1、淺談定積分的應用* * （天津商業大學經濟學院，中國天津 300134)摘要：定積分在我們日常生活和學習中有很多的用處，本文闡述了定積分的定義和幾何意義，并通過舉例分析了定積分在高等數學、物理學、經濟學等領域的應用條件及其應用場合，通過分析可以看出利用定積分求解一些實際問題是非常方便及其準確的。關鍵詞 定積分 定積分的應用 求旋轉體體積 變力做功The Application of Definite Integral* *(Tianjin University of Commerce，Tianjin，300134，China)Abstract:Definite integral

2、60;in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis 

3、of the definite integral in the higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that&#

4、160;the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for

5、60;the body of revolution, volume change forces work 0、前言眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。一元函數情況下，求微分實際上是求一個已知函數的導數，而積分是已知一個函數的導數，求原函數，所以，微分與積分互為逆運算。在我們日常生活當中，定積分的應用是十分廣泛的。定積分作為人類智慧最偉大的成就之一，既可以作為基礎學科來研究，也可以作為一個解決問題的方法來使用。微積分是與應用聯系著并發展起來的。定積分滲透到我們生活中的方方面面，推動了天文學、物理學、化學、生物學、

6、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支的發展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，微積分是一門歷史悠久而又不斷發展進步的學科，歷史上許多著名的數學家把畢生的心血投入到微積分的研究中，從生產實際的角度上看，應用又是重中之重，隨著數學的不斷前進，微積分的應用也呈現前所未有的發展1-5。本文將舉例介紹定積分在的我們日常學習和生活當中的應用。1定積分的基本定理和幾何意義1.1、定積分的定義定積分就是求函數在區間中圖線下包圍的面積。即由，,所圍成圖形的面積。定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不

7、可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：如果是上的連續函數，并且有，那么用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。1.2、定積分的幾何意義當時，是曲邊梯形的面積如圖1a所示；當時，是曲邊梯形的面積的負值1b所示； （a） (b) 圖1定積分的幾何意義圖示2定積分的應用1，解決求曲邊圖形的面積問題例：求由拋物線與直線圍成的平面圖形D的面積S。2，求變速直線

8、運動的路程做變速直線運動的物體經過的路程s，等于其速度函數，在時間區間上的定積分。3，變力做功某物體在變力的作用下，在位移區間上做的功等于在上的定積分。3定積分的應用舉例3.1、平面圖形的面積3.1.1、直角坐標系下平面圖形的面積(1)X型與Y型平面圖形的面積把由直線，及兩條連續曲線，所圍成的平面圖形稱為X型圖形如圖2a；把由直線，及兩條連續曲線x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)£g2(y)所圍成的平面圖形稱為Y型圖形。如圖2b （a）X型圖形 (b) Y型圖形圖2平面圖形的面積注意：構成圖形的兩條直線，有時也可能蛻化為點。把X型圖形稱為X型雙曲邊梯形，把Y型圖形稱為Y型雙曲

9、邊梯形。）用微元法分析X型平面圖形的面積取橫坐標x為積分變量，。在區間上任取一微段，該微段上的圖形的面積dA可以用高為、底為dx的矩形的面積近似代替。因此從而）微元法分析Y型圖形的面積對于非X型、非Y型平面圖形，我們可以進行適當的分割，劃分成若干個X型圖形和Y型圖形，然后利用前面介紹的方法去求面積。例1求由兩條拋物線，所圍成圖形的面積A。如圖4所示。圖4解解方程組得交點(0，0)，(1，1)。將該平面圖形視為X型圖形，確定積分變量為x，積分區間為0，1。由公式(5)，所求圖形的面積為=。例2 求由曲線與直線所圍成圖形的面積A。如圖5所示圖5解解方程組得交點(，1)，(2，2)。積分變量選擇y，

10、積分區間為2，1。所求圖形的面積為=。3.1.2、極坐標系中曲邊扇形的面積在極坐標系中，稱由連續曲線及兩條射線，所圍成的平面圖形為曲邊扇形。在上任取一微段，面積微元dA表示這個角內的小曲邊扇形面積，所以。例3求心形線，所圍成圖形的積A。如圖6所示。圖6解因為心形線對稱于極軸，所以所求圖形的面積A是極軸上方圖形A1的兩倍。極軸上方部分所對應的極角變化范圍為，由公式(7)，所求圖形的面積為=。3.2、空間立體的體積3.2.1一般情形設有一立體，它夾在垂直于x軸的兩個平面，之間(包括只與平面交于一點的情況)，其中，如圖所示。如果用任意垂直于x軸的平面去截它，所得的截交面面積A可得為，則用微元法可以得

11、到立體的體積V的計算公式。過微段兩端作垂直于x軸的平面，截得立體一微片，對應體積微元。因此立體體積，如圖7所示。圖7空間立體的體積例4經過一如圖8所示的橢圓柱體的底面的短軸、與底面交成角a的一平面，可截得圓柱體一塊楔形塊，求此楔形塊的體積V。如圖8所示。圖8解：據圖8，橢圓方程為。過任意處作垂直于x軸的平面，與楔形塊截交面為圖示直角三角形，其面積為應用公式(8)V=16tana=tana。3.2.2、旋轉體的體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內的一條直線l旋轉一周而成的空間立體，其中直線l稱為該旋轉體的旋轉軸。把X型圖形的單曲邊梯形繞x旋轉得到旋轉體，則公式(4)中的截面面積是很容易得到的。

