1、數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用舉例 重點(diǎn)難點(diǎn)分析： （1）第一步遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推依據(jù)，密切相關(guān)缺一不可。 （2）歸納思想充分體現(xiàn)了特殊與一般的思想，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了有限與無限的辯證關(guān)系與轉(zhuǎn)化思想。 （3）歸納猜想證明是經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，觀察是解決問題的前提條件，需要進(jìn)行合理的試驗(yàn)和歸納，提出合理猜想，從而達(dá)到解決問題的目的。 （4）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常與數(shù)學(xué)的其它方法聯(lián)系在一起，如比較、放縮、配湊、分析和綜合法等。 典型例題： 例1證明：=-n(n+1)(4n+3)。 證明：當(dāng)n=1時，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。 假設(shè)n=k時等式成立， 即=-k(k+1)(4k+3)。 n

2、=k+1時， +(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2 =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)4k2+3k+2(6k+7)=-(k+1)(4k2+15k+14) =-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)(k+1)+14(k+1)+3，等式成立。 由知，當(dāng)nN時等式成立 例2試證Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。 證明：n=1時，S1=4×9，能9整除。 假設(shè)，n=k時，Sk能被9整除，則Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k

3、+3) 由歸納假設(shè)知Sk+1能被9整除，也就是說n=k+1時命題也成立。 綜上所述：命題成立。 點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是把n=k+1時的式子分成兩部分，其中一部分應(yīng)用歸納假設(shè)，另一部分經(jīng)過變形處理，確定其能被某數(shù)（某式）整除。 例3通過一點(diǎn)有n個平面，其中沒有任何3個平面交于同一條直線，用數(shù)學(xué)歸納法證明這些平面把空間分成(n2-n+2)個部分。 證明：設(shè)適合條件的n個平面把空間分成pn個部分，pn=n2-n+2 當(dāng)n=1時，p1=1-1+2=2，顯然符合條件，故命題成立。 假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即滿足命題條件的k個平面把空間分成pk=k2-k+2個部分， 那么當(dāng)n=k+1時

4、，即如果再有一個平面a適合條件，那么，在平面上必有k條交線， 平面被分成2k個部分，pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2。 當(dāng)n=k+1時，pn=n2-n+2成立。 綜上可知對任何nN，命題成立。 點(diǎn)評：幾何計數(shù)問題應(yīng)抓住所劃分的線段、平面、空間的個數(shù)與交點(diǎn)、交線間的關(guān)系等。 例4若不等式對一切正自然數(shù)n都成立，求自然數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。 證明：n=1時，即，所以a<26，而aN，所以取a=25， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：。 (1) n=1時，已證。 (2) 假設(shè)當(dāng)n=k時，有：， 則當(dāng)n=k+1時，有 所以知對一切nN 都有： 。 例5在an中，已

5、知a1=-lga, an-1=an-lgan-1 (n2)，先求出a2,a3,a4，推測an的通項公式，并用歸納法證明。 解析：因?yàn)閍n-1=an-lgan-1 (n2)，所以an=an-1+(n-1)lga (n2)， 又a1=-lga, 所以a2=a1+(2-1)lga=-lga+(2-1)lga=(-1+2-1)lga, a3=a2+(3-1)lga=(-1+2-1+3-1)lga, a4=a3+(4-1)lga=(-1+2-1+3-1+4-1)lga。 由此推判。 （1）n=1時，猜想正確。 （2）假設(shè)n=k時，猜想正確，即， 則， n=k+1時，猜想正確。 由（1）（2）知，對于任意

6、nN，都有。 訓(xùn)練題： 1用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線條數(shù)（n4,nN）時，f(k+1)與f(k)的關(guān)系是_。 2k為正偶數(shù)，p(k)表示等式，則p(2)表示等式_。p(4)表示等式_。由p(k)p(k+2)時，可在p(k)兩邊同時加上_。 3證明 34n+2+52n+1 (nN)能被14整除。 4證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n·1·3·5(2n-1) (nN) 5已知。 （1）計算及的值。 （2）歸納出 (nN)的值，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 參考答案： 1f(k+1)=f(k)+k-1 2 3. n=1時，36+53=61×14能被14

7、整除。 假設(shè)n=k時命題成立，那么n=k+1時，也能被14整除（以下略）。 4當(dāng)n=1時，等式左邊=2，等式右邊=2，等式成立。 假設(shè)n=k(kN)等式成立，即(k+1)(k+2)(k+k)=2k·1·3·5(2k-1)成立， 那么n=k+1時，(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1) =2k+1·1·3·5(2k-1)2(k+1)-1 即n=k+1時等式成立。（以下略）。 5(1) ，。 (2) 猜想 (nN) 證明：n=1，2時，已證。 假設(shè)n=k及n=k-1

