1、 第八章 常用統(tǒng)計分布 第一節(jié) 超幾何分布適用：小群體的兩分變量。假定總體為K個成功類、（N-K）個為失敗類 1.超幾何分布為離散型隨機變量的概率分布，它的數(shù)學(xué)形式是 2.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望值和方差如果用 ，則有 3.關(guān)于超幾何分布的近似設(shè)某校有l(wèi)000名大學(xué)生，其中有外國留學(xué)生10、名，現(xiàn)從該校學(xué)生中任抽2人，求抽到外國留學(xué)生的概率分布。 解 抽到外國留學(xué)生人數(shù)X服從N1000、K10、n2的超幾何分布，根據(jù)(81)式得 兩種方法計算結(jié)果比較一下，僅在小數(shù)點后第5位上才出現(xiàn)誤差。當(dāng)然在01時，如此計算誤差會比較大。另外，二項分布的計算量仍不算小，有時還可以將二項分布近似為泊松分布，這一點我

2、們將在下一節(jié)討論。 第二節(jié) 泊松分布適用：稀有事件的研究。一個事件的平均發(fā)生次數(shù)是大量實驗的結(jié)果，在這些試驗中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。泊松分布亦為離散型隨機變量的概率分布，隨機變量X為樣本內(nèi)成功事件的次數(shù)。若為成功次數(shù)的期望值，假定它為已知。而且在某一時空中成功的次數(shù)很少，超過5次的成功概率可忽不計，那么X的某一具體取值x（即稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)）的概率分布為 泊松分布的性質(zhì)：x的取值為零和一切正整數(shù)；圖形是非對稱的，但隨著的增加，圖形變得對稱；泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差均為。 第三節(jié) 卡方分布卡方分布是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布，主要用于列聯(lián)表檢驗。 1.數(shù)學(xué)形式 設(shè)隨機變量X

3、1，X2，Xk，相互獨立，且都服從同一的正態(tài)分布N (，2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z1，Z2，Zk，k個獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和被定義為卡方分布（ 分布）的隨機變量 （ 讀作卡方），且 我們把隨機變量 的概率分布稱為 分布，其概率密度記作 。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨立變量的個數(shù)。 關(guān)于卡方分布的分布函數(shù)，附表7對不同的自由度k及不同的臨界概率(01)，給出了滿足下面概率式的 的值(參見圖)。注意 寫法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當(dāng)其分布函數(shù) 時，其隨機變量 的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設(shè)檢驗中，它表示在顯著性水平上卡方分布隨機變量 的臨界值。

4、2. 卡方分布的性質(zhì) (1) 恒為正值 。 (2)卡方分布的期望值 E(X2) 是自由度k，方差 D(X2) 為2k。 卡方分布取決于自由度k，每一個可能的自由度對應(yīng)一個具體的卡方分布。卡方分布只與自由度有關(guān)，這就給卡方分布的實際應(yīng)用帶來很大方便。分布由正態(tài)分布導(dǎo)出，但它之所以與正態(tài)分布的參數(shù)和無關(guān)，是因為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z與原來的參數(shù)無關(guān)。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出樣本方差 S2 的分布 式中：2代表總體方差，自由度為nl。 第四節(jié) F 分布F 分布是連續(xù)性隨機變量的另一種重要的小樣本分布，可用來檢驗兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等。還是方差分析和正交設(shè)

5、計的理論基礎(chǔ)。1.數(shù)學(xué)形式 設(shè)X2(K1) 和 X2(K2) 相互獨立，那么隨機變量 服從自由度為(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。3. 樣本方差的抽樣分布 例 由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機樣本，已知26，求樣本方差S 2在3.3到8.7之間的概率。 解 已知n25，26，由 得 所以，樣本方差S 2落在33和87之間的概率約為90。 我們把隨機變量F的概率分布稱為F分布，其概率密度記作 。本書附表8，對不同自由度(k1，k2)及不同的臨界概率(01)，給出滿足下列概率式的F(k1，k2)的值(參見圖)。 注意 F&(K1,K2) 寫法的含義：它表示自由度為 (k1，k2)的F分布，當(dāng)其分布函數(shù) 時，其隨機變量F的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設(shè)檢驗中，它表示在顯著性水平上F 分布隨機變量 F 的臨界值。 如果 S12和 S22 是兩個獨立隨機樣本的方差，樣本來源于具有相同方差2的兩個正態(tài)總體，樣本容量分別為n1和n2，那么根據(jù)(822)式，隨機變量F 服從于自由度為(n1