1、初中數學之二次函數最值問題一、選擇題1.（2008年山東省濰坊市）若一次函數的圖像過第一、三、四象限,則函數（ ）A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值2.（2008浙江杭州）如圖，記拋物線的圖象與正半軸的交點為，將線段分成等份設分點分別為，過每個分點作軸的垂線，分別與拋物線交于點，再記直角三角形，的面積分別為，這樣就有，；記，當越來越大時，你猜想最接近的常數是（ ）ABCD3（08綿陽市）二次函數y = ax2 + bx + c的部分對應值如下表：x321012345y12503430512利用二次函數的圖象可知，當函數值y0時，x的取值范圍是（ ）Ax0或x2 B0x2Cx

2、1或x3 D1x34（2008年浙江省嘉興市）一個函數的圖象如圖，給出以下結論：當時，函數值最大；當時，函數隨的增大而減小；存在，當時，函數值為0其中正確的結論是（ ）ABCD 5.(2008 湖北 恩施) 將一張邊長為30的正方形紙片的四角分別剪去一個邊長為的小正方形,然后折疊成一個無蓋的長方體.當取下面哪個數值時,長方體的體積最大（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 46.（2008泰安）如圖所示是二次函數的圖象在軸上方的一部分，對于這段圖象與軸所圍成的陰影部分的面積，你認為與其最接近的值是（ ）A4BCD7（2008山東泰安）函數的圖象如圖所示，下列對該函數性質的論斷不可能正確的是

3、（ ）A該函數的圖象是中心對稱圖形B當時，該函數在時取得最小值2C在每個象限內，的值隨值的增大而減小D的值不可能為18.若一次函數的圖像過第一、三、四象限,則函數（ ）A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值二、填空題1.某商店經營一種水產品，成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產品的銷售情況， 銷售單價定為 元時，獲得的利潤最多. 2已知二次函數（）與一次函數的圖象相交于點A（2，4），B（8，2）（如圖所示），則能使成立的的取值范圍是3.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了

4、一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為 _米4.二次函數的最小值是 5. 蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/平方米）隨樓層數x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知點（x，y）都在一個二次函數的圖像上（如圖6所示），則6樓房子的價格為 元/平方米 6.農村常需要搭建截面為半圓形的全封閉蔬菜塑料暖房如圖11所示，則需要塑料布（m2）與半徑（m）的函數關系式是（不考慮塑料埋在土里的部分） 7.如圖，從地面

5、垂直向上拋出一小球，小球的高 度（單位：米）與小球運動時間（單位：秒）的函數關系式是，那么小球運動中的最大高度 三、簡答題1.已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A)，折痕經過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求OAB的度數，并求當點A在線段AB上時，S關于t的函數關系式；(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若

6、存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。2.在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MNBC交AC于點N以MN為直徑作O，并在O內作內接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代數式表示NP的面積S； （2）當x為何值時，O與直線BC相切？ （3）在動點M的運動過程中，記NP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？3.跳繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線.正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地 面的距離AO和BD均為O. 9米，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離

7、為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E。以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設此拋物線的解析式為y=ax2+bx+0.9. (1)求該拋物線的解析式；(2)如果小華站在OD之間，且離點O的距離為3米，當繩子甩到最高處時剛好通過他的頭頂，請你算出小華的身高；(3)如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點O的距離為t米，繩子甩到最高處時超過她的頭頂，請結合圖像，寫出t自由取值范圍 。 4.一家化工廠原來每月利潤為120萬元，從今年1月起安裝使用回收凈化設備（安裝時間不計），一方面改善了環境，另一方面大大降低原料成本.據測算，使用回收凈化設備后的1至x月（1x12）的利潤的月

8、平均值w（萬元）滿足w=10x+90,第二年的月利潤穩定在第1年的第12個月的水平。 （1）設使用回收凈化設備后的1至x月（1x12）的利潤和為y,寫出y關于x的函數關系式，并求前幾個月的利潤和等于700萬元？ （2）當x為何值時，使用回收凈化設備后的1至x月的利潤和與不安裝回收凈化設備時x個月的利潤和相等？ （3）求使用回收凈化設備后兩年的利潤總和。5.為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（為常數），如圖所示據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，與

