1、最新北師大版九年級數學上總復習第一章：1菱形的定義和性質(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形(2)性質：菱形的四條邊都_；菱形的對角線互相_，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點；菱形也是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸注意 菱形是特殊的平行四邊形，故它具有平行四邊形的一切性質2菱形的判定方法(1)有一組鄰邊相等的_是菱形；(2)對角線互相垂直的_是菱形；(3)四邊相等的_是菱形辨析 四邊形、平行四邊形、菱形關系如圖S11：3菱形的面積(1)由于菱形是平行四邊形，所以菱形的面積底×高；(2)因為菱形的對角線互相垂直平分

2、，所以其對角線將菱形分成4個全等的三角形，故菱形的面積等于兩對角線乘積的一半4矩形的性質(1)矩形的對邊_； (2)矩形的對角_；(3)矩形的對角線_、_； (4)矩形的四個角都是直角(或矩形的四個角相等)；(5)矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的_三角形；(6)矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸有_條，對稱中心是對角線的交點(7)矩形的面積等于兩鄰邊的_注意 利用“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質可以得出直角三角形的一個常用的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的_5矩形的判定(1)有一個角是直角的_是矩形；(2)有三個角是直角的_是矩形；(3)對角線相等的_是矩形6正

3、方形的性質(1)正方形的對邊_； (2)正方形的四邊_； (3)正方形的四個角都是_；(4)正方形的對角線相等、互相垂直、互相平分，每條對角線平分一組對角；(5)正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸有_條，對稱中心是對角線的交點7正方形的判定(1)有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形；(2)有一組鄰邊相等的_是正方形； (3)有一個角是直角的_是正方形注意 矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，且是特殊的平行四邊形矩形是有一個內角為直角的平行四邊形；菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形；正方形既是矩形，又是菱形8中點四邊形中點四邊形就是連接四邊形各邊中點所得的四邊形，我們

4、可以得到下面的結論：(1)順次連接四邊形四邊中點所得的四邊形是_(2)順次連接矩形四邊中點所得的四邊形是_(3)順次連接菱形四邊中點所得的四邊形是_(4)順次連接正方形四邊中點所得的四邊形是_(5)順次連接等腰梯形四邊中點所得的四邊形是_總結 順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是_；順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是_ 考點一菱形的性質和判定例1如圖S12，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為邊AB，AD的中點，連接EF，OE，OF.求證：四邊形AEOF是菱形方法技巧在證明一個四邊形是菱形時，要注意：首先判斷是平行四邊形還是任意四邊形.若是任意

5、四邊形，則需證四條邊都相等；若是平行四邊形，則需利用對角線互相垂直或一組鄰邊相等來證明. 例2如圖S13，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F點處已知CE3 cm，AB8 cm，求圖中陰影部分的面積 方法技巧 矩形的折疊問題，一般是關于面積等方面的計算問題，主要考查同學們的邏輯思維能力和空間想象能力.解決與矩形折疊有關的面積問題，關鍵是將軸對稱的特征、勾股定理以及矩形的有關性質結合起來 考點3;和正方形有關的探索性問題例3如圖S14，在正方形ABCD中，點E在BC上，BE3，CE2，點P在BD上，求PE與PC的長度和的最小值上冊第二章復習 1一元二次方程只含有一個未知數的整

6、式方程，并且都可以化為 (a，b，c為常數，a0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程注意 定義應注意四點：(1)含有一個未知數；(2)未知數的最高次數為2；(3)二次項系數不為0；(4)整式方程2一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a，b，c為常數，a0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為 、 和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數3直接開平方法直接開平方法的理論依據是平方根的定義直接開平方法適用于解形如(xa)2b(b0)的一元二次方程，根據平方根的定義可知xa是b的平方根，當b0時，x ；當b0時，方程沒有實數根4配方法(1)配方法的基本思想：轉化思想，把方

7、程轉化成(xa)2b(b0)的形式，這樣原方程的一邊就轉化為一個完全平方式，然后兩邊同時開平方(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：化二次項系數為1； 含未知數的項放在一邊，常數項放在另一邊；配方，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，并寫成(xa)2b的形式，若b0，直接開平方求出方程的根5公式法(1)一元二次方程ax2bxc0(b24ac0)的求根公式：x(2)用公式法解一元二次方程的一般步驟：把一元二次方程化成一般形式：ax2bxc0(a0)； 確定a，b，c的值； 求b24ac的值；當b24ac0時，則將a，b，c及b24ac的值代入求根公式求出方程的根，若b24ac0，則方程無實數

