1、1.【2015高考福建，文12】“對任意，”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，構造函數，則故在單調遞增，故，則； 當時，不等式等價于，構造函數，則，故在遞增，故，則綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件，選B【考點定位】導數的應用【名師點睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數和導數在單調性上的應用，根據已知條件構造函數，進而研究其圖象與性質，是函數思想的體現，屬于難題2.【2015高考湖南，文8】設函數，則是( )A、奇函數，且在（0,1）上是增函數 B、奇函數，且在（0,1）上是減函數C、偶函數

2、，且在（0,1）上是增函數 D、偶函數，且在（0,1）上是減函數【答案】A【解析】函數，函數的定義域為（-1，1），函數所以函數是奇函數 ，在（0,1）上 ，所以在(0,1)上單調遞增，故選A.【考點定位】利用導數研究函數的性質【名師點睛】利用導數研究函數在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求；(2)確認在(a，b)內的符號；(3)作出結論：時為增函數；時為減函數研究函數性質時，首先要明確函數定義域.3.【2015高考北京，文8】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日年月日注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程

3、在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（ ）A升 B升 C升 D升【答案】B【解析】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量升. 而這段時間內行駛的里程數千米. 所以這段時間內，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.【考點定位】平均變化率.【名師點晴】本題主要考查的是平均變化率，屬于中檔題解題時一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否則很容易出現錯誤解此類應用題時一定要萬分小心，除了提取必要的信息外，還要運用所學的數學知識進行分析和解決問題4.【2015高考新課標1，文14】已知函數的圖像在點的處的切線過點，則 .【答案】1【解析】試題分析：，即切線斜率，又，切

4、點為（1，），切線過（2,7），解得1.考點：利用導數的幾何意義求函數的切線；常見函數的導數；【名師點睛】對求過某點的切線問題，常設出切點，利用導數求出切線方程，將已知點代入切線方程得到關于切點橫坐標的方程，解出切點的橫坐標，即可求出切線方程，思路明確，關鍵是運算要細心.5.【2015高考天津，文11】已知函數 ,其中a為實數,為的導函數,若 ,則a的值為 【答案】3【解析】因為 ,所以.【考點定位】本題主要考查導數的運算法則.【名師點睛】本題考查內容單一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以說本題是一道基礎題,但要注意運算的準確性,由于填空題沒有中間分,一步出錯,就得零分,故運算要特別細心

5、.6.【2015高考陜西，文15】函數在其極值點處的切線方程為_.【答案】【解析】，令，此時函數在其極值點處的切線方程為【考點定位】：導數的幾何意義.【名師點睛】1.本題考查導數的幾何意義，利用導數研究曲線上某點處切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.2.解決導數幾何意義的問題時要注意抓住切點的三重作用：切點在曲線上；切點在切線上；切點處導函數值等于切線斜率.7.【2015高考安徽，文21】已知函數（）求的定義域，并討論的單調性；（）若，求在內的極值.【答案】（）遞增區間是（-r,r）;遞減區間為（-，-r）和（r，+）；（）極大值為100；無極小值.【解析】（）由題意可知 所求的定義域為.，

6、所以當或時，當時， 因此，單調遞減區間為；的單調遞增區間為.（）由（）的解答可知 在上單調遞增，在上單調遞減.因此是的極大值點，所以在內的極大值為，內無極小值；綜上，內極大值為100，無極小值.【考點定位】本題主要考查了函數的定義域、利用導數求函數的單調性，以及求函數的極值等基礎知識.【名師點睛】本題在利用導數求函數的單調性時要注意，求導后的分子是一個二次項系數為負數的一元二次式，在求和時要注意，本題主要考查考生對基本概念的掌握情況和基本運算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小題滿分13分）設函數，（I）求的單調區間和極值；（II）證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點【答案】（I）

7、單調遞減區間是，單調遞增區間是；極小值；（II）證明詳見解析.由解得.與在區間上的情況如下：所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區間上單調遞減，且，所以是在區間上的唯一零點.當時，在區間上單調遞減，且，所以在區間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點.考點：導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值、函數零點問題.【名師點晴】本題主要考查的是導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和函數的零點，屬于難題利用導數求函數的單調性與極值的步驟：確定函數的定義

8、域；對求導；求方程的所有實數根；列表格證明函數僅有一個零點的步驟：用零點存在性定理證明函數零點的存在性；用函數的單調性證明函數零點的唯一性9.【2015高考福建，文22】已知函數()求函數的單調遞增區間；（）證明：當時，；（）確定實數的所有可能取值，使得存在，當時，恒有【答案】() ；（）詳見解析；（）【解析】（I），由得解得故的單調遞增區間是（II）令，則有當時，所以在上單調遞減，故當時，即當時，（III）由（II）知，當時，不存在滿足題意當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意當時，令，則有由得，解得，當時，故在內單調遞增從而當時，即，綜上，的取值范圍是【考點定位】導數的綜合應用【名師點睛】

