1、可靠性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識        窗體頂端   概率論、數(shù)理統(tǒng)計、圖論、運籌學(xué)是可靠性工程學(xué)的最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章簡述其中的概率論的部分內(nèi)容。 21 事件和直方圖    數(shù)學(xué)、物理中討論的常量和變量，它們有確定的規(guī)律，可以用確定的數(shù)學(xué)表達式來描述。然而，在客觀世界上有許多參量事先不能完全預(yù)測，沒有確定的規(guī)律，完全是隨機的。概率論就是專門研究這種隨機變化現(xiàn)象規(guī)律性的一門科學(xué)。在概率論中，我們把隨機現(xiàn)象稱為事件。事件：指科研、生產(chǎn)中的任何現(xiàn)象或試驗的結(jié)果。事件分為必然

2、事件、不可能事件和隨機事件三類。事件的頻率是指若隨機事件A在n次觀測中出現(xiàn)m次，則稱m/n為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。如投幣試驗、扔針試驗等。    將事件的頻數(shù)用平面直角坐標(biāo)系表示出來，就得到該事件的頻數(shù)直方圖。 22 概率的定義、事件的基本運算   一、概率的定義    設(shè)試驗的所有可能的結(jié)果可以表示為n個互不相容且等可能的事件，其中有且僅有m個事件是包含與隨機事件A的（即當(dāng)且僅當(dāng)其中的m個事件中任一事件發(fā)生時A發(fā)生），則隨機事件A能包含的事件m與基本事件n的比值叫作隨機事件A的概率。   

3、;          即：   P（A）=m/n    通俗的講，就是假定在不變的一組條件下，重復(fù)作n次觀測，記m為n次觀測中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。則當(dāng)m/n在某一值附近擺動時，稱該數(shù)值為事件A在該條件下發(fā)生的概率。   二、 事件的基本運算     如果事件A發(fā)生時，事件B必然發(fā)生，則稱事件A導(dǎo)致事件B。稱為A包含于B或B包含A。當(dāng)事件A導(dǎo)致事件B，事件B也導(dǎo)致事件A，則稱事件A、B等價。記為

4、60;                    A=B    事件A和事件B的和仍然是事件。當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生或事件A、B同時發(fā)生，則和事件A+B發(fā)生。當(dāng)A、B都不發(fā)生時，和事件也不發(fā)生。事件和運算法則：              A+B=B+A

5、              A+（B+C）=（A+B）+C              A+A=A              A+I=I      &#

6、160;       A+=A              A·B= B·A              A·A=A           

7、60;  A·I=A              A·=              A·（B+C）= A·B+A·C       其中I為必然事件，為不可能事件。  三、 加法原理  

8、0; 設(shè)A、B為兩個事件，P（A）為A出現(xiàn)的概率，P（B）為B出現(xiàn)的概率，P（A+B）為事件A+B出現(xiàn)的概率，則：               P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）  四、 乘法原理    事件A和事件B的積事件AB發(fā)生的概率為P（AB），等于其中一個事件發(fā)生的概率與此事件發(fā)生下另一事件發(fā)生的概率之積。即：       

9、60;         P（AB）=P（A）P（B|A）                        =P（B）P（A|B）       這里，P（B|A）表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。稱為條件概率。  五

10、、 全概率公式     適用于解決已知某事件在各個不同條件下的條件概率時，如何求該事件的無條件概率的問題。設(shè)H1，H2， Hn為n個事件，且滿足：              H1 +H2 +Hn =I；Hi Hj =；（ij）；      則有全概率公式：           六、 貝葉斯公式

11、60;    設(shè)H1，H2， Hn為n個事件，且滿足：             H1 +H2 +Hn =I；Hi Hj =；（ij）；公式：                 適用于：當(dāng)看到某種現(xiàn)象A時，要設(shè)法找到引起A發(fā)生的原因，而A發(fā)生的可能原因是幾個互斥原因之一，當(dāng)求由Hk原因引起A發(fā)生的概率時運用此公式