8、根6用分解因式法解一元二次方程的一般步驟(1)將方程變形為右邊是0的形式； (2)將方程左邊分解因式； (3)令方程左邊的每個因式為0，轉化成兩個一次方程；(4)分別解這兩個一次方程，它們的解就是原方程的解7一元二次方程根的判別式對于一元二次方程ax2bxc0(a0)當b24ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；當b24ac0時，方程有兩個相等的實數根；當b24ac<0時，方程沒有實數根反之，結論也成立8一元二次方程根與系數的關系若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個根，則9列方程解應用題的一般步驟(1)審題：通過審題弄清已知量與未知量之間的數量關系(2)設元：就是

9、設未知數，分直接設與間接設，應根據實際需要恰當選取設元法(3)列方程：就是建立已知量與未知量之間的等量關系列方程這一環節最重要，決定著能否順利解決實際問題(4)解方程：正確求出方程的解并注意檢驗其合理性(5)作答：即寫出答語，遵循問什么答什么的原則寫清答語考點一用配方法解方程例1用配方法解方程：3x24x40. 考點二用分解因式法解方程例2用分解因式法解方程：(x3)23x0.當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們可以利用因式分解法解一元二次方程用式子表示：若a·b0，則a0或b0，反之也成立有時遇到解高次方程時，也可以利用這種方式降次如x4160，則

10、(x24)(x2)(x2)0，其左邊是三個因式，其中有一個二次的因式，其余兩個是一次的因式分解因式法把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解，體現了一種“降次”的思想 考點三用公式法解方程例3用公式法解方程：x2x10.根據公式法，我們可以利用b24ac的值判斷一元二次方程根的情況：當b24ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；當b24ac0時，方程有兩個相等的實數根；當b24ac0時，方程無實數根反之，知道一元二次方程根的情況，也可以判斷b24ac的符號考點四增長率問題例4某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染請你用學過的知識分析，每輪感染中

11、平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？列一元二次方程解應用題的關鍵是：找出未知量與已知量之間的聯系，從而將實際問題轉化為方程模型，要善于將普通語言轉化為代數式，在審題時，要特別注意關鍵詞語，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等等，此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關系等思想方法整體思想，分類討論思想第三章：知識歸納：1頻率與概率(1)當試驗次數很大時，試驗頻率穩定在相應的 附近因此，我們可以通過多次試驗，用一個事件發生的 來估計這一事件發

12、生的 .(2)涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率，有兩種基本的計算方法，它們分別是 、 .注意 用列表法或樹狀圖法求概率時應注意各種情況發生的可能性務必相同2試驗估算估計復雜的隨機事件發生的概率常用的方法是實驗估算，但有時試驗和調查既費時又費力，個別的試驗和調查根本無法進行此時我們可采用模擬實驗的方法3池塘里有多少條魚一個口袋中有m個黑球(已知)和若干個白球，如果不許將球倒出來數，則有兩種方法可以估計出其中的白球數x：法一：從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，通過多次試驗，我們可以估計出從口袋中隨機摸出一球，它為黑球的概率，而這個概率應等于 .據此可估計出白球數x.法二：利用抽樣

13、調查方法，通過多次抽樣調查，求出樣本中黑球數與總球數比值的“ ”，這個“ ”應近似于 ，據此，我們也可以估計出x的值 考點一利用頻率估計概率例1為了估計水塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每條魚身上做好記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號的，則魚塘中的魚可估計為()A3000條B2200條 C1200條 D600條這個問題可以轉化為一般問題：為了估計水塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲n條魚，在每一條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘再從魚塘中打撈a條魚，如果在這a條魚中有b條魚是有記號的，則魚塘中魚的條數可估計為.考點二利用概率幫

14、助說理例2甲袋中放有21只紅球和9只黑球，乙袋中放有190只紅球，90只黑球和10只白球，這三種球除了顏色以外沒有任何區別兩袋中的球都已攪勻，隨機從袋子中取出一只球，如果你想取出1只黑球，選擇_袋成功的機會大第四章：知識點歸納：1線段的比的定義在同一單位長度下，兩條線段_的比叫做這兩條線段的比2成比例線段四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即_，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段。3比例的性質(1)比例的基本性質：如果abcd，那么_(2)合(分)比性質：若，則_(3)等比性質：若，且(bdfn0)，則4平行線分線段成比例定理及推論定理：兩條直線被一組平行線所截，所

