1、等離子體的動力論和流體描述 等離子體既然是與電磁場做相互作用，首先看電磁場對等離子體的影響。我們對帶電粒子的單粒子運動的理論已經有了一些認識，但對于等離子體是如何影響電磁場的，還需要有所了解。從Maxwell方程組可以看到，主要是電荷分布和電流分布（以及邊界條件）決定了電磁場。而電荷分布與等離子體各個帶電成分的密度分布有關。如果沒有新的復合和電離過程，密度分布滿足連續性方程。對流體進行描述，考察各個物理量隨著時間的變化，常用的是歐拉法，即考察固定的地點上物理量隨時間的變化，另外一種方法是拉格朗日法，是考察固定的物質上的物理量隨時間的變化。因為物質是移動的，因此不但隨時間變化，也隨空間變化。我們

2、分別就這兩種方法，考察等離子體的連續性方程。連續性方程 假設等離子體沒有產生（電離）、沒有消失（復合），一塊等離子體的數量會保持不變。這里是隨體微分，即拉格朗日法描述流體。為了了解體積元的變化，先看看流體中一段長度元的變化。經過時間之后，新的位置為r1即，應用這個結果，考察一個小體積元，因而，取x分量，因此， 電流分布不但與等離子體各個帶電成分的密度分布有關，而且與它們的運動速度有關。動力論的描述使用分布函數f(t, x, v)，不但包含密度信息，也包含了帶電粒子的速度信息。這是在相空間中的密度分布，類似于普通的密度分布，不過空間變為6維。為了便于想象，我們考慮一維的運動，這樣，分布函數的相空

3、間就是2維的（x，v），可以直觀的畫出。 分布函數描述等離子體的狀態，其中分別看作獨立的變量。 從分布函數可以求出密度分布，即將所考察區域內的所有速度的粒子統計得到。其他宏觀物理量也可以用類似方法求得。 一般來說，宏觀物理量可以通過計算速度的加權平均獲得：最常見的分布是Maxwllian分布：動力論方程 相空間的連續性方程是動力論方程。如果等離子體中的帶電粒子沒有新生或者復合，其數量在相空間中守恒，即得關于分布函數f在6維相空間中的守恒型方程： 結合具體的等離子體粒子的運動過程，有實際的關系 考慮到分別看作獨立的變量，且上式的加速度中，雖然含有速度，但仍有，因此方程化為其中方程右端代表碰撞引起

4、的等離子體分布函數的變化。由于碰撞是帶電粒子相互靠近時發生的，上式左邊的電磁場如果使用較大尺度的平均的量，就要將代表等離子體粒子附近的電磁場引起的碰撞效應歸結到方程右端的碰撞項中。矩方程由動力論方程，可以推導宏觀物理量所滿足的方程。設僅是速度的函數，對方程做積分，得其中用到在無窮遠處分布函數為0的假設。（1）取，得連續性方程因為碰撞前后雖然速度改變，但位置不變，因此全速度空間積分之后，碰撞項的積分貢獻為0。（2）取，得種類為的帶電粒子的運動方程：這里，是流體速度，是壓力張量，是碰撞頻率，是約化質量，計算碰撞項的積分時，考慮每次碰撞引起的動量變化相當于質量為m的質點，速度（va-vb）方向（q）

5、轉變了90，但由于碰撞轉向的經度角（j）是隨機的，大量事例統計平均之后平均速度為0，得到式中的動量變化。上式可以簡化為（3）取，為了簡化起見，忽略碰撞項，得到壓力滿足的方程為（這里 c = v - u，在絕熱近似下可以忽略熱運動3次項的平均）對于i = j情況并對三維進行求和，可得能量方程（其中磁場效應為0：），化簡之后的形式為回過來考慮一般情況下的壓力變化，則利用受力方程簡化消去，可得 一般不考慮磁場對垂直方向壓力項的均勻化作用影響，可忽略上式左邊最后一項。特殊情況下，不考慮磁場的影響（磁場作用是使垂直方向上壓力均勻化），壓力張量的交叉項取為0，則對角項或 在各向同性的D維情況下，則因而 在