9、之間的兩個函數關系式及相應的自變量取值范圍；（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？6.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來3個月的利潤情況如圖（15）所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結合圖象，解答以下問題：（1）求該拋物線對應的二次函數解析式（2）該公司在經營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？（3）若照此經營下去，請你結合所學的知識，對公司在此款電腦的經營狀況（是否虧損？何時虧損？）作預測分析。7.如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3m時，

10、水面寬為6m，當水位上升0.5m時：（1）求水面的寬度為多少米？（2）有一艘游船，它的左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在上述河流中航行若游船寬（指船的最大寬度）為2m，從水面到棚頂的高度為1.8m，問這艘游船能否從橋洞下通過？若從水面到棚頂的高度為m的游船剛好能從橋洞下通過，則這艘游船的最大寬度是多少米？8.某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷售量（件）與銷售單價（元）的關系可以近似的看作一次函數（如圖）（1）求與之間的函數關系式；（2）設公司獲得的總利潤（總利潤總銷售額總成本）為P元，求P與x之間的

11、函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；根據題意判斷：當x取何值時，P的值最大？最大值是多少？9.已知，如圖，直線經過和兩點，它與拋物線在第一象限內相交于點P，又知的面積為4，求的值.10.如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1米的處飛出（在軸上），運動員乙在距點6米的處發現球在自己頭的正上方達到最高點，距地面約4米高，球落地后又一次彈起據實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式（2）足球第一次落地點距守門員多少米？（取）（3）運動員乙要搶到第二個落點，他應再向前跑多少米？（取）11

12、.如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板，它們兩直角邊的長分別為1和2將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板沿直尺邊緣平行移動當紙板移動至處時，設與分別交于點，與軸分別交于點（1）求直線所對應的函數關系式；（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由12.如圖11，已知二次函數的圖像經過三點A，B，C，它的頂點為M，又正比例函數的圖像于二次函數相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點。

13、求該二次函數的解析式，并求函數頂點M的坐標；已知點E，且二次函數的函數值大于正比例函數時，試根據函數圖像求出符合條件的自變量的取值范圍；當時，求四邊形PCMB的面積的最小值。【參考公式：已知兩點，則線段DE的中點坐標為】13.某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理

14、由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？14.為了落實國務院副總理李克強同志到恩施考察時的指示精神,最近，州委州政府又出臺了一系列“三農”優惠政策,使農民收入大幅度增加.某農戶生產經銷一種農副產品,已知這種產品的成本價為20元/千克.市場調查發現,該產品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)有如下關系:=280.設這種產品每天的銷售利潤為(元).(1)求與之間的函數關系式.(2)當銷售價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(3)如果物價部門規定這種產品的銷售價不得高于28元/千克,該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為多少元?15.研究所對某種

15、新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為（噸）時，所需的全部費用（萬元）與滿足關系式，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數關系（注：年利潤年銷售額全部費用）（1）成果表明，在甲地生產并銷售噸時，請你用含的代數式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數關系式；（2）成果表明，在乙地生產并銷售噸時，（為常數），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元試確定的值；（3）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品18噸，根據（1），（2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選

16、擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？16.已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數，且）（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；（3）設上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值17.雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端處彈跳到人梯頂端椅子處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，如圖（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳點的

17、水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由18.青年企業家劉敏準備在北川禹里鄉投資修建一個有30個房間供旅客住宿的旅游度假村，并將其全部利潤用于災后重建據測算，若每個房間的定價為60元天，房間將會住滿；若每個房間的定價每增加5元天時，就會有一個房間空閑度假村對旅客住宿的房間將支出各種費用20元天間（沒住宿的不支出）問房價每天定為多少時，度假村的利潤最大？19.小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S（單位：平方米）隨矩形一邊長x（單位：米）的變化而變化（1）求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？（參考公式：