9、利用導數判斷或求函數的單調區間，通過不等式或求解，但是要兼顧定義域；利用導數研究函數的單調性，再用單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或最值，從而證得不等式，注意與不等價，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在2014年全國卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導數的強大功能就是通過研究函數極值、最值、單調區間來判斷函數大致圖象，這是利用研究基本初等函數方法所不具備的，而是其延續10.【2015高考廣東，文21】（本小題滿分14分）設為實數，函數（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調性；（3）當

10、時，討論在區間內的零點個數【答案】（1）；（2）在上單調遞增，在上單調遞減；（3）當時，有一個零點；當時，有兩個零點【解析】試題分析：（1）先由可得，再對的取值范圍進行討論可得的解，進而可得的取值范圍；（2）先寫函數的解析式，再對的取值范圍進行討論確定函數的單調性；（3）先由（2）得函數的最小值，再對的取值范圍進行討論確定在區間內的零點個數試題解析：（1），因為，所以，當時，顯然成立；當，則有，所以.所以.綜上所述，的取值范圍是.（2）對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞增；對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞減.綜上所述，在上單調遞增，在上單調遞減.（3）由（2）得在上單調遞增，

11、在上單調遞減，所以.(i)當時，令，即（）.因為在上單調遞減，所以而在上單調遞增，所以與在無交點.當時，即，所以，所以，因為，所以，即當時，有一個零點.(ii)當時，當時， ，而在上單調遞增，當時，.下面比較與的大小因為所以結合圖象不難得當時，與有兩個交點. 綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點.考點：1、絕對值不等式；2、函數的單調性；3、函數的最值；4、函數的零點.【名師點晴】本題主要考查的是絕對值不等式、函數的單調性、函數的最值和函數的零點，屬于難題零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區間，去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每段結果的并集，注意在分段時不要遺漏區間的端

12、點值判斷函數的單調性的方法：基本初等函數的單調性；導數法判斷函數零點的個數的方法：解方程法；圖象法11.【2015高考湖北，文21】設函數，的定義域均為，且是奇函數，是偶函數，其中e為自然對數的底數. （）求，的解析式，并證明：當時，；（）設，證明：當時，.【答案】（），.證明：當時，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 當時，等價于 等價于 于是設函數 ，由，有 當時，（1）若，由，得，故在上為增函數，從而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上為減函數，從而，即，故成立.綜合，得 .【考點定位】本題考查函數的奇偶性和導數在研究函數的單調性與極值中的應用，屬高檔題.【名師點睛】將函數的奇偶

13、性和導數在研究函數的單調性與極值中的應用聯系在一起，重點考查函數的綜合性，體現了函數在高中數學的重要地位，其解題的關鍵是第一問需運用奇函數與偶函數的定義及性質建立方程組進行求解；第二問屬于函數的恒成立問題，需借助導數求解函數最值來解決.12.【2015高考山東，文20】設函數. 已知曲線 在點處的切線與直線平行.（）求的值；（）是否存在自然數，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；（）設函數（表示，中的較小值），求的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】（I）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，又所以.（II）時，方程在內存在唯一的根.設當

14、時，.又所以存在，使.因為所以當時，當時，所以當時，單調遞增.所以時，方程在內存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在內存在唯一的根，且時，時，所以.當時，若若由可知故當時，由可得時，單調遞增；時，單調遞減；可知且.綜上可得函數的最大值為.【考點定位】1.導數的幾何意義；2.應用導數研究函數的單調性、最值；3.函數零點存在性定理.【名師點睛】本題考查了導數的幾何意義、應用導數研究函數的性質、函數零點存在性定理等，解答本題的主要困難是（II）(III)兩小題，首先是通過構造函數，利用函數零點存在性定理，作出判斷，并進一步證明函數在給定區間的單調性，明確方程在內存在唯一的根.其次是根據（II）

15、的結論，確定得到的表達式，并進一步利用分類討論思想，應用導數研究函數的單調性、最值.本題是一道能力題，屬于難題.在考查導數的幾何意義、應用導數研究函數的性質、函數零點存在性定理等基礎知識的同時，考查考生的計算能力、應用數學知識分析問題解決問題的能力及分類討論思想.本題是教輔材料的常見題型，有利于優生正常發揮.13.【2015高考四川，文21】已知函數f(x)2lnxx22axa2，其中a>0.()設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；()證明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區間(1，)內有唯一解.【解析】()由已知，函數f(x)的定義域為(0，)g(

