1、振動振動周而復始循環往復的運動，被統稱為振動。振動是一種普遍存在的運動形式，彈簧振子、 鐘擺等的機械振動；交流電路中電壓、電流的周期 性變化是電磁振動；固體物理學中晶格中的熱振動。這些周期性變化的物理量，不僅限于力學范疇中的 機械位移，但描述這些物理量的數學方法、形式乃 至結果，均有著極大的相似性與可類比性。因此對 直觀的機械振動的研究，將為我們掌握振動這一類運動形式打下堅實的基礎。振動質點的運動遵從余弦（或正弦）規律時，其運動形式為振動。xot彈簧振子一根輕彈簧和一個質點的一個振動系統。xxO胡克定律：F = -kxd2 x第二定律： F = m= -kxdt 2d2 x =k- xmdt

2、2d2 x =kkm振子的固有角頻率，rad/s（弧度/s）令： =- xmdt 2d2 x =-w x2x(t) = A cos(wt + j)通解形式：dt 2振幅A，表示振動的最大位移是±Awt + j ：t時刻的稱為初。：t=0時刻的，用于刻畫振動的初始狀態。x0 = A cosj= æ dx ö= - Aw sin jç dt ÷v0èøt =02v2vA =x0 + 0 , j = - arctan0w 2x w0周期：T = 2 = 2mkww頻率：f = 1 =T1km=22x(t) = A cos(wt +

3、 j)x(t) = A cos( 2 t + j)Tx(t) = A cos(2ft + j)參考圓旋轉振幅矢量勻速旋轉的矢量A在x軸上的投影點 P 的運動規律：x = A cos(w t + j)PP¢A wt + jP0x¾投影點P 的運動與振動的運動規律相同。v = dxdtdva =dta = - Aw 2 cos(wt + j )v = - Aw sin(wt + j )x = A cos(wt + j)xAto T-AAw vv - t 圖o Tt- Awaa - t圖Aw 2to T- Aw 2x - t 圖振子的能量v = dx = -w Asin( w t

4、 + j )x = A cos(w t + j )dt振子動能：E= 1 mv2 = 1 mw 2 A2 sin 2 (w t + j )k22振子勢能：E = 1 kx2 = 1 kA2 cos2 (w t + j )p22E = Ek + EpQ mw 2 = k總能量：E = 1 kA2 = 1 mw2A2 22xx = A cos(w t + j )OtE1EkEE =kA2p2tOE = 1 mv2= 1 mw 2 A2 sin 2 (w t + j )k22E= 1 kx2= 1 kA2 cos2 (w t + j )p22例：復擺的近似O，一剛體繞過O的垂直于紙面的軸轉動，滿足轉

5、動定律：d2q- mgrC sinq = IrCCdt 2= mgrCw2令：Id q2+ w sin q =20得：2dtq 3q 5sin q = q -+3!-L5!由于q 很小，略去q 3以上各項，則sinq qd2q + w 2q =d2q+ wsin q = 002dt2dt 2q = q0 cos(wt + j )解為：mgrCw =相應的角頻率：I或從機械能守恒：E = 1 I (dq )2 +(1- cosq )O2dt兩邊對時間 t 求一階導數：dqd 2qdqr× sin q×dtdt 2+ mgr C= 0ICCdtd2qmgr+ C sin q =

6、 0sinq qdt 2Imgrd2q+C q = 0dt 2ImgrCq = qcos(wt + j )w =解為：0I例：兩個相同的固定點電荷Q之間有一個同性的質量為m 的點電荷q，分析電荷q小幅偏離中心位置的運動狀態。Qa= k- k(a + x)2(a - x)2FxO x- ax << aéæx ö-2x ö-2 ùæ(1+ a)» 1+ nanFx = kêç1+ a ÷- ç1-÷aú = -4kúûxa2a3ê

7、;ëèøèø為線性回復力，故電荷q做運動，其固有角頻率4kw =ma3例：半徑為 r 的小球在半徑為R的半球形大碗內作小角度純滾動，大碗q固定在地面上。這種運動是動嗎？如果是，求出它的周期。振設小球質心速度vC，角速度12mv+ 1 Img(R - r)(1- cosq ) +w 2= E2機械能守恒CC2I= 2 mr 2rw = v （純滾動條件）v= (R - r)q&其中CCC55gq& +sin q = 0兩邊對t求導7(R - r)T = 2p = 2p7(R - r)小角度時的周期w5g多自由度保守系的振動：雙振子

