1、正多邊形與圓（解析）1.掌握圓內接多邊形的性質；2.掌握內接圓的性質；3.掌握圓內接多邊形和內接圓的應用1.三角形的內心、外心、重心、垂心(1)三角形的內心：是三角形_的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形_的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點2.三角

2、形的內切圓、外接圓三角形的內切圓：對比三角形的外接圓來學習三角形的內切圓三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫三角形的外心三角形的外心到三角形_相等三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點三角形的內切圓：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓三角形內切圓的圓心叫三角形的內心三角形的內心到_的距離相等三角形的內心是三角形三角平分線的交點3.圓內接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角_，外角等于內對角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形_4.正多邊形與圓在正多邊形的有關計算中，如果分別以n、an、rn、

3、Rn、Pn和Sn表示正n(n3,n為整數)邊形的中心角、邊長、邊心距、半徑、周長和面積，則有： n=； an=2Rn·sin； rn=Rn·cos； +； Pn=nan； Sn=Pnrn； Sn=nsin.（因為一個三角形的面積為：h·OB） 注意兩點：1.構造直角三角形（弦心距、邊長的一半、半徑組成的）求線段之間的關系等； 2.準確記憶相關公式。 參考答案：1.（1）三個角平分線(2) 三邊中垂線2. 三個頂點的距離, 三角形三邊3.(1) 互補(2) 對邊之和相等1. 利用三角形的內心求角度【例1】（2014湖北宜昌一模）如圖，點O是ABC的內切圓的圓心，若B

4、AC=80°，則BOC=（ ）A130° B100°C50° D65° 【解析】此題解題的關鍵是弄清三角形內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點【答案】A練習1. 如圖，I是ABC內心，則BIC與A的關系是（ D ）A. BIC=2AB. BIC=180°AC. BIC=D. BIC=【答案】B練習2.（2014湖北恩施一模）如圖，圓O是ABC的內切圓，與三角形三邊分別切于D、E、F，知B=50°，C=60°，則EDF= 。【答案】55°2. 三角形外接圓問題【例2】正三角形的外接圓半徑是R，則它的邊長是（

5、 ）B. RC. RD. R【解析】正三角形的外接圓邊長是半徑的倍，圓心與三角形兩個頂點的連線是一個頂角為120°的等腰三角形，可證倍數關系，帶入即可。【答案】B練習3. 若三角形的三邊長分別為1，1和，則外接圓的半徑為_。【答案】練習4. 等邊三角形的邊長為4cm，它的外接圓的面積為_。【答案】3.內切、外接、外切問題的綜合【例3】正方形ABCD的四個頂點分別在O上，點P在劣弧上不同于點C得到任意一點，則BPC的度數是（ ）A.B.C. D.。【解析】圓的內接正方形，內心外心重合，可求BOC的度數，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半，BPC是BOC的一半即可。【答案】A練習5同一個

6、圓的外切正方形和內接正方形的相似比是（ ）A. 2：1B. 1：2C. D. 【答案】C練習6. ABC中設I是ABC的內心，O是ABC的外心，若A=80°，則BIC=_，BOC=_若A=a，則BIC=_，BOC=_【答案】（1）130°，160°（2）90°+，2a4.內切圓綜合題【例4】已知：如圖，ABC三邊BC=a，CA=b，AB=c，它的內切圓O的半徑長為r求ABC的面積S 【解析】連接圓心和切點，把三角形分成三個小三角形，而且有現成的底和高就可以求出每個小三角形的面積，加起來可得大三角形的面積。【答案】解：設ABC與O相切與點D、E、F連接OA

7、、OB、OC、OD、OE、OF則ODAB，OEBC，OFACSAOB=ABOD=ABr，同理，SOBC=BCr，SOAC=ACrSABC=SAOB+SOBC+SOAC，即S=ABr+BCr+ACr，則S=（a+b+c）r 練習7已知：如圖，O內切于ABC，BOC=105°，ACB=90°， AB=20cm求BC、AC的長 【答案】解：O是ABC的內切圓，OBC=ABC，OCB=ACB，BOC=105°，OBC+OCB=180°-105°=75°，ABC+ACB=2×75°=150°，A=180°