15、得的對應線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段_5相似多邊形的定義對應角_，對應邊_的兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形_叫做相似比注意：判定兩個多邊形相似，對應角相等、對應邊成比例，兩個條件缺一不可6相似多邊形的性質相似多邊形的對應角_，對應邊_周長的比等于_，面積的比等于_7相似三角形的定義對應角_，對應邊_的8相似三角形判定方法_；_；_兩個三角形相似，一般說來必須具備下列六種情形之一：兩個三角形叫做相似三角形相似三角形_叫做相似比只要能在復雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據問題需要添加適當的輔助線，構造出基本圖形，問題即可得以解決9黃金分割黃金分割的意義

16、：如圖S44，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果_，那么稱線段AB被點C黃金分割其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做_，黃金分割的比值是一個定值，即ACAB_0.618.10相似三角形的性質相似三角形的對應角_，對應邊_相似三角形的對應中線的比等于_，對應高的比等于_，對應角對應角平分線的比等于_，周長之比等于_，相似三角形面積之比等于_11測量物體的高度(1)利用_的有關知識測量旗桿(或路燈桿)的高度；(2)測量的方法有三種：利用_，利用_，利用_考點攻略考點一三角形相似的判定例12013·六盤水 如圖S45，添加一個條件：_，使ADEACB.(寫出一個即可

17、)要證三角形相似，當兩個三角形有一組角相等時，可想辦法證另一組角相等，利用兩角法證三角形相似；或想辦法證角的夾邊對應成比例，利用兩邊及其夾角法證三角形相似；當兩邊對應成比例時，可想辦法證第三邊的比等于這兩邊的比，利用三邊法證明三角形相似 考點二相似三角形的判定和性質例2如圖S46，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點H，BH3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積 考點三相似三角形的判定與分類討論例32013·淄博 在ABC中，P是AB上的動點(P異于A，B)，過點P的一條直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的ABC的相

18、似線如圖S47，A36°，ABAC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的ABC的相似線最多有_條當兩個相似三角形沒有明確對應關系時，注意要分類討論，不能僅僅考慮有一邊平行情況，還有可能不平行的情況.分類討論思想是中學階段一種重要的數學思想.考點四構造相似三角形測量物體的高度(寬度或深度)例4一天，某校數學課外活動小組的同學們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度，來評估這些深坑對河道的影響如圖S49是同學們選擇(確保測量過程中無安全隱患)的測量對象，測量方案如下：先測量出沙坑坑沿圓周的周長約為34.54米；甲同學直立于沙坑坑沿圓周所在平面上，經過適當調整自己所處的位置

19、，當他位于點B時，恰好他的視線經過沙坑坑沿圓周上的一點A看到坑底S(甲同學的視線起點C與點A、點S三點共線)經測量AB1.2米，BC1.6米根據以上測量數據，求“圓錐形坑”的深度(圓錐的高)(取3.14，結果精確到0.1米)實際生活中需要測量一些隧道的長度、河流的寬度、電線桿的高度、煙囪的高度等，而這些數據往往不可能直接測量，或直接測量有危險，怎么辦？這時可在安全區測量能夠測量的物體長度，構造相似三角形，計算不能直接測量的物體高度等.可以培養學生運用數學的意識和能力.第五章：知識點歸納：1畫三視圖的原則畫三視圖時，應注意主、俯視圖要“ ”，主、左視圖要“ ”，左、俯視圖要“ ”注意 在畫圓錐的

20、俯視圖時，要注意不要漏掉圓心處的實點2三視圖的畫法首先觀察物體的幾何構成，確定主視圖的位置，依次畫出視圖的外輪廓線，然后將視圖補充完整，看得見的輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線總結 三視圖中的方位與物體上的方位的對應關系：(1)主視圖中的上、下、左、右對應物體的上、下、左、右；(2)俯視圖中的上、下、左、右對應物體的后、前、左、右；(3)左視圖中的上、下、左、右對應物體的上、下、后、前3畫三視圖的順序三種視圖中首先應確定主視圖的位置，畫出主視圖，然后在主視圖下面畫出俯視圖，在主視圖右面畫出左視圖4平行投影太陽光線可以看成是平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影點撥 平行投影與視圖的