8、一勁度系數為k的彈簧，兩端連接質量分別為m1、m2的物體，即為雙振子模型。這種模型常用于研究雙原子 的熱振動現象，比如H2、N2、O2等。這類雙振子的振動，可近似動。彈性力維系的具有一個本征頻率的振kO1x1x2O2x設坐標軸為x軸，彈簧自然狀態時m1、m2所在處分別為平衡點O1、O2。振動時m1相對平衡點O1的位移為x1 ， m2相對平衡點O2的位移為x2。由此建立動力學方。m2m1多自由度保守系的振動：雙振子kO1x1x2O2xìd2 x= -k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k (x- x ) 2 dt 2ï&#

9、238;221m1、m2的振動具有相同的固有角頻率w，這個固有角頻率即為雙振子系統的本征角頻率，我們通常將這種振動的狀態稱為簡正模式。實際振動是簡正模式的疊加m2m1多自由度保守系的振動：雙振子ìd2 x= -k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k (x- x ) 2 dt 2ïî221m1m2 (&x&1 - &x&2 ) = -(m1 + m2 )k (x1- x2 )m1m2y = x - xm =令：折合質量12m + m12k&y& = - m y(m1

10、 + m2 )kkmw =m1m2多自由度保守系的振動：雙振子ìd2 x=1k- ( x1-2x)ïm1íïmdt 2d2 x=2k- ( x-x)ïî221dt 2假設穩定模式下m1、m2的運動方程：= A1coswxì 1ttí= A coswxî 22將運動方程代入動力學方中，可以得到：-m ìíw =-k(-k(-)2AAAAA1112w =-m2-)Aî2221多自由度保守系的振動：雙振子-m ìíw =-k(-k(-)2AAAAA1112w =

11、-m-)2Aî2221將其整理為關于振幅的代數方：展開為：mw)2( wk-k( -m2) -2k=012kì(-mw 2 )A -kA0=í112-kAî(+ k-mw 2)= A0122若要使振幅具有非零解，上述方的系數行列式為零，即：k- mw 2- k1= 0-kk- mw 2相關內容可自學高等數學2中有關線性代數部分內容多自由度保守系的振動：雙振子(k - m w )(k - m w) - k= 022212由此ìw1ï：= 0(m + m )kíwkmm m， 其中m =12 為約化質量= 12ï2m

12、+ mm mî1212其中1=0表示系統整體剛性平動，而2才是實際振動。再將2代入振幅方，得到振幅關系：A1= - m2A2m1多自由度保守系的振動：耦合雙振子彈簧k1的m1與k2的m2之間，由彈簧k牽連，形成一耦合雙振子系統。k1kk2O1x1O2x2x仍舊設坐標軸為x軸，彈簧自然狀態時m1、m2所在處分別為平衡點O1、O2。振動時m1相對平衡點O1的位移為x1 ， m2相對平衡點O2的位移為x2。由此建立動力學方：ìd2 x= -k1 x1 - k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k x - k (x- x ) 2

13、dt 2ïî22221m2m1多自由度保守系的振動：耦合雙振子同樣設簡正模式下m1、m2的運動方程分別為：= A1coswxì 1ttíA2cosw=xî2代入動力學方k，可以得到關于振幅的代數方：ì+(kw )-mA -k0A=21112íw-kA+ k(+k-=2m)0Aî1222振幅具有非零解即上述方的系數行列式為零：w+ k- kk- wm22km= 011k -+k22多自由度保守系的振動：耦合雙振子k + k - m w- kk + k - m w2= 011- k222展開為：(k + k - m w

14、 )(k+ k - m w) - k= 02221122為了便于理解，我們考慮這種情況，k1=k2=k，m1=m2=m，上式即簡化為：(2k - mw 2 )2- k 2= 0：ìk m3kïw1=ïíïw=ïî2m多自由度保守系的振動：耦合雙振子相應的振幅之比為：ìï+1， 當w = w1 =æ A1 ök / m3k / mkç÷A= íw2k - m2ïî-1， 當w = w2 =è2 ø由此，耦合雙振子系統存

15、在兩種簡正振動模式：ìx1 (t) = A cosw1tíx(t) = A cosw tî 21或：ìx1(t) = A'cosw2tíx(t) = - A'cosw tî22多自由度保守系的振動：三振子類似于CO2這類雙原子，即碳原子居中，兩側對置著氧原子，其力學模型抽象為三振子系統，即中間物體M兩側連接著兩個勁度系數為k的彈簧，兩彈簧另一側連接物體m。kkOOx設物體坐標軸為x軸，彈簧自然狀態時兩側物體m所在處為平衡點O。依舊按照設位移函數建立動力學方設簡正模式化振幅方振幅比的思路求解。解本征頻率解mMm多自由度保

