1、2.4等比數列、2.5等比數列前n項和集體備課 高一數學：毛燕林一、教材分析1、教學內容：等比數列，等比數列的前n項和2、教材地位、作用：數列知識是函數的連續，又為進一步學習數列極限和高等數學打下基礎。本部分內容與前面學過的等差數列是平行結構的關系，兩者之間存在著內在到聯系，通過類比，可以拓展學生發現、創新的能力，等比數列的通項公式與前n項和公式的探究和推導需要學生去觀察、分析、歸納和猜想，有助于培養學生的創新精神和探索精神，是增強學生的應用意識和數學能力到良好載體。3、教學內容總體教學目標： 知識目標：掌握等比數列的定義及通項公式，探索發現等比數列的一些簡單性質并能進行簡單應用；理解等比數列

2、前n項和公式及簡單應用，掌握等比數列前n項和公式推導方法。能力目標：培養學生觀察、思考和解決問題的能力，加強特殊到一般，類比與轉化、分類討論等數學思想培養及應用方程思想的計算能力。情感目標：培養學生合作交流，獨立思考等良好的個性品質以及勇于批判、勇于創新的科學精神。4、教學重點：等比數列的定義、通項公式及簡單應用；等比數列前n項和公式的推導及應用。教學難點：等比數列及其通項公式的深刻理解，等比數列前n項和公式推導方法的理解及靈活應用定義、公式、性質解決一些相關問題。5、課程標準與考綱要求 課程標準：（1）、通過實例，理解等差數列、等比數列的概念。（2）、探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與

3、前n項和公式。（3）、能在具體的問題情境中，發現數列到等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應問題。（4）、體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系。 2011年考綱（1）、理解等差數列、等比數列的概念。（2）、掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式。（3）、能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能有關知識解決相應問題。（4）、了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系。課標與原大綱教材比較刪去了用遞推式表示數列這一內容，但在教材上還是有這一內容。北師大版刪去了這一內容，鄂教版單列一節作為了選學內容。6、教材特點（1）重視數列的函數背景 教材將數列作為一

4、類特殊的函數學習，將函數的表示方法遷移到數列的表示法中，將一次函數、二次函數的性質應用到等差數列的通項公式與求和公式的研究，因此函數的單調性、函數的最大值與最小值、函數的有界性、函數的周期性也可以遷移到數列中去構成數列的研究問題，北師大版教材就將數列的單調性單列為一節，其它內容是否引入教學我們可以根據教學實際做出選擇。（2）、突出數學思想方法，有類比思想、歸納思想、數形結合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般思想等。類比思想：如，數列與函數的類比，類比數列得到等比數列的定義及相關性質等.歸納思想：如等差、等比數列及前n項和公式的得出與推導過程，充分注意了學生的觀察、猜想、發現、歸納、概括、總結

5、等學習過程的體驗，強調了歸納思想的具體運用。數形結合思想：在數列概念的引入及其簡單表示方面有具體應用。算法思想：算法思想貫徹全章內容的始終，數列通項公式的求解，就有算法思想的體現。方程思想：有關數量關系探究方面注重了方程思想的滲透。特殊到一般思想：如等差、等比數列概念的引入。 （3）、體現“現實情境-數學模型-應用于現實問題”的特點：教材的這種處理方式，注重了對學生從實際問題抽象出數列模型的能力的培養，數列的實際應用背景增加了，而對涉及數列中各量之間基本關系的繁難的技能訓練題目，要求則有所降低，只要能達到基本技能訓練目的就可以了。 （4）、注重滲透數學文化。教材將數列文化非形式化的貫穿于整個課

6、程之中，凸顯了數列知識豐富的文化底蘊也充分說明了數列的重要性與學習的必要性，有利于調動學生學習的積極性。二、學情分析 學生已經學習了數列的概念、等差數列、等差數列前n項和公式，為學習這一部分內容打下了很好的基礎。從學生思維特點和認知結構看，學生容易將本節知識與等差數列知識進行類比，另一方面本部分計算量增大，特別是等比數列前n項和的計算，思維深刻性提高，而且對q=1這一情況，學生往往容易忽視。對高一學生而言，雖然具有一定的分析和解決問題的能力、邏輯思維能力也初步形成，但還不夠深刻，不夠嚴謹，知識的類比和遷移能力也需借助這部分知識得到提高和加強。三、考情分析：通過對近三年高考試題的統計分析，數列這