21、聯系：事實上，在特殊位置下(投影線與投影面垂直時)物體的平行投影就是物體的三種視圖物體的主視圖是一束平行光線從正前方照射時形成的平行投影；左視圖是一束平行光線從左前方照射形成的平行投影；俯視圖是一束平行光線從正上方照射形成的平行投影5中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成由一點發出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影點撥 中心投影與平行投影的區別：太陽光線是平行的光線，燈光的光線是從一點發出的 考點一確定物體的三視圖例1如圖S51(a)所示幾何體的主(正)視圖是()三個視圖是分別從正面、左面、上面三個方向看同一個物體所得到的平面圖形，要注意用平行光去看畫三個視圖時應注意尺寸的大

22、小，即三個視圖的特征：主視圖(從正面看)體現物體的長和高，左視圖體現物體的高和寬，俯視圖體現物體的長和寬考點二由視圖確定物體例2由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的三視圖如圖S52所示，則搭成這個幾何體的小立方體的個數是()A3B4C5D6從俯視圖可以看出行數與列數，再由各個位置上小正方體的個數確定每行每列的最高層數，從而確定出小正方體的個數另外，在根據三個視圖確定立體圖形時，一定要充分發揮自己的空間想象力，并且要注意由三個視圖想象實物時可能不唯一建議同學們在俯視圖的各個位置上寫上該位置上小正方體的個數，然后把各個位置上的小正方體的個數相加即可 考點三平行投影問題例3小剛身高1.7 m，測得他

23、站立在陽光下的影子長為0.85 m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1 m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂()A0.5 m B0.55 m C0.6 m D2.2 m方法技巧：物體在太陽光下所形成的影子大小和形狀隨著物體與投影面的位置關系的改變而改特別地，當物體與投影面平行時，所形成的影子與物體全等；同一物體在不同時刻的影長和方向不同；同一時刻物高與影長成比例知識點歸納：1反比例函數一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可表示成 (k為常數，k0)的形式，那么稱y是x的反比例函數反比例函數的自變量x不能為零2反比例函數表達式的確定確定反比例函數表達式的方法，是用待定系數法由于反比例函數y(k

24、0)中只有一個待定系數k，所以只需一對滿足表達式的對應值，即可求得k值，進而確定其函數表達式總結 當確定了反比例函數表達式后，便可求出當自變量x(x0)取其他值時，所對應的函數值；同樣當已知該函數的值時，也可求出相對應的自變量x的值3反比例函數y(k0)的圖象和性質(1)反比例函數的圖象反比例函數y(k0)的圖象是由兩支曲線組成，叫做雙曲線當k>0時，兩支曲線分別位于第 象限內；當k<0時，兩支曲線分別位于第 象限內注意 雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸(2)反比例函數的性質反比例函數y(k0)的圖象，當k>0時，在每一象限內，y的值隨x值的增大而 ；當k&

25、lt;0時，在每一象限內，y的值隨x值的增大而 .4反比例函數的應用應用反比例函數知識解決實際生活中的問題，關鍵是建立反比例函數模型，即列出符合題意的函數表達式，然后根據函數的性質綜合方程(組)、不等式(組)及圖象求解要特別注意結合實際情況確定自變量的取值范圍考點一反比例函數的圖象和性質例1如圖S61，反比例函數y的圖象經過點A(1，2)，則當x1時，函數值y的取值范圍是()Ay1 B0y1 Cy2 D0y2 考點二反比例函數的表達式例2某閉合電路中，電源電壓為定值，電流I(A)與電阻R()成反比例，如圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間函數關系的圖象，則用電阻R表示電流I的函數表達式為()A

26、I BI CI DI考點三反比例函數圖象中的圖形面積 例3在反比例函數y(x0)的圖象上，有一系列點A1、A2、A3、An、An1，若A1的橫坐標為2，且以后每點的橫坐標與它前一個點的橫坐標的差都為2.現分別過點A1、A2、A3、An、An1作x軸與y軸的垂線段，構成若干個矩形,如圖S53所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1、S2、S3、Sn，S1_，S1S2S3Sn_.(用n的代數式表示)考點四反比例函數與一次函數例4如圖S64，一次函數ykx1的圖象與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，其中A點坐標為(2,1) (1)試確定k，m的值；(2)求B點的坐標注意利用“數形結合”思想來解決反比例函數與一次函數的綜合運用問題一般經歷如下過程：通過圖象特點得出交點坐標求得表達式得出性質結合幾何知識解決問題 考點五反比例函數在生活中的應用 例5病人按規定的劑量服用某種藥物，測得服藥后2小時，每毫升血液中的含量達到最大值為4毫克已知服藥2小時前每毫升