1、黃金分割及平行線分線段成比例一、黃金分割黃金分割如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)AC與AB的比叫做黃金比黃金比黃金比值的求法：因?yàn)椋褺CABAC，所以，解得AC，或AC0.618AB，即得黃金比或0.618求作黃金分割點(diǎn)求已知線段AB的黃金分割點(diǎn)。方法一：如圖 1、經(jīng)過點(diǎn)B作BDAB，且BD= 2、連接AD，在DA上截取DEDB 3、在AB上截取ACAE， 所以點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)理由：設(shè)AB1，則BD1/2,AD， AC，BC 所以 ，所以點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)方法二：如圖1、在線段AB上作正方形ADCB

2、 2、取AD的中點(diǎn)E，連接EB3、延長DA至F，使EFEB 4、以線段AF為邊作正方形AFGH所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)理由：設(shè)AB1，則AE，所以 AH，BH所以，所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)方法三：如圖1、以AB為腰作等腰ABD，使A36°2、作ADB的角平分線交AB于點(diǎn)C所以，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)理由：作圖的理由在本章學(xué)完就知道，對這一基本圖形我們將會非常熟悉，此等腰三角形叫做黃金三角形例1：如圖所示，矩形ABCD是黃金矩形（即0.618），如果在其內(nèi)作正方形CDEF，得到一個小矩形ABFE，試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？、例2：以長為2的線段AB為邊作正方形A

3、BCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PFPD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示，（1）求AM，DM的長，（2）試說明AM2=AD·DM（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？練習(xí)題一、請你填一填（1）如圖，若點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AP、PB、AB滿足關(guān)系式_，即AP是_與_的比例中項. （2）黃金矩形的寬與長的比大約為_（精確到0.001）.（3）如果線段d是線段a、b、c的第四比例項，其中a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,則d=_cm.（4）已知O點(diǎn)是正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，則AOABAC=_.二、認(rèn)真

4、選一選1、有以下命題:如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么AC是AB、BC的比例中項如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，那么AC是AB與BC的比例中項如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC，且AB=2，則AC=1其中正確的判斷有（ ）A.1個B.2 個 C.3個D.4個2、已知P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且APPB，則（ ）A、； B、； C、； D、3、.已知點(diǎn)M將線段AB黃金分割(AMBM)，則下列各式中不正確的是( )A. AMBM=ABAM B. AM=AB C. BM=AB D. AM0.618ABA.1個B.2個 C.3

5、個D.4個4、已知P、Q是線段AB的兩個黃金分割點(diǎn)，且AB10cm，則PQ長為（ ） A、 B、 C、 D、三、好好想一想1、已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)AC，且ACBC，求線段AB與BC的長。AEFB2、E、F為線段AB的黃金分割點(diǎn)，已知AB10 cm，求EF的長度 3、如果一個矩形ABCD(ABBC)中，0.618，那么這個矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.在黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形CDEF，得到一個小矩形ABFE(如圖1)，請問矩形ABFE是否是黃金矩形？請說明你的結(jié)論的正確性.二、平行線分線段成比例知識梳理平行線分線段成比例定理及其推論1. 平行線分線段成比例定理如下圖，如果，

6、則，.2. 平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果，則_A_B_C_D_E_E_D_C_B_A3. 平行的判定定理：如上圖，如果有，那么 。專題講解專題一、平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【例1】 如圖，且,若，求的長。 【例2】 如圖，已知，若，求證：.【鞏固】如圖，垂足分別為、，和相交于點(diǎn)，垂足為.證明：.【鞏固】如圖，找出、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例3】 如圖，在梯形中， ，過對角線交點(diǎn)作 交于，求的長。【鞏固】（上海市數(shù)學(xué)競賽題）如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，交于，交于，求的長。 專題二、定理及推論與中點(diǎn)有關(guān)的問題【例4】 （2007年北師大附中期末試題）（1

7、）如圖（1），在中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，連接并延長，交的延長線于，則_.（2）如圖（2），已知中，與相交于，則 的值為（ ）A. B.1 C. 【例5】 （2001年河北省中考試題）如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）當(dāng)時，求的值 。 （2）當(dāng)時，求的值；（3）試猜想時的值，并證明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考題）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，是延長線與的交點(diǎn).（1）如果是的中點(diǎn)，求證：；（2）由（1）知，當(dāng)是中點(diǎn)時，成立，若是上任意一點(diǎn)（與、 不重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請寫出證明，若不成立，請說明理由.【鞏固】（天津市競賽題）如圖，已知中，是邊上的

8、中線，是上的一點(diǎn)，且，延長交于。求證：。【例7】 （寧德市中考題）如圖，中，為邊的中點(diǎn)，延長至，延長交的延長線于。若，求證:。【鞏固】（濟(jì)南市中考題；安徽省中考題）如圖， 中，若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則_.專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例【例8】 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與、及的延長線分別相交于點(diǎn)、和.求證：【鞏固】已知，如圖，四邊形，兩組對邊延長后交于、，對角線，的延長線交于求證：【例9】 已知：為的中位線上任意一點(diǎn)，、的延長線分別交對邊、于、，求證：【例10】 在中，底邊上的兩點(diǎn)、把三等分，是上的中線，、分別交于、兩點(diǎn)，求證：【例11】 如圖，、為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交、和的延長線于點(diǎn)、和.求證：.【例12】 已知：如圖，在梯形中，是的中點(diǎn)，分別連接、，且與交于點(diǎn)，與交于.（1）求證：（2）若,，求的長 【鞏固】如圖，在梯形中，,，若，且梯形與梯形的周長相等，求的長。【例13】 （山東省競賽題）如圖，的對角線相交于點(diǎn)，在的延長線上任取一點(diǎn)