7、一章在整個命題過程中有以下規律：1考查熱點：圍繞數列的通項公式和遞推式，以及前n項和公式.2考查形式：一般以選擇、填空、解答題形式出現，屬中檔題.3考查角度：數列與函數、方程、不等式、三角、解析幾何綜合.4命題趨勢：高考仍以數列的通項公式和求和公式為主線.5. 考題比例：一般為12個客觀題，一個主觀題，分值在20分左右。四、教學建議1、 課時安排等比數列 2課時；等比數列前n項和 2課時 ；回顧與小結 2課時；2、 教學建議（1）突出函數思想。（2）倡導化歸思想。（3）滲透類比意識。（4）感悟數學文化。數列通項公式的九種求法一、公式法例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，

8、故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。二、累加法例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以數列的通項公式為。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求

9、出，即得數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。三、累乘法例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數列的通項公式為評注：本題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。四、待定系數法例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數列是以為首項，以2

10、為公比的等比數列，則，故。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系

11、式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。五、對數變換法例10 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得設將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。六、迭代法例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以又，所以數列的通項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得

12、，即，再由累乘法可推知，從而。七、數學歸納法例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。（1）當時，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。八、換元法例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從

13、而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。九、不動點法例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的不動點。因為，所以。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。數列求和的方法1、公式法：

14、如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.等差數列求和公式：等比數列求和公式：常見的數列的前n項和：， 1+3+5+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例1、 已知函數（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，兩式相加得： 所以.小結：解題時，認真分

15、析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.針對訓練3、求值：3、錯位相減法：類似于等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到，即數列是一個“差·比”數列，則采用錯位相減法.若，其中是等差數列，是公比為等比數列，令則兩式相減并整理即得例2、（2008年全國第19題第（2）小題，滿分6分）已知，求數列an的前n項和Sn.解：得小結：錯位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；將兩個等式相減；利用等比數列的前n項和的公式求和.針對訓練4、求和：4、裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之

16、差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：（1），特別地當時，（2），特別地當時例3、數列的通項公式為，求它的前n項和解： =小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.針對訓練5、求數列的前n項和.5、分組求和法：有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然后分別

17、求和，再將其合并即可.例4、求和：解：小結：這是求和的常用方法，按照一定規律將數列分成等差（比）數列或常見的數列，使問題得到順利求解.針對訓練6、求和：基本練習1.等比數列的前項和S2，則_.2.設，則_.3.4. =_5. 數列的通項公式，前n項和6 的前n項和為_提高練習1數列an滿足：a11，且對任意的m，nN*都有：amnamanmn，則( )ABCD2數列an、bn都是公差為1的等差數列，若其首項滿足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數列前10項的和等于 ( )A100B85C70D553設m=1×2+2×3+3×4+(n-1)·n，則

18、m等于 ( )A. B.n(n+4)C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則S17+S3350等于 ( )A.1B.-1C.0D.25設an為等比數列,bn為等差數列，且b1=0,cn=an+bn,若數列cn是1,1,2,則cn的前10項和為 ( )A.978B.557C.467D.97961002-992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050C.10100D.202007一個有2001項且各項非零的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為.8若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a=,b=,c=.

19、9已知等差數列an的首項a11，公差d0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列bn的第二、三、四項(1)求數列an與bn的通項公式；(2)設數列cn對任意自然數n均有成立求c1c2c3c2003的值10已知數列an的前n項和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求證數列an+(-1)n是等比數列;(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對任意的整數m>4,有基礎練習答案1、 2、 3、 4、5、 6。提高練習答案1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用疊加法得到：，答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3則數列也是等差數列，并且前10項和等于：答案：B.3解：因為an=n2-n.，則依據分組集合即得.答