18、二次函數yax2bxc0，當x時，）20.某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調查反映：如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價元（為非負整數），每星期的銷量為件求與的函數關系式及自變量的取值范圍；如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？提示：21.如圖，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當=O和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是3，另一點是這條拋物線的頂點M。(1)求這條拋物線的解析式；(2)P為線段OM

19、上一點，過點P作PQ軸于點Q。若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；(3)隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；(4)隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。22.如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）（1）要使長方體盒子的底面積為4

20、8cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由23.現有一塊矩形場地，如圖12所示，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：蘭花；菊花；月季；牽牛花（1）求出這塊場地中種植菊花的面積與場地的長之間的函數關系式；求出此函數與軸的交點坐標，并寫出自為

21、量的取值范圍（2）當是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？請在格點圖13中畫出此函數圖象的草圖（提示：找三點描出圖象即可）24.（2008海南省）如圖12，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設AP=x, PBE的面積為y. 求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍； 當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值. 25.已知：如圖，RtAOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的正半軸和y軸的負半軸上，C為OA上一點且OCOB，拋物線y=(x2)(xm)(p-2)(p-m)（m

22、、p為常數且m+22p0）經過A、C兩點 （1）用m、p分別表示OA、OC的長； （2）當m、p滿足什么關系時，AOB的面積最大26.如圖，已知拋物線經過點（1，-5）和（-2，4）（1）求這條拋物線的解析式（2）設此拋物線與直線相交于點A，B（點B在點A的右側），平行于軸的直線與拋物線交于點M，與直線交于點N，交軸于點P，求線段MN的長（用含的代數式表示）（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面積S最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由27.如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度

23、從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.（1）求AD的長；（2）設CP=x，問當x為何值時PDQ的面積達到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.28.我州有一種可食用的野生菌，上市時，外商李經理按市場價格20元/千克收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中，據預測，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲1元；但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這類野生菌在冷庫中最多保存160元，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞不能出售（1）設到后

24、每千克該野生菌的市場價格為元，試寫出與之間的函數關系式（2）若存放天后，將這批野生菌一次性出售，設這批野生菌的銷售總額為元，試寫出與之間的函數關系式（3）李經理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤元？（利潤銷售總額收購成本各種費用）29.王亮同學善于改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好某一天他利用30分鐘時間進行自主學習假設他用于解題的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間（1）求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間

25、的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求王亮回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數關系式；（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？（學習收益總量解題的學習收益量回顧反思的學習收益量）30.如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動（1）求線段所在直線的函數解析式；（2）設拋物線頂點的橫坐標為,用的代數式表示點的坐標；當為何值時，線段最短；（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使 的面積與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由31.

26、如圖（1），已知在中，AB=AC=10，AD為底邊BC上的高，且AD=6。將沿箭頭所示的方向平移，得到。如圖（2），交AB于E，分別交AB、AD于G、F。以為直徑作，設的長為x，的面積為y。（1）求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；（2）連結EF，求EF與相切時x的值；（3）設四邊形的面積為S，試求S關于x的函數表達式，并求x為何值時，S的值最大，最大值是多少？ 42.一快餐店試銷某種套餐，試銷一段時間后發現，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元(不含套餐成本)若每份售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份為了便

27、于結算，每份套餐的售價x(元)取整數，用y(元)表示該店日凈收入(日凈收入每天的銷售額套餐成本每天固定支出)(1)求y與x的函數關系式；(2)若每份套餐售價不超過10元，要使該店日凈收入不少于800元，那么每份售價最少不低于多少元？(3)該店既要吸引顧客，使每天銷售量較大，又要有較高的日凈收入按此要求，每份套餐的售價應定為多少元？此時日凈收入為多少？43.隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，如圖12-所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數關系，如圖12-所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤與關于投資量的函數關系式；（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？44.如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系已知OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x