1、導數在研究函數中的應用知識梳理一 函數的單調性1、利用導數的符號判斷函數的單調性：一般地，設函數在某個區間可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數；如果在某區間內恒有，則為常數；2、對于可導函數來說，是在某個區間上為增函數的充分非必要條件，是在某個區間上為減函數的充分非必要條件。3、利用導數判斷函數單調性的步驟：求函數f(x)的導數f(x).令f(x)0解不等式，得x的范圍就是遞增區間.令f(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區間.4、已知函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略

2、，否則漏解二 函數極大值、極小值1、極大值：如果是函數f(x)在某個開區間上的最大值點，即不等式 對一切成立，就說函數f(x)在處取到極大值，并稱為函數f(x)的一個極大值點，為f(x)的一個極大值。 2、極小值：如果是函數f(x)在某個開區間上的最小值點，即不等式 對一切成立，就說函數f(x)在處取到極小值，并稱為函數f(x)的一個極小值點，為f(x)的一個極小值。 3、極大值與極小值統稱為極值 ，極大值點與極小值點統稱為極值點；若，則叫做函數f(x)的駐點；可導函數的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。4、判別f(c)是極大、極小值的方法:若滿足，且在c的兩側的導數異號，則c是的極值點，

3、是極值，并且如果在c兩側滿足“左正右負”，則c是的極大值點，是極大值；如果在c兩側滿足“左負右正”，則c是的極小值點，是極小值5、求可導函數f(x)的極值的步驟: (1)確定函數的定義區間，求導數f(x) (2)求f(x)的駐點，即求方程f(x)=0的根(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值三 函數的最大值和最小值在區間a，b上連續的函數f在a，b上必有最大值與

4、最小值。求閉區間上連續的函數的最大值和最小值的思想方法和步驟：（1）求函數在(a，b)內的極值；（2）求函數在區間端點的值(a)、(b)；（3）將函數 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函數有極值導函數的判別式>03.3.1 利用導數研究函數的單調性典例剖析:題型一 求函數的單調區間例1已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區間.分析：討論函數的單調區間，可以利用導數來判斷解答：y=(x+)=1=令0. 解得x1或x1.y=x+的單調增區間是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的單調減區間是(1，0)和(0，1)點評：利用導數

5、討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，再求函數f(x)的導數f(x).，然后解不等式f(x)0，得遞增區間，解不等式f(x)0，得遞減區間.題型二 已知函數的單調性，求參數的取值范圍例2. 若函數在區間內為減函數，在區間上為增函數，試求實數的取值范圍分析：常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解解答：函數求導得，令得或，因為函數在區間內為減函數，所以當時，又因為在函數區間上為增函數，所以當時，即實數的取值范圍5，7點評：已知單調區間求參數a的取值范圍是近年來常見的考查導數的一種題型。備選題例3：已知函數f（x

6、）=2ax,x（0,1，若f（x）在x（0,1上是增函數，求a的取值范圍；解: 由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函數，f（x）0,即a, x（0,1.a1.當a=1時，f（x）=2+對x（0,1）也有f（x）0，滿足f（x）在（0,1上為增函數，a1.評述:求參數的取值范圍，凡涉及函數的單調性、最值問題時，用導數的知識解決較簡單.點擊雙基1.函數y=x+cosx在（-，+）內是（ ）A 增函數 B減函數 C 有增有減 D 不能確定解：因為=1-sinx0恒成立，故選A2.函數的單調減區間是 （ D ）A（ B. C， D.以上都不對。 解：（x）=3+2>0恒成立，

7、不存在單調減區間，故選D3.函數 (,則 ( )A B. C D.大小關系不能確定解：（x）=-=<0時x<1,所以(為減區間，又，故選C4.函數的單調增區間是 解：（x）=1+2cosx>0,所以cosx>-; 單調增區間為(0,)5.如果函數y=+lnx-ax在定義域為增函數，則a的取值范圍是 解：定義域為（0，=x+-a0,即ax+在定義域（0，上恒成立，又x+最小值為2,所以a23.3.2函數的極大值和極小值第一課時典例剖析題型一 函數極值的求法例1 已知在與時，都取得極值(1) 求的值；(2)若，求的單調區間和極值；分析：可導函數在點取到極值時，；求函數極值時