12、。 2 3隨機變量及其概率分布，數(shù)字特征  一、 隨機變量    某變量所取的值，不能準(zhǔn)確預(yù)測，與觀測結(jié)果有關(guān)，那么該變量就叫做隨機變量。隨機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩類。隨機變量只取有限多個值，或無限多個可數(shù)值時，稱為離、散型隨機變量。如從抽取產(chǎn)品中得到的次品數(shù)就屬于這一類。    隨機變量的取值能充滿某個區(qū)間（a，b）時，稱為連續(xù)型隨機變量。如電視機的壽命在（0，）內(nèi)取值。  二、 離散型隨機變量的概率分布     定義：離散型隨機變量X可能取的值有x1，x

13、2， xn，它們分別取這些值的概率為：               P（X=xK）= PK ，K=1，2，n    則稱這一系列數(shù)P1，P2， Pn為離散型隨機變量X的概率分布。    它的分布也可用表格表示：                 三、

14、連續(xù)型隨機變量的概率分布     定義：如果隨機變量的分布函數(shù)F（x）可寫成如下的形式：                       其中f（x）>0，則稱為連續(xù)型隨機變量，稱f（x）為隨機變量的分布密度函數(shù)。常用連續(xù)型分布有均勻分布、正態(tài)分布等。     離散型隨機變量的概率分布和連續(xù)型隨機變量的概率

15、分布在下一章中詳細(xì)介紹。  四、 隨機變量的數(shù)字特征     隨機變量的期望是最重要的數(shù)字特征，它也稱為數(shù)學(xué)期望（或均值）。實際上，期望是隨機變量真正的平均值。    離散型隨機變量X以概率Pi取值 ，其期望E（X）為：                        其中求和是對X的所有可能的取值進行的。 &

16、#160;   概率密度函數(shù)f（x）的連續(xù)型隨機變量X，其期望E（X）為：                     其中積分域D為X的取值范圍。    方差是表示隨機變量X取值分散程度的一個量。    方差定義為中心化隨機變量（XE（X）平方的期望，記作 D（X）。       

17、                   于是得離散型隨機變量X以概率Pi取值 的方差為：                    對于概率密度函數(shù)為f（x）的連續(xù)隨機變量X，其方差為：      

18、0;               其中積分域D為X的取值范圍。    方差有以下的性質(zhì)：          1、 D（C）=0，C是常數(shù)；          2、 D（CX）=C2D（X）；      

19、;    3、 若X與Y相互獨立，有               D（XY）=D（X）D（Y）；          4、D（X）=E（X2）（E（X）2 24 點估計與區(qū)間估計     在進行產(chǎn)品的可靠性數(shù)據(jù)處理時，首先要求出總體分布和總體分布的具體參數(shù)及數(shù)字特征。前一問題稱為分布類型估計，后一問題

20、則是參數(shù)估計。參數(shù)估計通常分為點估計和區(qū)間估計兩類。常用的點估計方法有：     1、 數(shù)字特征法：     數(shù)字特征法是求點估計量最簡單且常用的方法，實質(zhì)就是把樣本的均值作為總體的均值的估計量，把樣本的方差作為總體的方差的估計量，然后從總體期望和方差的估計量再來求待估計參數(shù)的估計量，這就是常說的“矩法”。優(yōu)點：計算簡單、適應(yīng)性強，在不知總體分布時可適用；缺點：效率低，常常有偏。     2、 極大似然估計法：     極大似然估計法只

21、能用于總體的分布類型已知，僅僅是分布的函數(shù)式中某些參數(shù)待估計的情況。方法是首先構(gòu)造極大似然函數(shù)，然后求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)為“0”，求出帶估計參數(shù)。對離散型隨機變量，設(shè)其分布概率為P（X=x，m）的形式已知，分布中的參數(shù)m未知。經(jīng)試驗取得一個樣本X1，X2， Xn的觀測值X1，X2， Xn當(dāng)各樣本單位相互獨立時，似然函數(shù)為：L（m）=P（X=x1，m）P（X=x2，m）P（X=xn，m）對連續(xù)隨機變量，設(shè)其分布概率為f（x，m）的形式已知，分布中的參數(shù)m未知。經(jīng)試驗取得一個樣本X1，X2， Xn的觀測值X1，X2， Xn當(dāng)各樣本單位相互獨立時，似然函數(shù)為：L（m）=f（X=x1，m）f（X=x2，m）f（X=xn，m）    3、 最佳線性無偏估計法；    4、 最佳線性不變估計法；    5、 簡單線性無偏估計法；    6