）,使得計算簡便。例1利用定積分定義計算定積分.解 因(x)=2x+3 在 0, 4 上連續, 故它在a,b上可積, 從而可將區間0, 4 特殊劃分并特殊取點.不妨在區間0, 4 內插入 n 個等分點分成 n 個小區間, 取右端點為 ,且故三、定積分的幾何意義當且ab時, 定積分 表示一個在 x 軸上方的曲邊梯形的面積。當且 a b時, 定積分表示一個在 x 軸下方的曲邊梯形的面積的相反數.當(x)在a

8、, b上有正有負時, 定積分的值就是 x 軸上方的曲邊梯形的面積與 x 軸下方的曲邊梯形的面積的代數和.四、定積分的基本性質 性質1：；性質2：推廣（線性性質）：性質3（可加性）：對任意c,有推廣：性質4：若，且，則推論1：推論2：性質5：若f(x)=1,則性質6：若，則幾何意義：區間a, b上方以曲線 y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，介于以a,b為底、 以被積函數(x)的最小值m及最大值M為高的兩個矩形的面積之間. 性質7：（積分中值定理）設，則在上至少存在一點，使得幾何意義：區間a ,b上方以曲線 y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,等于以區間a, b為底、以() 為高的這個矩形的面積

9、稱為(x)在a, b上的平均值。例 試比較下列各組中定積分之大小（1）；（2）；作業 p266 2 (3)(4)、3（2） 6.4定積分與不定積分的關系 主要教學內容:(1) 變上限的積分及其導數; (2) 微積分基本公式;教學目的及要求: 使學生理解變上限的積分的概念，掌握其導數的求解方法,，熟練掌握用微積分基本公式求不定積分;重點難點及解決措施: 重點: 微積分基本公式; 難點: 變上限的積分及其導數;解決措施:用具體實例幫助學生理解.教學方法及手段設計:講授法一、變限的積分函數1、變上限積分函數:在區間,上連續，區間,上的任意一點, 因為在區間,上連續，則在區間,連續，即在區間,上的定積

10、分一定存在，即存在，當變化時，也變化，因此，它是定義在,上的函數，記為 ,，稱為變上限函數或稱為積分上限函數。2、變上限積分函數的性質定理6.1：設函數，則變上限積分可導，且其導數為證明：見教材p2393、原函數存在定理定理6.2：若函數f(x)在a,b上連續，則變上限積分是在a,b上的一個原函數。推論1 若(x)在a, b上連續, j(x)在a, b上可導, 則推論2 若(x)在a, b上連續, 在a, b上可導, 則例1求下列函數的導數：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求極限； 課堂練習： P268 8題二、牛頓萊布尼茲公式（微積分基本公式）定理6.3：設函數，函數是的一個原函數，

11、則證明：也是f(x)的一個原函數。故，求出c=-F(a)即可證明。見教材p241牛頓萊布尼茲公式當然也可寫作它不僅給出了計算定積分的統一、簡便的計算方法,而且也揭示了不定積分與定積分在計算方法上的關系例3求下列定積分1.; 2; 3. 例4. (見教材p242例5)例5設在0，1上連續，且滿足，求及。解： 因此，注意:若f(x)在a,b上不可積,則定理6.3不可用,例如,函數f(x)=在x=0處不連續.課堂練習： 已知，求 （=1/5）三、小結掌握變限積分函數的導數以及牛頓萊布尼茲公式求定積分的求解方法；并注意其使用條件與帶有絕對值的定積分的計算。 作業 p266 4 (3) (4)、5（10

12、）（12）（14）、 9 6.5+6.6定積分的換元積分法與分部積分法主要教學內容:(1) 定積分的換元積分法; (2) 定積分的分步積分法;教學目的及要求: 使學生掌握定積分的性質;重點難點及解決措施: 重點: 熟練運用換元積分法與分步積分法; 難點: 靈活運用換元積分法與分步積分法;解決措施:用具體實例幫助學生理解抽象的概念.教學方法及手段設計:講授法由牛頓萊布尼茲公式知:計算定積分的關鍵在于求出(x)在a, b上的一個原函數F(x); 而由第五章知求函數的原函數(即不定積分)的方法有湊微分法、換元法和分部積分法.因而在一定條件下,也可用這幾種方法來計算定積分 一.湊微分法因用湊微分法計算

13、不定積分時自始至終沒有引入新變量,故用湊微分法計算定積分時, 也應自始至終不改變積分限.下面舉例說明例1 求二.換元積分法定積分的換元公式：設(x)在a, b上連續, 令 x =j(t) 如果(1) j(t)在,上單調連續且具有連續導數(2) j()= a, j()= b, 則 證明在應用換元公式計算定積分時, 應注意以下幾個問題:(1) 所選擇的代換式x=j(t)必須滿足定理中的兩個條件;(2) 換元積分的關鍵是換限.記住“上限對上限,下限對下限”;(3) 求出的一個原函數后,不必象求不定積分那樣把 j(t)還原成x的函數,而只須直接將 t 的上、下限代入相減即可.例2.求下列積分（1） （

14、=1/6） ；（2） （=3ln3）例3求 (=)例4證明：（1）若，且為偶函數，則（2）若，且為奇函數 ，則。利用此結論可簡化奇函數及偶函數在對稱區間上的定積分的計算。例5 求下列定積分 1.； 2. 課堂練習：(1)（）；(2)（）；(3) （）三.分部積分法設u=u(x)與v=v(x)在a,b上有連續導數，則注意：（1）（2）用分部積分法計算定積分,因沒有引入新的變量,故在計算過程中自始至終均不變限,u 、 v的選擇與不定積分的分部積分法相同.例7求下列定積分1、 ；2、；3、 課堂練習：(1) ；(2) ；（3）解1：原式 例8設在0，1上連續，且，求.解：五、小結 1注意定積分的換元