8、，先求單調區間，再求極值。解：（1）f (x)3x22a xb0由題設，x1，x為f (x)0的解a1，1×()a，b2 （2）f (x)x3x22 xc，由f (1)12c，c1f (x)x3x22 x1x（，）（，1）（1，）f (x)f (x)的遞增區間為（，），及（1，），遞減區間為（，1）當x時，f (x)有極大值，f ()；當x1時，f (x)有極小值，f (1) 評析：列表求單調區間和極值不容易出錯。題型二 例2 設函數的圖象如圖所示，且與在原點相切，若函數的極小值為，（1）求的值；（2）求函數的遞減區間分析;從圖上可得是函數的極大值點，函數的圖象經過（0，0）點且圖象

9、與x軸相切于（0，0）點，可先求出的值。解：（1）函數的圖象經過（0，0）點 c=0，又圖象與x軸相切于（0，0）點，=3x2+2ax+b 0=3×02+2a×0+b，得b=0 y=x3+ax2，=3x2+2ax當時，當時，當x=時，函數有極小值4 ，得a=3（2）=3x26x0，解得0x2 遞減區間是（0，2）評析：求出的值后，利用導數就可求出單調區間。備選題例3：已知函數+lnx, 求的極值.解;因為f(x)=-, 令f(x)=0，則x=注意函數定義域為（0，），所以駐點是x=,當x(0, )時f(x)<0, 為減函數，當x(，+)時f(x)>0, 為增函數

10、，所以x=是極小值點，的極小值為f()=(1+ln2),沒有極大值。評析：注意函數的定義域點擊雙基1、函數y=1+3x-x有 （ ）A極大值1，極小值-1， B。極小值-2，極大值2C極大值3 ，極小值 2， D。極小值-1，極大值3解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是極小值點，x=1.是極大值點，故選D，2、函數y=3+mx+x有極值的充要條件是 ( )A m>0 B m<0 C m0 D, m0解：=3+m=0則方程要有兩解，函數y=3+mx+x才有極值。所以m<0，故選B3、 f(x)在區間（a,b）的圖像如右Y則f(x) 在區間（a,b）內有極

11、大值點（ ）A 2個 B。3個 C 4個 D 1個aABCD x0b解:A,B,D三點左右導數異號，是極值點，其中A，D是極大值點B是極小值點。注意C不是極值點，故選A4、y=x+的極大值為極小值為解：=1-=0，則x=-2或x=2， x=-2是極大值點,所以極大值為-4，x=2是極小值點，所以極小值為4.5、若函數在處有極大值，則常數的值為_；解;，時取極小值, 時取極大值，故常數的值為6典例剖析:題型一 函數最大值和最小值的求法例1 (1) 求f（x）x33 x29 x 5在4，4上的最大值和最小值(2) 求函數在上的最大值和最小值分析：求閉區間上函數最大最小值的方法為： 求出導數為0的點

12、和導數不存在的點， 求出導數為0的點和導數不存在的點及端點的函數值， 比較它們的大小。解答：(1)f(x)3 x2 6 x 93（x 1）（x 3）令f(x)0得x11，x23 f（x）在x 1處有極大值f（1）10f（x）在x 3處有極小值f（3）22在區間端點處f（4）71，f（4）15比較上述結果得：f（x）在4，4上的最大值為f（1）10，最小值為f（4）71(2) 當時，由得， 為不存在的點由于所以，函數的最大值是最小值是點評：利用導數求最值問題是導數的一個重要應用。題型二 函數最大值和最小值的綜合應用例2已知在區間上最大值是5，最小值是11，求的解析式.分析：先討論在區間上的單調性

13、，再求最大值和最小值。解 令=0,得 若a>0,0+0-極大 因此f(0)必為最大值,f(0)=5,得b=5, 若a<0,同理可得f(0)為最小值, f(0)=-11,得b=-11, 評析：函數的單調性要借助導數的符號，故要對a的符號進行討論。備選題點擊雙基1、函數在區間上的最小值為（ ）A B C D 解： 得而端點的函數值，得，故選D2、函數y=1+3xx3有（ ）A.極小值2,極大值2 B.極小值2,極大值3C.極小值1,極大值1 D.極小值1,極大值3解：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.當x1時,y0,函數y=1+3xx3是減函數;當1x1

14、時, y0,函數y=1+3xx3是增函數;當x1時,y0,函數y=1+3xx3是減函數.當x=1時,函數y=1+3xx3有極小值1;當x=1時,函數y=1+3xx3有極大值3，故選D3、下列結論正確的是（）A若是在上的極大值點，則是在上的最大值B若是在上的極大值點，則是在上的最大值C若是在上唯一的極大值點，則是在上的最大值D若是在上唯一的極大值點，且在上無極小值點，則是在上的最大值 解：故選D4、函數的最小值為_。解：在恒成立，為增函數，故最小值為5、函數在區間上的最大值是 。解：，比較處的函數值，得課外作業一選擇題1、在區間上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可