16、x)f '(x)2(x1lnxa)所以g'(x)2當x(0，1)時，g'(x)0，g(x)單調遞減當x(1，)時，g'(x)0，g(x)單調遞增()由f '(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u'(x)10知，函數u(x)在區間(1，)上單調遞增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)當aa0時，有f '

17、(x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f '(x)在區間(1，)上單調遞增當x(1，x0)時，f '(x)0，從而f(x)f(x0)0當x(x0，)時，f '(x)0，從而f(x)f(x0)0又當x(0，1時，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)時，f(x)0綜上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區間(1，)內有唯一解.【考點定位】本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函數與方程、數形結合、化歸與轉化等數學思想.【名師點睛】本題第()問隱藏二階導數知識點

18、，由于連續兩次求導后，參數a消失，故函數的單調性是確定的，討論也相對簡單.第()問需要證明的是：對于某個a(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，)上只有一個最小值.因此，本題仍然要先討論f(x)的單調性，進一步說明對于找到的a，f(x)在(1，)上有且只有一個等于0的點，也就是在(1，)上有且只有一個最小值點.屬于難題.14.【2015高考天津，文20】（本小題滿分14分）已知函數（I）求的單調區間;（II）設曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數,都有;（III）若方程有兩個正實數根且,求證:.【答案】（I） 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是

19、;（II）見試題解析;（III）見試題解析.【解析】（I）由,可得 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是;（II）, ,證明 在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數x, ,對于任意的正實數,都有;（III）設方程 的根為 ,可得,由在 單調遞減,得 ,所以 .設曲線 在原點處的切線為 方程 的根為 ,可得 ,由 在在 單調遞增,且 ,可得 所以 .試題解析:（I）由,可得,當 ,即 時,函數 單調遞增;當 ,即 時,函數 單調遞減.所以函數 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是.（II）設 ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 即 則.由于在 單調遞減,故在 單調遞減,又因為,所以當時

20、,所以當時,所以 在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數x, ,對于任意的正實數,都有.（III）由（II）知 ,設方程 的根為 ,可得,因為在 單調遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 即 .設方程 的根為 ,可得 ,因為 在 單調遞增,且 ,因此, 所以 .【考點定位】本題主要考查導數的幾何意義及導數的應用.考查函數思想、化歸思想及綜合分析問題解決問題的能力【名師點睛】給出可導函數求單調區間,實質是解關于導函數的不等式,若函數解析式中不含參數,一般比較容易.不過要注意求單調區間,要注意定義域優先原則,且結果必須寫成區間形式,不能寫成不等式

21、形式;利用導數證明不等式是近幾年高考的一個熱點,解決此類問題的基本思路是構造適當的函數,利用導數研究函數的單調性和極值破解.15.【2015高考新課標1，文21】（本小題滿分12分）設函數.（I）討論的導函數的零點的個數；（II）證明：當時.【答案】（I）當時，沒有零點；當時，存在唯一零點.（II）見解析【解析】試題分析：（I）先求出導函數，分與考慮的單調性及性質，即可判斷出零點個數；（II）由（I）可設在的唯一零點為，根據的正負，即可判定函數的圖像與性質，求出函數的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（I）的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調遞增，單調遞增

22、，所以在單調遞增.又,當b滿足且時，,故當時，存在唯一零點.（II）由（I），可設在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調遞減，在單調遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.考點：常見函數導數及導數運算法則；函數的零點；利用導數研究函數圖像與性質；利用導數證明不等式；運算求解能力.【名師點睛】導數的綜合應用是高考考查的重點和熱點，解決此類問題，要熟練掌握常見函數的導數和導數的運算法則、掌握通過利用導數研究函數的單調性、極值研究函數的圖像與性質.對函數的零點問題，利用導數研究函數的圖像與性質，畫出函數圖像草圖，結合圖像處理；對恒成立或能處理成立問題，常用參變分離或分類討論來處理.16.【2015高考浙江，文20】（本題滿分15分）設函數.（1）當時，求函數在上的最小值的表達式；（2）已知函數在上存在零點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)將函數進行配方，利用對稱軸與給定區間的位置關系，通過分類討論確定函數在給定上的最小值，并用分段函數的形式進行表示；(2)設定函數的零點，根據條件表示兩個零點之間的不等關系，通過分類討論，分別確定參數的取值情況，利用并集原理得到參數的取值范圍.試題解析：(1)當時，故其對稱軸為.當時，