1、第九章重積分74頁第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì) 74頁一、重積分的概念與性質(zhì) （中值定理）設(shè)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（），使補(bǔ)例 確定積分的符號(hào)，其中，.解：由于，；因此。習(xí)題8-2 二重積分概念與性質(zhì) 64頁2 根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：xyD12(1,2) (1) 與，是頂點(diǎn)分別為(1,0)，(1,1)，(2,0)的三角形區(qū)域解:在D上,故xyD35(5,1) (2) 與，其中D是矩形閉區(qū)域：.解:在D上,故5 求 ，其中連續(xù).解：連續(xù)，由中值定理，在D內(nèi)至少存在一點(diǎn)（），使；故練習(xí)冊(cè)1選擇：（1），,由軸，軸及直線所圍。解：在D內(nèi)，（2），D是解:

2、 2 利用二重積分定義證明：(1)（其中為D的面積）證：令，則3：，其中D是園形閉域：解:令,在D上, ,故4設(shè)是矩形閉區(qū)域：，矩形閉區(qū)域：；試用二重積分的幾何意義說明的關(guān)系。解:由對(duì)稱性知：曲頂柱體的體積的4倍，所以第三節(jié) 二重積分的計(jì)算64頁一 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分下用幾何觀點(diǎn)來討論二重積分的計(jì)算，若D為X型區(qū)域，即可表為：，（特點(diǎn)：過且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩點(diǎn)），有：上式右端的積分叫做先對(duì)后對(duì)的二次積分，即先把看作常數(shù)，把只看作的函數(shù)，并對(duì)從定積，然后把算得的結(jié)果（是的函數(shù)）再對(duì)計(jì)算在區(qū)間上的積分，也記為：因此有：類似地，若D為Y型：則 若D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域，那么兩

3、種積分順序都能計(jì)算二重積分. 由此得到二次積分交換積分順序的公式：特別，若，D為矩形區(qū)域：則補(bǔ)充例 計(jì)算，其中D由直線，及所圍閉區(qū)域。法1：畫D，先y，后x，則：法2：先x，后y,則：恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟. 在重積分的計(jì)算中也可利用對(duì)稱性，下面舉例說明.補(bǔ)例 計(jì)算，其中D：解：法一 極坐標(biāo) 得 D：法二 直角坐標(biāo)：區(qū)域D關(guān)于軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于奇，故將二重積分化為二次積分且先對(duì)y積分時(shí)，將是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分，一般地，設(shè)區(qū)域D對(duì)稱于軸，其在軸上方的部分為，若被積函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，即，則；若被函數(shù)關(guān)于變量y為偶函數(shù)，即，則. 同理，設(shè)區(qū)域D對(duì)稱于y軸，其在

4、y軸右方的部分為， 若關(guān)于變量奇，即，則； 若關(guān)于變量為偶，即，則.補(bǔ)例：下列等式是否成立，并說明理由.其中D:；:解：成立. 因?yàn)榉e分區(qū)域D對(duì)稱于軸，被積函數(shù)對(duì)x是奇函數(shù)，故積分值為0.解：成立.因D對(duì)稱于和軸，被積函數(shù)對(duì)和都是偶，故可用上的四倍表示.解：不成立.D雖然對(duì)稱于和軸，但被積函數(shù)對(duì)和均為奇，所以，原式=0.補(bǔ)例：計(jì)算為，所圍區(qū)域.解：關(guān)于xoz平面和yoz平面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于奇函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，則 1補(bǔ)例 計(jì)算，其中D是拋物線及直線所圍成的區(qū)域.解：D對(duì)稱于軸，被積函數(shù)關(guān)于和奇，因此，先后積分時(shí)有：習(xí)題8-3 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 73頁1. 化二重積分為二次積分（分別

5、列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的二次積分），其中D是：(1) 由軸及所圍；解: （3）由直線及拋物線所圍閉區(qū)域；解2 畫出積分區(qū)域，并計(jì)算二重積分： (1) ，其中D是由所確定的閉區(qū)域解: (2) ，D是由，及所圍成的閉區(qū)域解: 原式=補(bǔ)充其中是由圓周所圍成的右半閉區(qū)域。解：3（1） 計(jì)算，D是由直線及拋物線所圍區(qū)域；解：因 不能用有限形式表示出其結(jié)果，故先y后x積分. （2）計(jì)算所圍成的區(qū)域。1D4. 改變下列二次積分的積分秩序： (1)；補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：補(bǔ)充3：5平面薄片所占區(qū)域由，和x軸所圍，密度，求質(zhì)量.解:7 證明：aD證明：，所以：補(bǔ)例 計(jì)算下列二次積分：；3 解：因 不易積分，改變積