8、-（ABC+ACB）=30°，C=90°，AB=20cm，BC=AB=10cm，AC=10cm 練習8已知：如圖，O是RtABC的內切圓，C=90°(1)若AC=12cm，BC=9cm，求O的半徑r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求O的半徑r【答案】解：如圖；(1)在RtABC，C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根據勾股定理AB=AC2+BC2=15cm；四邊形OFCD中，OD=OF，ODC=OFC=C=90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；則CD=CF=（AC+BC-AB）；

9、即：r=（12+9-15）=3(2)當AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）則O的半徑r為：（a+b-c） 5. 正多邊形和圓【例5】正六邊形兩條對邊之間的距離是2，則它的邊長是（ ） A. B. C. D. 【解析】正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質。ABF是含120°角的等腰三角形，以ABF為研究對象即可求。 【答案】解：如圖所示，BF2，過點A作AGBF于G，則FG1 又FAG60° 故選B練習9. 求證圓的外切正多邊形的面積等于其周長與圓的半徑的積的一半. 【解析】外切正多邊形

10、可分成與邊數相同個數的等腰三角形,其面積之和為正多邊形的面積,而每個小三角形的面積恰是邊長與圓半徑積的一半,故題易證. 圓的外切（或內接）正多邊形的周長.面積的計算要通過所分成的n個等腰三角形進行，這也是由復雜到簡單的一種轉化，象四邊形的問題一樣，正n邊形的問題首先應轉化為三角形的問題，轉化是解決數學問題的關鍵。【答案】證明:設外切多邊形周長為P,內切圓O半徑為R,連結O與正多邊形的各頂點及切點,如圖 OMAB,ONBC, SOAB=OM·ABR·AB, SOBC=ON·BCR·BC, 正多邊形ABCD面積為S=R(AB+BC+)=R·P. 練

11、習10如圖,若正六邊形的面積為6,求正六邊形內切圓的內接正三角形的面積. 【解析】如下圖，線段OC是正六邊形的邊心距，由內接正三邊形的邊長，則線段OC可以將兩圖形聯系起來。 【答案】解:如圖,設AB是正六邊形的一條邊長,C點為切點,CD為正六邊形內切O的內接正三角形的一條邊長,過O點作OECD于E,分別連結OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC=a6,BOC=30°, CD=a3,CE=a3,OE=r3,COE=60°, S6=6·SOAB, S6=6×a6·OC=6, OC=BC·cot30°, OC=a6,

12、 6×a6·a6=6, a6=2,OC=, OE=OC·cos60°, OE=, CE=OC·sin60°, CE=, CD=2CE=3, S3=3×CD·OE,S3=3××3×=. 練習11. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（ ） A. 123B. C. D. 【答案】解：如圖所示，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高 設，則AO2r，AD3r ODAOADr2r3r123 故選A【例6】周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關系是（ ） A. B. C.

13、D. 【解析】設它們的周長為，則正三角形的邊長是，正四邊形的邊長為，正六邊形的邊長為 【答案】B 練習12. 如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M，求證： （1）； （2） 【答案】證明：（1）正五邊形必有外接圓，作出這個輔助圓，則 BEA36° （2） 又公共角ABMEBA ABMEBA 練習13. 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個正六邊形的邊長、周長和面積。 【解析】本題的關鍵是正六邊形的邊長等于半徑。【答案】解：正六邊形的半徑等于邊長 正六邊形的邊長 正六邊形的周長 正六邊形的面積 練習14. 已知正方形的邊長為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長和