16、守系的振動：三振子kkOOx動力學方：ìd2 x= -k (x1- x2 )ïm1dt 2ïïd2 x= -k (x2 - x1) - k (x2- x3 )íMï 2 dt 2ïd2 x= -k (x3 - x2 )ïm3dt 2îmMm多自由度保守系的振動：三振子簡正模式：= A1 coswtìx1ïx= A coswtí22ïx= A coswtî32代入動力學方后得到振幅方：ì(mw 2 - k ) A + kA = 012ïw

17、kA + (M- 2k ) A + kA= 02í123ïkA + (mw 2 - k ) A = 0î23多自由度保守系的振動：三振子使振幅具有非零解的系數行列式為零：w 2-mkk- 20w 2kk = 0kMkmw 2 -0k即：kw)-w 2w(m -()k-= k22222(mM2)k0： ìï=0=A=A，ïïíïïk ，m=-A= 0，AkmMMïw3îm =， = -AA，mm2+M2m耦合三振子耦合三振子的簡正模式（橫向）振動的復數表示對于一維振子，我們考慮

18、其動力學方程：d2 x + w=w =2x0，kmdt 2x (t) = Aei(wt +j )代入方程，發現這種形式也是方程的解。而式中的A、分別對應振動的振幅、固有角頻率和初。x (t) = Aei(wt +j )公式 ei利用開為：，展x (t) = Aei(wt +j )= A cos(wt + j) + iAsin(wt + j)可知其實部對應實際振動的位移x(t)。振動的復數表示利用復數形式表示振動具有求導、等計算方面的便利性。、求模（振幅）x (t) = Aei(wt +j )振動位移v(t) = dx= iwAei(wt +j )振動速度dta(t) = dv = -w 2 A

19、ei(wt+j)振動度dtx (t) × x *(t) =Aei(wt +j )× Ae-i(wt +j )振幅（求模）A = A阻尼振動保守振動系統是理想情況，實際中總是存在阻力。在有阻力的情況下，振動系統的動力學方程迎修改為：d2 xF = m= -kx + fdt 2f對應著阻力項，其方向與速度v方向總是相反，在一定條件下（如低雷諾數的流體中）是速度v的線性函數，即：f = -gv = -g dxdt動力學方程為：d2 xdx= -kx - gmdt 2dt阻尼振動d2 xdx= -kx - gmdt 2dt，2b = g km令w=0m運動學方程可寫為：d2 x +

20、dx2b+ w x = 020dt 2dti(wt +j )x (t) = A e將代入方程，可得：0(-w 2 + i2bw + w ) A ei(wt +j )= 0200- w 2 + i2bw + wA ei(wt +j )= 02要使有非零解，00阻尼振動w 2- i2bw- w= 020：w = ±w -b+ ib220w > bw-b> 0，w為復數，其實部對應振動22202（1），0頻率，虛部對應衰減。考慮到實際振動頻率為正值，w =w -b+ ib22因此取，運動方程為：0i( w 2- b 2 +ib )t +j w 2- b 2 t +j )= A

21、e-btei(x (t) = A e0000x(t) = A e-btcos(w -bt + j)22反映其實際運動的實部00阻尼振動x(t) = A e-btcos(w -bt + j)2200x固有角頻率：k 2Aw =w -b- b=2220T0m2固有周期：T = 2 =22=twow -b22k 2- b 20m2振幅隨時間的衰減：A(t) = A e-bt0A e- bt0阻尼振動w = ±w 2-b 2 + ib0w < bw -b< 0，w = i(b ±b 2w22-2220（2），) 為純虛數，00其實部為零即沒有振動項，故實際運動為物體從初

22、始位置開始向平衡位置緩慢移動，但還未到達平衡位置 其能量已耗散殆盡，最終未能越過平衡位置完成往復。這種情況稱之為過阻尼，其運動方程：(- b +b 2 -w 2 )t(- b -b 2 -w 2 )tx(t) =x+A eA e0012ot阻尼振動w = ±w 2-b 2 + ib0w -b= 0 ，ww = b22= w= ib 為阻尼振動和過223）（，0012阻尼狀態的臨界點。這重情況下物體從初始位置開始向平衡位置移動，剛到達平衡位置時其能量即耗散殆盡，最終未能越過平衡位置完成往復。這種狀態稱之為臨界阻尼。- btx (t) = ( A + A t)ex12ot受迫振動由剛才阻