6、分次序.由作出D的草圖 原式（2）因 不易積分，改變積分次序.由 作出D的草圖， 原式補(bǔ)例 計(jì)算，其中D為所圍成的平面區(qū)域.解：作D的草圖法一 直角坐標(biāo)系，先y后x積分把D投影在x軸上，則，先x后y積分，把D投影在y軸上，則：，練習(xí)冊(cè)1改變積分次序：2xx2D2畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分的值；（1）的三角形閉區(qū)域。解：如圖（2）解：記1題圖2題圖3. 化二重積分為二次積分（分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的二次積分），其中D是：由，及所圍；4：計(jì)算由四個(gè)平面所圍成的柱體被平面截得的立體的體積。 116第四節(jié) 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 77頁極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：，面積元素 D：， ;則在

7、極坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，主要以極點(diǎn)O的位置來劃分.一般情況下積分順序?yàn)橄萺后.補(bǔ)例：計(jì)算，解：作D的草圖，令，園把D分為兩部分(極坐標(biāo))補(bǔ)充： 求由曲面及所圍成的立體的體積.zyxoD解：投影區(qū)域習(xí)題8-4 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 79頁1 畫出積分區(qū)域，將積分化為極坐標(biāo)下的二次積分，其中是: 補(bǔ)充：）解：，故：補(bǔ)充：）解：2. 計(jì)算下列積分 (1) ；解：原式xyD12(2) ，D是由圓周，及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解：原式4. 求由平面以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體體積.補(bǔ)充：；解：原式=補(bǔ)充：（其中D：）解：.補(bǔ)充：，其中D是由直線所圍成

8、的閉區(qū)域.解：原式=補(bǔ)充：求面上的圓周圍成的閉區(qū)域?yàn)榈祝郧鏋轫數(shù)那斨w的體積.解投影到面得內(nèi)部, 故練習(xí)冊(cè)5把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中5題圖解：所以6解：極坐標(biāo)（2）：，其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域.解：原式=由圓周所圍.解故yx42O7求心形線所圍圖形的(在園外部分)的面積。8：由螺線 與直線圍成一平面薄片D，密度，求質(zhì)量.解：第五節(jié) 三重積分 80頁 直角坐標(biāo)下 若：，則其中為在平面上的投影.補(bǔ)充例：計(jì)算三重積分：為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍閉區(qū)域。解：將投影到面上，得投影區(qū)域，在內(nèi)任取一點(diǎn)過此點(diǎn)作平行于軸的直線，該直線過穿入內(nèi)，然后過平面穿出外，于是：；（或先，有時(shí)，我們計(jì)算

9、一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分，再計(jì)算一個(gè)定積分，若，即介于平面與之間，過z軸上區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得平面區(qū)域（圖4-8）則 通常與z有關(guān). 此法也稱為“先二后一法”或“截面法”。習(xí)題8-5 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 86頁1. 化三重積分為三次積分，其中分別是 (1) 由與所圍成的閉區(qū)域。解：原式=（3） 化為三次積分，為由曲面所圍。解：，故：3 計(jì)算，由與所圍.(放到習(xí)題86為妥)原式=法2：（柱坐標(biāo)）法3：過面的截面：老練習(xí)冊(cè)19頁習(xí)題8-5 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 86頁1. 化三重積分為三次積分，其中分別是: 由與所圍閉區(qū)域。解：原式= 2. 計(jì)算，其中為由

10、，及所圍成的閉區(qū)域。解：原式=3球心在原點(diǎn)，半徑為R的球，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。（應(yīng)放到下一節(jié)：柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)計(jì)算）解：4. 計(jì)算，其中為由及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域。1 解：法2：（被積函數(shù)關(guān)于奇，），所以：第六節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分87頁一柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)：體積元素 ，則,其中 。在柱面坐標(biāo)系下通常采用的積分順序?yàn)橄葄后r再. 當(dāng)是園柱體，柱的一部分，或錐體，或由旋轉(zhuǎn)拋物面，錐面等所圍成的；被積函數(shù)的形式為或時(shí)，用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分簡(jiǎn)便.補(bǔ)充例：計(jì)算為所圍區(qū)域.4解：3利用球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分 球坐標(biāo)：，體積元素 ，其中 當(dāng)是球體或

11、球體的一部分；被積函數(shù)的形式為時(shí)，通常采用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.補(bǔ)例 計(jì)算，其中：解：法一（直角坐標(biāo)系），先z后再積分，則（令）方法二（先二后一法）；平行于面的平面截，所以：法三：柱坐標(biāo)由得：法四（球坐標(biāo)）得：補(bǔ)例 計(jì)算，其中為：.解：型，區(qū)域是球體，球坐標(biāo)由得：例 將化為柱面坐標(biāo)的三次積分，由，及所圍成的區(qū)域.4解：是由兩個(gè)平面和錐面所圍成的區(qū)域.由，得為，分為兩部分： ；其中 在三重積分的計(jì)算中也可利用對(duì)稱性。 一般地，設(shè)積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，其在平面上方的部分為， 若被積函數(shù)關(guān)于變量z為奇函數(shù)，即，則； 若被積函數(shù)關(guān)于變量z為偶函數(shù)，即，則. 同理可得積分區(qū)域關(guān)于yoz平面、xoz平面對(duì)