14、面積。【解析】本題的重點是正方形的邊長、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關系。【答案】解：正方形的邊長為2cm 正方形的外接圓半徑為cm 外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm 正三角形的邊長為 正三角形的面積為1 三角形的外心是（ ）【答案】BA. 三條中線的交點B. 三條中垂線的交點C. 三條高的交點D. 三條角平分線的交點2.正多邊形一定是（ ）【答案】AA. 軸對稱圖形B. 中心對稱圖形C. 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形D. 都不對 3如圖，兩圓相交于A，B兩點，小圓經過大圓的圓心O，點C，D分別在兩圓上，若ADB=100°，則ACB的度數為（ ）【答案】B A.35°

15、;B.40°C.50°D.80°4. 從圓外一點向半徑為9的圓作切線，已知切線長為18，從這點到圓的最短距離為（ ）【答案】C A9B9（-1）C9（-1）D95.在ABC中，若C=90°，A=30°，AC=3，則內切圓半徑為_。【答案】6. 若正多邊形的內角和是720°，則這個多邊形是正_邊形。【答案】六 7. 已知正多邊形的中心角為120°，邊長為3，則其半徑長為_。【答案】 8. 若正三角形和正六邊形的面積相等，則它們的邊長之比為_。【答案】:19. 如圖，PA、PB分別切圓O于 A、B，C為優弧AB上的一點，若P=5

16、0°，則ACB= 。D為劣弧AB上的一點，若P=50°，則ADB= 。【答案】65°，115°變式：上題中，PA、PB分別切O于A、B，C為優弧AB上一點，若ACB=a，則APB=（ ）A180°-a B90°-a C90°+a D180°-2a【答案】D10.ABC的內切圓半徑為R，ABC的周長為L，則ABC的面積為 。變式：如圖，RtABC中，C=90°，AB、BC、CA的長分別為c 、a、b，則ABC的內切圓半徑為 。【答案】RL，變式： 11.邊長為a的正三角形的內切圓的半徑為 。【答案】12.

17、EB、EC是O的兩條切線，B、C是切點，A.D是O上兩點，如果E=46°，DCF=32°，求A的度數【答案】99°13.已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和O 分別相切于L、M、N、P求證：AB+CD=AD+BC 【答案】證明:連接OP,OD,ON.AD,CD分別切圓O于P,N.OPAD,ONCD.OP=ON;OD=OD;OPD=OND=90°.RtOPDRtOND(HL),PD=ND.同理可證:CN=CM,BM=BL,AL=AP.AL+BL+CN+ND=AP+PD+CM+BM.  (AL+BL)+(CN+ND)=(

18、AP+PD)+(CM+BM).即AB+CD=AD+BC._1. 在圓內接四邊形ABCD中，則ABC234，則D 度【答案】90°2. 一個直角三角形的兩直角邊長分別為6cm和8cm，則其外接圓的半徑為 cm，內切圓的半徑為 cm。【答案】5cm，2cm3.圓O內切RtABC，切點分別是D、E、F，則四邊形OECF是_ _【答案】正方形4. (2014甘肅定西一模)如圖，在ABC中，cosB如果O的半徑為cm，且經過點B、C，那么線段AO= cm【答案】（提示：連接OB，易得：ABC=AOB cosAOB=cos=） 5.（2014湖南懷化期末）如圖，、分別切于點、，點是上一點，且，則

19、_ _度【答案】606.（2014安徽一模）ABC中，ABAC，A為銳角，CD為AB邊上的高，I為ACD的內切圓圓心，則AIB的度數是（ ）【答案】CA120° B125° C135° D150°7.（2014四川綿陽一中期末）一個鋼管放在V形架內，右圖是其截面圖，O為鋼管的圓心如果鋼管的半徑為25 cm，MPN = 60°，則OP =( ) 【答案】A（提示：MPN=600可得OPM=300 可得OP=2OM=50）A50 cm B25cm Ccm D50cm8. 同圓的內接正方形和外切正方形的周長之比為（ ）【答案】DA. 1B.21C.12D.1 9.下列說法中，不正確的是( ) 【答案】C A三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點 B銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內心都在三角形內部 C垂直于半徑的直線是圓的切線 D三角形的內心到三角形的三邊的距離相等10給出下列說法： 任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓； 任意一個圓一定有一