8、(k2)，命題成立， 即， 則n=k+1時，（以下略）。（注意這種證明方法與前面的方法不同） 在線測試窗體頂端1使|n2-5n+5|=1不成立的最小的正整數(shù)是（ ）。 A、2B、3C、4D、5 窗體底端窗體頂端2證明，在驗(yàn)證n=1命題成立時，其左邊等于（ ）。 A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 窗體底端窗體頂端3設(shè)，則（ ）。 A、S(n)共有n項，當(dāng)n=2時， B、S(n)共有n+1項，當(dāng)n=2時， C、S(n)共有n2-n項，n=2時， D、S(n)共有n2-n+1項，n=2時， 窗體底端窗體頂端4用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”時，在

9、驗(yàn)證n=1正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（ ）。 A、假設(shè)n=k (kN)時，xk+yk能被x+y整除 B、假設(shè)n=k (kN)時，x2k-1+y2k-1能被x+y整除 C、假設(shè)n=2k+1 (kN)時，x2k+1+y2k+1能被x+y整除 D、假設(shè)n=2k-1 (kN)時，x2k-1+y2k-1能被x+y整除 窗體底端窗體頂端5證明：時，第一步應(yīng)證下述哪個不等式成立（ ）。 A、1<2B、C、D、 窗體底端答案與解析 1.提示：可以采用排除法，逐個代入檢驗(yàn)。D3.提示： ，因?yàn)槭醉棡?，所以有 項。4.提示：首先歸納假設(shè)中n的取值要滿足為正奇數(shù)，所以排除A、B；其次還要滿足n的取值不小于1，所

10、以排除C；答案為D。5.提示：因?yàn)?，所以，第一步證明n=2時等式成立。不完全歸納法應(yīng)用舉例 不完全歸納法是通過對一類事物中部分個體的研究，推斷出這一類事物的一般性結(jié)論的推理方法。過程通常是：選取個體觀察分析推測結(jié)論。不完全歸納法對于發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論和探索解題思路有獨(dú)到的作用，對于解選擇題和填空題十分適用，對于某些與自然數(shù)有關(guān)的解答題也可幫助探索，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明。下面通過例題來說明不完全歸納法的應(yīng)用。 一、利用不完全歸納法解選擇題 例1已知數(shù)列an滿足an+1=an-an-1(n2)，a1=a, a2=b，記Sn=a1+a2+an，則下列結(jié)論正確的是（ ）。 A、a100=-a, S100

11、=2b-a B、a100=-b, S100=2b-a C、a100=-b, S100=b-aD、a100=-a, S100=b-a 解：a3=a2-a1=b-a, S3=a1+a2+a3=2b；a4=a3-a2=-a, S4=S3+a4=2b-a；a5=a4-a3=-b, S5=S4+a5=b-a；a6=a5-a4=a-b, S6=S5+a6=0；a7=a6-a5=a, S7=S6+a7=a。通過觀察分析，an, Sn都是每隔6項重復(fù)。所以由不完全歸納法，得a100=a4=-a, S100=S4=2b-a. 故此題選A。 例2已知xR+，可推廣為，則a的值為（ ）。 A、2nB、n2C、22(

12、n-1)D、nn 解：， ， 觀察分析知：中左邊的第一項x應(yīng)該分成n個，得a=nn，從而此題選D。 二、利用不完全歸納法解填空題 例3an是首項是1的正項數(shù)列，且(=0 (n=1,2,)，則通項公式an=_。 解：由，（a2=-1舍去）。 由，。 由，得。 所以推測，代入等式驗(yàn)證，等式成立，故。 例4已知a1=3, an-anan+1=1 (n=1,2,), An表示數(shù)列an的前n項之積，則A2002=_. 解：由a1-a1a2=1，得， 由a2-a2a3=1, 得， 由a3-a3a4=1, 得a4=3， 通過觀察、分析，知an是每隔3項重復(fù)。由a4-a4a5=1，得， 所以由不完全歸納法，得

13、A2002=(a1×a2×a3)667×a1=-3. 三、利用不完全歸納法解探索性問題 例5是否存在自然數(shù)m，使得f(n)=(2n+7)·3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由。 解：由f(n)=(2n+7)·3n+9，得 f(1)=36，f(2)=3×36，f(3)=10×36，f(4)=34×36. 由不完全歸納法，推測m=36. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1) 當(dāng)n=1時，顯然f(1)能被36整除。 (2) 假設(shè)當(dāng)n=k時，f(k)能被36整除，即f(

14、k)=(2k+7)·3k+9能被36整除。 當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=2(k+1)+7·3k+1+9=(2k+7)+2·3k·3+9=3(2k+7)·3k+9+18(3k-1-1) 因?yàn)?k-1-1是2的倍數(shù)，所以18(3k-1-1)能被36整除。 于是由歸納假設(shè)可知當(dāng)n=k+1時，f(n)也是36的倍數(shù)。 由(1),(2)知，對一切正整數(shù)n，f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除。 由于f(1)=36，故所求的最大的m值是36。 四、利用不完全歸納法比較大小 例6已知數(shù)列bn的通項bn=3n-2, 數(shù)列an的通項（其中a>0, 且a1），數(shù)列an的前n項和為Sn。試比較Sn與的大小。 解：由bn=3n-2，知 又， 因此要比較Sn與的