12、稱的結(jié)論.補(bǔ)例：下列等式是否成立，并說明理由.其中：；：，；：，解：兩個(gè)等式均成立. 因?qū)θ齻€(gè)坐標(biāo)面均對(duì)稱，被積函數(shù)第一個(gè)是關(guān)于x的奇函數(shù)，第二個(gè)是關(guān)于z的奇函數(shù)，因此積分值為0.，解：在第一個(gè)等式中，對(duì)稱于yoz平面，而被積函數(shù)x在上是關(guān)于x的奇函數(shù)，故. 而是的第一卦限部分，其上自變量全部取正值，故有，所以雖然是的四倍，但等式不成立. 第二個(gè)等式中，被積函數(shù)是關(guān)于x、y的偶函數(shù)，而積分區(qū)域又對(duì)稱于xoz平面和yoz平面，故等式成立.解：等式成立. 因?yàn)閷?duì)稱于xoz平面和yoz平面，而被積函數(shù)或是關(guān)于x的奇函數(shù)（xz），或是關(guān)于y的奇函數(shù)（yz），或是關(guān)于x、y均為奇函數(shù)（xy），故積分值均

13、為0.1 補(bǔ)例計(jì)算，其中是由平面及拋物柱面所圍成的區(qū)域.解：關(guān)于面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于奇，因此I = 0習(xí)題8-6 利用極坐標(biāo)和球計(jì)算三重積分 95頁再看一下習(xí)題8-5的第3題：計(jì)算，由與所圍.原式=法2：（柱坐標(biāo)）法3：過面的截面：補(bǔ)充：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分.(1) ，由不等式所圍閉區(qū)域。.解：則：（2），為曲面與平面圍成的區(qū)域.解：柱坐標(biāo)：1利用球面坐標(biāo)或柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分（3）計(jì)算，是由及平面所圍區(qū)域.5解：柱坐標(biāo)：故原式=.補(bǔ)充1：，:.球坐標(biāo)：原式=補(bǔ)充2：計(jì)算，其中：解：球坐標(biāo)：補(bǔ)充：所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域。 2利用對(duì)稱性計(jì)算三重積分，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域.

14、解：法一：用球坐標(biāo)，原式=法二：由于被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)，關(guān)于xoy面對(duì)稱，故原式=0.3. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的體積. (1) 及（含有z軸的部份）；解：在球坐標(biāo)下，故補(bǔ)充：解：柱坐標(biāo)：補(bǔ)充： 求半徑為的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成立體的體積。解：設(shè)球面通過原點(diǎn)，球心在軸上，又錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。則球面，錐面，：，所以：補(bǔ)充：球心在原點(diǎn)，半徑為的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。練習(xí)冊(cè)習(xí)題8-6 利用極坐標(biāo)和球計(jì)算三重積分1填空：設(shè)圍成，則三重積分在三種坐標(biāo)系下分別可化為三次積分如下：直角坐標(biāo)系下：柱面坐標(biāo)系下：球面坐標(biāo)系下：2 利

15、用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分.（1）所圍成的閉區(qū)域。1解：柱坐標(biāo)：原式=(2) ，由不等式所圍閉區(qū)域。.解：則：（3），為：.解：被積函數(shù)是型，積分區(qū)域是球體，球坐標(biāo)，由 得 ： (4) 所確定。解：球坐標(biāo)下，zyxoD故. 3. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的體積. (1) 及zyxoD解：柱坐標(biāo)，故（2）由曲面所圍勻質(zhì)物體的重心。解：由對(duì)稱性顯見：（大半球體積減小半球體積）。總習(xí)題八 96頁一、填空題 2、選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論：2(1)設(shè)空間區(qū)域：，：，則（ C ）(A) ；(B) ；(C) ；(D).（2）設(shè)平面閉區(qū)域。則：；（C）（D）解：因?yàn)樗裕? 交換下列二次積分的次序：2 （2）題圖1（1）題圖2 07、設(shè)在0,1上連續(xù)，證明：. 證：左邊=補(bǔ)充練習(xí)1. 設(shè)D：，則等于：= ；_2. 設(shè)D域?yàn)椋瑒t的值等于_ = ；（幾何意義）3. 設(shè)：，則 _ =4； 4. 設(shè)：，則_ =3_5. ，則交換積分次序后得：；6. 若，其中是；，其中是，則與的值為：