12、如:9、10，設曲邊方程為，旋轉體體積記作。圖9旋轉體繞Y軸旋轉的的體積圖10旋轉體繞X軸旋轉的的體積過任意處作垂直于x軸的截面，所得截面是半徑為的圓，因此截面面積。應用公式(8)，即得類似可得Y型圖形的單曲邊梯形繞y軸旋轉得到的旋轉體的體積計算公式其中的是曲邊方程，c，d(c<d)為曲邊梯形的上下界。例5求曲線y=sinx(0£x£p)繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積Vx。圖11解Vx=p=p=。例6求由拋物線y=與直線y=0，y=1和y軸圍成的平面圖形，繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積Vy。圖12解拋物線方程改寫為x=y2，yÎ0，1。由公式(10)可得所求旋

13、轉體的體積為Vy=p3.3、平面曲線的弧長表示為直角坐標方程的曲線的長度計算公式稱切線連續變化的曲線為光滑曲線。若光滑曲線C由直角坐標方程，則導數在上連續。圖13平面曲線的弧長如圖13所示，在上任意取一微段，對應的曲線微段為AB，C在點A處的切線也有對應微段AP。以AP替代AB，注意切線改變量是微分，即得曲線長度微元ds的計算公式得到的公式稱為弧微分公式。以C的方程y=f(x)代入，得。據微元法，即得直角坐標方程表示的曲線長度的一般計算公式若光滑曲線C由方程給出，則在上連續，根據弧微分公式11、12及微元法，同樣可得曲線C的弧長計算公式為例7求曲線的弧長s。解，ds=dx=dx，所求弧長為。3

14、.4物理上的應用3.4.1、變力做功物體在一個常力F的作用下，沿力的方向作直線運動，則當物體移動距離s時，F所作的功。物體在變力作用下做功的問題，用微元法來求解。設力F的方向不變，但其大小隨著位移而連續變化；物體在F的作用下，沿平行于力的作用方向作直線運動。取物體運動路徑為x軸，位移量為x，則。現物體從點x=a移動到點x=b，求力F作功W。如圖14所示。圖14變力做功在區間上任取一微段，力F在此微段上做功微元為dW。由于F(x)的連續性，物體移動在這一微段時，力F(x)的變化很小，它可以近似的看成不變，那么在微段dx上就可以使用常力做功的公式。于是，功的微元為。作功W是功微元dW在a，b上的累

15、積，據微元法例8求長0.02m要用9.8N的力，求把彈簧拉長0.1m時，外力所做的功W。圖15解據虎克定律，在彈性限度內，拉伸彈簧所需要的外力F和彈簧的伸長量x成正比，即，其中k為彈性系數。據題設，x=0.02m時，F=9.8N，所以9.8=0.02k，得k=4.9´102(N/m)。所以外力需要克服的彈力為F(x)=4.9´102x。由(12)可知，當彈簧被拉長0.1m時，外力克服彈力作功。例9 一個點電荷O會形成一個電場，其表現就是對周圍的其他電荷A產生沿徑向OA作用的引力或斥力；電場內單位正電荷所受的力稱為電場強度。據庫侖定律，距點電荷r=OA處的電場強度為(k為比例

16、常數，q為點電荷O的電量)。現若電場中單位正電荷A沿OA從r=OA=a移到r=OB=b(a<b)，求電場對它所作的功W。圖16解這是在變力F(r)對移動物體作用下作功問題。因為作用力和移動路徑在同一直線上，故以r為積分變量，可應用公式(14)，得。3.5 定積分在經濟學中的應用利用定積分求原經濟函數問題在經濟管理中, 由邊際函數求總函數( 即原函數) , 一般采用不定積分來解決,或求一個變上限的定積分。可以求總需求函數,總成本函數, 總收入函數以及總利潤函數。設經濟應用函數u( x ) 的邊際函數為 ,則有 例10生產某產品的邊際成本函數為, 固定成本C (0) =10000, 求出生產

17、x個產品的總成本函數。 利用定積分計算資本現值和投資若有一筆收益流的收入率為f(t) , 假設連續收益流以連續復利率r 計息, 從而總現值。例11 現對某企業給予一筆投資A, 經測算,該企業在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤為r, 試求:(1) 該投資的純收入貼現值;(2) 收回該筆投資的時間為多少?解(1) 求投資純收入的貼現值: 因收入率為a, 年利潤為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現值為Y= 從而投資所獲得的純收入的貼現值為 ( 2) 求收回投資的時間: 收回投資, 即為總收入的現值等于投資。由得T =即收回投資的時間為T=例如, 若對某企業投資A = 800( 萬元) , 年利率為5% , 設在20 年中的均勻收入率為a= 200( 萬元/ 年),則有投資回收期為 = (年)由此可知,該投資在20年內可得純利潤為1728.2萬元, 投資回收期約為4.46年.4 總結定積分在數學中占主導地位，以上幾個方面的應用也只是定積分在我們能夠接觸到的應用的一部分, 定積分還有很多在我們生活、學習等領域中的應用之處。只要勤于學習, 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無窮魅力, 同時也能提高應用數學知識解決實際問題的能力。參考文獻1 羅藴玲，安建業，程偉等搞定呢過數學及