6、考慮3維情況，有平行方向壓力和兩個相同的垂直方向壓力，這時加上垂直方向有（磁矩是絕熱不變量）構成雙絕熱方程。結合這兩個方程，可以單獨求出關于平行方向壓力的方程為這個方程可以從凍結方程取平行分量，即，帶入也可得上式。單一成分的帶電粒子流體的方程組（包括雙流體模型） 連續性方程 受力方程或等價地寫為守恒型的動量方程為 能量方程在絕熱情況下，用絕熱方程（其中D是維數）在有磁場且平行和垂直方向上壓力不同的時候，用雙絕熱方程，磁流體力學方程組將等離子體中的各個成分寫出的流體方程相加，得到對等離子體整體描述的磁流體力學方程組。連續性方程受力方程（其中用了準中性條件）這里我們假設各成分的速度都一樣，且碰撞的

7、動量交換都相互消去。能量方程其中e是單位體積中的熱能。簡化的情況下或可用絕熱方程代替此能量方程。電場、磁場、電流等還要Maxwell方程組，由于我們處理的空間等離子體常是處于緩變的環境，位移電流可以忽略。另外，我們常使用準中性假設，這時，凈電荷rq=0。計算電場時，需要用廣義歐姆定律代替泊松方程：這里h是電阻率，通常是很小的量，可以忽略。由此我們得到最簡化情況下的等離子體磁流體運動方程組：這個方程組是封閉的，方程的個數與變量的個數一樣。加上初始條件和邊界條件即可求解。壓力張量我們定義了壓力張量為其中u是宏觀平均速度，v是相空間速度變量，在速度空間作平均得到壓力張量。對于普通的Maxwellia

8、n分布，P = pI= nTII是單位張量。若平行和垂直方向的溫度不同，b是磁場方向的單位向量。對于流體力學中有粘滯情況，壓力張量的非對角項不為0，相關的理論給出：h為粘滯系數，h為體積粘滯系數，是與流體可壓縮性有關。非對角項Pij代表了一個小體積元的第i軸的橫截面上所受到的第j方向上的壓強。如（Pxx，Pyx，Pzx）構成了在小體積元上的yz面（x軸的橫截面）上所受到的壓力。事實上，設想如果在流體中有一個小體積元的物體存在，在經過t時刻之后，撞擊到yz面的、相對速度為v-u的粒子的個數有(vx-ux)tyzfdvx，相對的動量為 m(v-u)，如果設想這些動量都會因撞擊小體積元而消失，則會在

9、yz面上產生力。單位面積上產生的力為是我們定義的壓力張量。廣義歐姆定律如果對等離子體進行磁流體的描述，就要假設等離子體是電中性的。但是，對于電中性的等離子體，凈電荷為0，就無法使用泊松方程求解電場，這時我們需要用廣義歐姆定律來替代。廣義歐姆定律來自電子的運動方程： 由于有電中性假設，ne=ni=n，而ui是所有離子的速度加權平均：因為離子占整個等離子體質量的絕大多數，因而這個速度通常被看作是等離子體的整體速度，而電子的速度卻是間接得到的：由此，可從電子的運動方程中解出電場：其中，是電阻率。電場表達式的右邊各項分別是：流動項（對應磁場的凍結項）電阻項（對應磁場的擴散項）電子壓力梯度項霍爾（Hal

10、l）效應項電子慣性項從量值上分析，流動項其實對應了坐標變換感應的電場，如果以等離子體的運動速度為新坐標系的速度，在新坐標系中就沒有這個電場的存在。霍爾效應項與電流有關，在電子與離子的速度差不大的情況下作用有限。除了這兩項之外，其余三項（電阻項，電子熱壓力梯度項，電子慣性項）的量值從微觀上看均與me成正比，都應該較小。從廣義歐姆定律看，這三項也提供了電場的平行分量，但通常，電場是垂直于磁場的，因而他們也不可能很大，提供的平行電場也很小。磁場的凍結：在只有磁場存在時，帶電粒子圍繞磁力線做回旋運動時，并不離開。一般來說，帶電粒子直接很難橫跨磁力線運動，說明等離子體是和磁場凍結于一體的。同時存在垂直方