15、得x0或2（2舍去），當1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2，故選C2、已知f（x）=2x36x2+m（m為常數）在2，2上有最大值3，則m值是（ ）A.37 B.29 C.5 D.3解： 或，故，故選D3、函數在內有最小值，則的取值范圍是（ ）A B C D 解：，故選B 4、函數f(x)=x2-4x+1在1，5的最大值和最小值分別為 （ ）A、f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2)解：由二次函數可得，故選D5、方程的實根的個數是（  

16、 ）A  3   B  2    C  1    D   0解：設f(x)= , 方程f (x)=0的=4>0,方程的兩根,并且的系數大于0,則函數f (x)的圖象為先增后減再增，且在x=1取得極大值，在x=3取得極小值，又f (3)=-10<0，由此可得出函數f (x)的簡圖。可知方程x3-6x2+9x-10=0有三個實根，故選A6、設M，m分別是函數在上的最大值和最小值，若，則A、等于0 B、小于0 C、等于1 D、不確定解：因為，所以為常數函數，故

17、，故選A7、函數的最大值為（ ）A B C D解：令，當時，；當時，在定義域內只有一個極值，所以，故選A8、函數，在上的最大、最小值分別為 A.、 B、 C、 D、解：，討論點，故選B.二填空題9、函數的最大值是_。解：，當時，的最大值是210、函數f(x)=x在-2,2上的最小值為_解：=-1,x>0時>0；x<0時<0.x=0是極小值點，也是最小值點。最小值為1。11、對于總有0 成立，則= 解：若x0，則不論取何值，0顯然成立；當x0 即時，0可化為，設，則， 所以 在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，因此，從而4；三解答題12、求函數在內的最小值解：在上，令得當

18、時，；當時，故在處取得極小值則函數在點處取得最小值13、已知在時有極大值6，在時有極小值，求 的值；并求在區間3，3上的最大值和最小值.解：（1）由條件知 （2），x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知，在區間3，3上，當時，時，14、已知：f(x)=log3,x(0,+).是否存在實數a、b,使f(x)同時滿足下列兩個條件：（1）f(x)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，說明理由.解：設g(x)=f(x)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數g(x)在（0，1）上是減函數，在1，+)上是增函數.x=1

19、是g(x)的極小值點， 解得經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件.思悟小結求可導函數f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在給定區間內的極值；（2）將f（x）的各極值與端點值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.3.4生活中的優化問題舉例知識梳理1、在生產實踐及科學實驗中，常遇到質量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利潤最大、投入最小等問題，這類問題在數學上常常歸結為求函數的最大值或最小值問題，通常稱為優化問題。解決優化問題的常見方法有判別式方法、平均不等式方法、線性規范方法、差分方法、利用二次函數的性質和利用單調性等。2、不少優化問題，可以化為求函數最值問題，對

20、于函數的最值問題，多利用函數的圖像、性質以及不等式的性質來解題。其中求導數是求函數最大（小）值的有力工具。導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題。主要有以下幾個方面：與幾何有關的最值問題；與物理學有關的最值問題；與利潤及其成本有關的最值問題；效率最值問題等。3、利用導數解決優化問題的基本思路：建立數學模型利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟：（1）分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系；（2）求函數的導數，解方程；（3）比較函數在區間端點和使的點的函數值的大小，最大（小）者為最大（小）值。解決生活中的優化問題應當注意的

21、問題：（1）在求實際問題的最大值、最小值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應舍去；（2）在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使的情形，如果函數在這點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大（小）值；（3）在解決實際優化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系式給予表示，還應該確定函數關系式中自變量的定義區間。典例剖析:題型一 面積最小問題例1 如圖，等腰梯形的三邊分別與函數，的圖象切于點.求梯形面積的最小值。 解：設梯形的面積為，點P的坐標為。由題意得， 點的坐標為，直線的方程為。 直線的方程為即： 令 得，令 得，當且僅當，即時，取“=”且，

22、 時，有最小值為.梯形的面積的最小值為。 評析：本題用不等式求最小值，也可以用導數求最小值。題型二 最大利潤問題例2 某工廠生產某種產品,已知該產品的月生產量x(t)與每噸產品的價格p(元/t)之間的關系式為:p=24200x2,且生產x t的成本為:R=50000+200x(元).問該產品每月生產多少噸才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入成本)解:每月生產x噸時的利潤為f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)內只有一個點x1=200使f(x)=0,它就是最大值點.f(x)的最