15、積分公式以及換元一定要換限；2注意定積分的分部積分公式以及u、v的選擇原則。作業 p266 6（3）（7）（10）、7（3）（6）（8）、13 6.7 定積分的應用 主要教學內容:(1) 平面圖形的面積; (2) 立體的體積;（3）經濟應用；教學目的及要求: 使學生掌握用定積分求平面圖形的面積和立體的體積;會用定積分解決經濟問題;重點難點及解決措施: 重點: 定積分在幾何與經濟上的應用；難點: 平行截面面積為已知的立體的體積；解決措施:用具體實例幫助學生理解.教學方法及手段設計:講授法定積分的應用極其廣泛, 以下僅介紹它在幾何與經濟上的應用一、平面圖形的面積1. 曲邊梯形的面積由定積分的幾何意

16、義知：當且ab時,定積分 表示一個在 x 軸上方的曲邊梯形的面積。當f（x）0且 a o時， （2）當f（x）0時，； （3）當f(x)在a,b上有正有負時,類似地，x=(y)，y=c，y=d及y軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為：2.一般平面圖形的面積求由曲線所圍成之平面圖形的面積例1 求橢圓所圍成的圖形的面積例2計算拋物線，所圍成的圖形的面積（選擇為積分變量）。解：為了定出圖形的所在范圍, 應先求出拋物線和直線的交點，為此, 解方程組即這兩條拋物線的交點為 (2, -2) 及 (8, 4)。從而知道這圖形在直線 y = -2 及 y = 4 之間。取 y 為積分變量,且 y -2, 4, 則思

17、考: 若選 x 為積分變量，應該如何做? 請同學們課后自己作一下.例3 求曲線、與直線所圍成的圖形的面積。例4 求曲線在區間（0，4）內的一條切線，使該切線與直線、及軸所圍成的梯形面積最小。解：設切點坐標為，切線為：且，因此，所圍平面圖形的面積為： ，令得唯一駐點，而 ，故是唯一極小值點，也就是最小值點。 所以，所求切線方程為：二、立體的體積1.旋轉體體積設一立體是由連續曲線y =(x) 、 直線x = a 、 直線x = b及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉一周而成的.下面來求它的體積.（1）分割；用分點=b將區間a,b任意地劃分為n個小區間，每個小區間的長度為，過每個分點作垂直于x軸

18、的直線, 將旋轉體分成 n 個小旋轉體（2）近似、求和；將小旋轉體近似看成以底半徑為高為的直圓柱,則 ， 。（3）求極限。記各小區間的最大長度為，當分點數n無限增大且各小區間的最大長度， 對上述和式取極限就得旋轉體的體積為類似地, 由曲線 x =(y) 、 直線 y = c 、 = d(cd)與y 軸所圍成的曲邊梯形,繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為 一般地, 由連續曲線 y =(x) 、 y =g(x) 和直線 x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一周而成的立體的體積為例5求由曲線和 x=1，y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積。解： 例6求曲線與直線、圍成的平

19、面圖形分別繞、軸旋轉一周所得旋轉體的體積。解： 2.平行截面面積為已知的立體的體積設某立體被夾在過x軸上的點 x = a 與 x = b 并垂直于 x 軸的兩平面之間, 對應于a,b上的任意點x處垂直于 x 軸的截面面積 S(x) 是 x 的連續函數, 則此問題的體積為： 類似地，若立體被夾在過 y 軸上的點 y = c 與 y = d并垂直于 y 軸的兩平面之間, 在c, d上的任意點 y處垂直于 y 軸的截面面積 S(y) 是y的連續函數, 則立體的體積為： 例7一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并且與底面交成角，計算這個平面截圓柱體所得立體的體積。解：建立如圖所示的坐標系, 從而底面

20、圓的方程為 設x為R,R上之任意一點,過該點且垂直 x 軸的截面面積為S(x),則由三角形的面積公式, 有, 則所得立體的體積為：三、.經濟應用在經濟問題中,經常都要涉及到各種經濟量的總量.這些總量,在一定條件下,也可用定積分來進行計算.（已知邊際(變化率), 求總量.）若總量P(t)在某區間I上可導, 且a, xI, 則有在上式中,當x為產量且a = 0時,只要將P(x)代之以總成本C(x)、總收益R(x)、總利潤L(x), 則有例8 教材p252例2 例9 設某產品的總成本C(單位:萬元)的邊際成本是產量x(單位: 百臺)的函數總收入R(單位:萬元)的邊際收入 是產量 x 的函數(1)求產

21、量由1百臺增加到5百臺時總成本與總收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1萬元.分別求出總成本、總收益、總利潤與產量 x 的函數關系式;(3)產量為多少時, 總利潤最大; 并求此時的最大總利潤,總成本及總收益各為多少?四、小結求平面圖形的面積的步驟.注意恰當的選擇積分變量有助于簡化積分運算作業 p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16 、17 (2) (3)、19、206.9廣義積分與函數 主要教學內容:(1) 無限區間上的積分(無窮積分; (2) 無界函數的積分;（3）函數教學目的及要求: 使學生理解無窮限廣義積分和無界函數廣義積分和定義及計算;重點難點及解決措施: 重點: 利用廣義積分的定義計算; 難點: 概念產生的背景；解決措施:用具體實例幫助學生理解抽象的概念.教學方法及手段設計:講授法前面討論的定積分不僅要求積分區間a, b有限,而且還要求被積函數(x)在a ,b上有界. 然而實際還經常遇到無限區間或無界函數的積分問題.這兩類積分統稱為廣義積分. 其中前者稱為無窮積分, 后者稱為瑕積