11、向的電場時，帶電粒子的回旋引導中心產生了一個與帶電粒子種類無關的速度漂移vD。如果我們用這個漂移速度建立新的坐標系，在新坐標系中電場就變為E = E + vDxB = 0，因此這個漂移速度可以看作是等離子體攜帶磁場整體運動的速度。這同樣說明等離子體是和磁場凍結在一起的。反過來看，這個電場E = -vDxB 也可看作是廣義歐姆定律中的流動項，在計算磁場變化的磁感應方程中對應了磁場的凍結效應。只考慮流動項的磁感應方程為：從下面的推算過程，我們可以看到這個方程顯示了磁場的凍結效應：化為利用連續性方程代換成這與流體中的線段元所滿足的方程在形式上是一樣的，這表示初始時平行于磁場的等離子體線段元在以后的運

12、動中，也始終平行于磁場，即磁場凍結在等離子體中。另外，可以從磁通不變的角度看，S是小體積元的橫截面，L是沿著磁場的長度，m是體積元中等離子體的質量（為常數），F是磁通。只有磁通為常數時，B/r的行為才與線段元L的行為一致。磁通的守恒可以直接驗證：uABCBdl由于磁通A是反向面計算的，因此它實際上與新的磁通B相同。這也驗證了磁通的凍結效應。磁場的擴散如果電場的表達式中只有電阻項，同時則有此感應方程中只有擴散項這是拋物線型偏微分方程。簡單的1維形式為假設初始時，磁場只在x=0點存在，但磁通量是1。初始條件可以描述為方程經Fourior變換可解出而初始條件的Fourior變換為應用這個初始條件，可

13、以通過反Fourior變換的方法，求出其磁通量保持常數：而磁場分布的寬度隨時間的1/2次方增加。這說明擴散項導致磁場從一個點逐漸擴散，破壞了磁場的凍結。綜合說來，磁場的凍結效應是占主要的，而由于有限的小電阻存在，磁場并不能理想地一直保持與等離子體凍結在一起。磁場會逐漸擴散開來。磁場的凍結和擴散效應之比是一個無量綱的數值，稱為磁雷諾數。這個數和電阻成反比，在空間等離子體中通常是很大的數值。因此，空間物理中經常只考慮凍結項，而忽略擴散項。磁流體的洛倫茲力考察磁流體所受到的電磁力。由于采用了電中性假設，與電場作用的凈電荷為0，因而只有磁場與電流的作用力：而電流也能用磁場表述。進一步，可得這里我們運用

14、了矢量運算式并取p = q = B來替換。這樣，式中我們看到，磁場能形成一個與普通熱壓力張量起相同作用的磁壓力項：磁場引起的等離子體受力的另外一項可化為兩項： 其中k是曲率。右邊第一項可看作是沿著磁力線方向的磁張力所造成的。由于磁張力欲使磁力線被拉平直，形成了垂直于磁力線的、沿磁力線的曲率方向的合力，其大小與磁場力和曲率成正比。第二項是抵消平行方向上的磁壓力梯度力的。因為總的看來，磁場力為jxB，其中并沒有平行磁場的分量，這部分的力必須抵消為0。經過以上的變換，磁場對等離子體的作用力等效為磁壓力的梯度力的垂直分量，以及磁張力對彎曲磁力線的回復力。 曲率可以由曲率半徑表示。這樣，磁場彎曲所引起的回復力可寫為，這里是曲率半徑。RbbbbjB等離子體的平衡 由得知，平衡時，電流和磁場都在