23、尼振動的討論中我們可以知道，若沒有外部能源，具有耗散的振動系統是不能持久的。現在我們討論系統在周期性外力驅動下的振動，期性外力稱為策動力，其表示形式為：這個周f = F coswt相應的動力學方程演變為：d2 xdx= -kx - g+ F coswtmdt 2dt，2b = g，C = Fkm令w=，將動力學方程化為：0mm受迫振動d2 x +dx2b+ w x = C coswt20dt 2dt將運動學方程寫成復數形式，可得：d2x +dx2 2b+ w x = Ceiwt0dt 2dt觀察上式，認為振動頻率與策動力頻率相同是合理i(wt +j )x (t) = A e的，因此將代入方程，

24、有：0(-w 2+ 2ibw+ w )x = Ceiwt20：Cx (t) =eiwtw- w 2 ) + 2ibw2(0受迫振動：位移共振得到：ì A =C=*ïw- w 2 )2 + 4b 2w 22ï(0íïtan j = -2bwïw- w 2 )2(î0振幅A關于策動頻率w的函數圖象為：A可以發現，無論取w還是w0作為變量，振幅隨頻率都有極大值，這種現象稱之為共振。w /wo10阻尼較大阻尼較小無阻尼受迫振動：位移共振根據位移振幅關于角頻率的響應：CA =*=w- w 2 )2 + 4b 2w 22(0在dA/dw

25、=0時我們能夠得到相應的共振峰位：w =w- 2b 2C20=Amax2bw- 2b 220在弱阻尼條件下，即 b 2<< w2有：0w = w0C=Amax2bw0受迫振動：速度共振受迫振動的運動方程：Cx (t) =eiwtw- w 2 ) + 2ibw2(0將其對時間t求導可得速度隨時間的函數：v(t) = dx (t) = iwx (t)dt，v(t) = wx (t)ei/ 2公式i = ei / 2利用上式的意義是速度幅值在數值上和位移振幅具有關系= + j相比位移滯后p/2，即jv = wA ，而速度的v2受迫振動：速度共振速度幅值隨頻率的變化關系：wCì&

26、#239;v = wA =w- w ) + 4b w22222ï(0í2bw= - arctanïjïvw- w 2 )22(î0速度幅值v關于策動頻率w的函數圖象為：同樣在dv/dw=0時我們能夠得到相應的共振峰位：w = w0vC2b=Vmaxow /w10差Dj =(w2 t+j 2)-(w1 t+j 1)對兩同頻率的諧振動 Dj同相和反相=j2-j1當Dj當Djx= ±2kp ， ( k =0, 1, )，兩振動步調相同，稱同相= ±(2k+1)p ，( k =0, 1,)， 兩振動步調相反，稱反相x反相AAxx同相

27、1111xA2A22TTo- A2-A1ott- A2-A1x2同頻率平行振動的若一個質點同時參與兩個同頻率且方向平行的動，即：振= A1 cos(wt + j1 ),x2 = A2 cos(wt + j2 )x1其合振動：x = A1 cos(wt + j1 ) + A2 cos(wt + j2 )= A cos(wt + j)其中：+ A2 + 2 A A cos(j- j )A =A2121221A1 sin j1 + A2 sin j2A1 cosj1 + A2 cosj2tan j =同頻率平行振動的x = A1 cos(wt + j1 ) + A2 cos(wt + j2 ) =

28、A cos(wt + j)+ A2 + 2 A A cos(j- j )A =A2121221A1 sin j1 + A2 sin j2A1 cosj1 + A2 cosj2tan j =j2 - j1 = 2k（k = 0，k = ±1，k = ±2¼）時，（1）當A =+ A2 + 2 A A= A + AA2121212j2 - j1 = (2k +1)（k = 0，k = ±1，k = ±2¼）時，（2）當A =+ A2 - 2 A A=A - AA2121212不同頻率平行振動的：拍若一個質點同時參與兩個方向平行但是不同頻率

29、的簡諧振動，即：x1 = A1 cos(w1t + j1 ),x2 = A2 cos(w2t + j2 )為簡化問題，我們假設兩個振動的振幅和初相同：x1 = A cos(w1t + j ),x2 = A cos(w2t + j)利用和差化積公式：w- w1w+ w1æöæt + j ö= 2 A cosç2tcos÷ç2÷2è2øè2ø不同頻率平行振動的：拍w- w1w+ w1æöæt + j ö= 2 A cosç÷ç÷2tcos22è2øè2øw- w1æt öcosç2÷合振動包含一個隨t變化較慢的余弦因子è+2。øæ w + wötj ÷和一個隨t變化較快的余弦因子cosç21è2ø令 w2 - w1 = Dw：ww+ w1D